第2章常用逻辑用语章末题型归纳总结

ci—2所以3a3,aQ解得ae

0.所以实数的取值范围为例（•全国•高一随堂练习）在

①充分而不必要，

②必要而不充分，

③充要，这三个条件中任选一个条

25.2023件补充到下面问题中，若问题中的实数加存在，求出实数小的取值范围；若不存在，请说明理由.问题已知集合{邓非空集合〃是否存在实数〃使得是的条件？4=VxV5},8={x|l-zWx«l+2m}.2,xe/xeB【解析】因为集合=何一用《〈非空，所以一根（加，81x l+2m}11+2m0选择条件

①因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集，xe/xeB A8（—加工11所以个（两个等号不同时取到），解得加故实数〃的取值范围是）22,2+

8.选择条件

②因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，xe/xeB8A[\-m1所以有掰且、八（两个等号不同时取到），201[1+2m5解得772=

0.综上，实数〃的取值范围是2{0}.选择条件

③因为是的充要条件，所以有〃且/=xeZ xeB20f1—m=1即G-此方程组无解，则不存在实数〃使得是的充要条件.2,xeZ xeB例（•黑龙江鹤岗•高二鹤岗一中校考阶段练习）请在〃

①充分不必要条件，

②必要不充分条件,

③充

26.2023要条件〃这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数机存在，求出〃的取值范围；若2不存在，说明理由.已知集合若是成立的4={x|-2Wx46},B=[x\\-mx\+m,m0],xe/xeB条件，判断实数〃是否存在？〃1—2K—2【解析】若选择条件

①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，则有〈、（xe4xe8481+m6解得m59所以，实数小的取值范围是）[5,+8;若选择条件

②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，xe/xeB3Z（—加12—2则有《人，解得加工03,[1+m6所以，实数〃的取值范围是（；20,3]f1-/77=-2若选择条件

③，即是成立的充要条件，则集合等于集合则有工，方程组无解，xeZ xeB48[l+m=6所以，不存在满足条件的实数冽.经典题型四充要条件的证明例（•江苏•高一专题练习）设也分别为春的三边的长，求证关于的方程父+以+/=

27.20238x20与有公共实数根的充要条件是//=.F+2M—/=o90【解析】证明必要性设方程分+〃=与〃有公共实数根%,X2+20x2+2cx-=o则）（）XQ+2QX0+/2=0,xj+2cx_/2=0两式相减并整理，可得（）4-C/+/=0因为所以/=«一,将此式代入片（）〃中，6wO,Q—cwO,+2QX+=0c-a整理得〃+/=/,故.44=90充分性:因为,可得〃+/=,所以性=〃一°4=9022,将〃=/一/代入方程/+2QX+/2=0中，可得—+2ax+a2-c2=0即（）（）x+Q-c x+Q+c=0,将〃=/一02代入方程2-b2=0中，可得/+2cx+c2-a2=0,+CX即（）（）x+c-Q X+c+a=0故两方程有公共实数根=-（+）X C.所以关于的方程一+冰+〃=与〃有公共实数根的充要条件//=.X20/+25_=090例（哈国•高一专题练习）求证关于的方程办法+有一个根是的充要条件是

28.2023x2+0=01Q+b+c=

0.【解析】假设夕方程有一个根是QY+bx+o=01,q q+6+c=

0.证明即证明必要性:pnq,・/x=1是方程ax2++c=0的根,・、・『+b・1+=0,即a+b+c=

0.再证明即证明充分性qnp,由Q+〃+C=O,得c=-a-b.ax1+bx+c=0,・e•ax1+bx-a-b=O,B|J6z（x2-1）+/（%-1）=

0.故（）（）X-1QX+Q+6=

0.・・是方程的一个根..x=l故方程有一个根是的充要条件是ax+6x+c=01a+b+c=

0.例（•全国•高一专题练习）求证方程一一一〃有两个同号且不相等实根的充要条件是

29.20232%32=0・-m

0.3【解析】充分性•・・-；〃20,/.方程x2-2x-3m=0的判别式A=4+12m0,M-3m0,・••方程――有两个同号且不相等的实根.2x—3m=0必要性若方程——加=有两个同号且不相等的实根玉广，2x-302则有《々八，解得一彳加.x x=-3m0312综上，方程有两个同号且不相等的实根的充耍条件是-；加.f—2x-3m=0例（•高一课时练习）设为“的三边，求方程方+与有公共根的充要条

30.2023Q,48C/+2/=0Y+2CX—62=o件.【解析】必要性设方程如+/=与〃=的公共根为加，/+2f+zcx—则〃/+2am+/=0,m2+2cm-b2=0，两式相加得冽=-（）（加舍去），Q+c=0将加=一（+）代入加22am+b2=0，+得『+勿[__Q+C Q+C[+62=0,整理得/=〃+，.所以4=

900.充分性当/=邛寸，/=〃+/,90于是f+2ax+b2=0等价于F+2ax+/-2=0,c所以[x+a+c][x+a-c]=0,该方程有两根玉=一+，x=-a-c.2同样一/等价于％冬+22+23=02+2cx-2=0,所以[x+4+c][x+c-a]=0,该方程亦有两根％，3=—Q+c Z=—c—a.显然不=退，两方程有公共根.故方程/+与力有公共根的充要条件是2QX+/=0f+2cx—2=0A=90°.例•全国•高一专题练习求证等式/工+、+对任意实数％恒成立的充要

31.20232+b]X+C[=x22条件是=出，=与=・q42【解析】充分性若,则等式=%工显然对任意实数%恒成立，充分性成立；q=a,b=%=c qf+Ax+q2+3+22[2必要性由于等式％―+b]X+G=ax2+〃21+2对任意实数次恒成立，2=G2分另将代入可得，U x=0,x=l,x=_]q+4+C]j+J+G%—4+q=—b+c2a-ax2解得,必要性成立，q=Q故等式4-^x+Cj=ax2+3+2对任意实数％恒成立的充要条件是6=24=

2.2经典题型五命题的否定例（山东德州•高三统考阶段练习）下列结论正确的是（）

32.2023•A.”Hr£Q,Jx；+后£Q〃的否定是〃\/x sQ^x1+G sQ〃〃；〃的否定是〃七任〃B.*O£Q,JX+A EQ Q〃四边形是矩形〃是〃平面四边形的每个内角都相等〃的充要条件C.ABCD ABCD〃四边形是矩形〃是〃平面四边形的每个内角都相等〃的充分不必要条件D.Z3C43C【答案】C【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则〃七°£〃的否定是〃〃，Q,X/x£Q,7^7^eQ、错;A B四边形是矩形，则每个内角都相等，反之也成立，48C所以〃四边形是矩形〃是〃平面四边形的每个内角都相等〃的充要条件，对，错；43co43C CD故选C例（•辽宁•高三大连二十四中校联考开学考试）已知命题「夕则（）

33.20233aeR,a—,A.pR,Q一兀〉0B.pVQ^R,a71-7ia0一兀兀一兀C.pz e R,Q WOD.p V£R,q«0【答案】D【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以/一的否定是“BaeR,40P V£R,故选D例（•全国•高一专题练习）命题〃Y国〃的否定是（）

34.2023X/XER,20A.3xeR,X2-2|X|0B.X2-2|X|0C.SXGR,X2-2X0D.VxeR,x2-2x0【答案】A【解析】由全称量词命题的否定可知原命题的否定为玉国

20.故选A例（•江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习）命题〃〉_工十〉的否定为（）

35.2023Vx0,f1A.Vx0,x2-x+10B.Vx0,x2-x+10【答案】C【解析】Vx0,——1+1〉0〃的否定为土〉0,X2-x+

10.故选C.例（•全国•高一专题练习）命题〃加〉〃的否定是（）

36.2023Vxl,x2—1A.3xl,x2-m\B.3x1,x2-mlC.Vxl,x2-ml D.Vxl,x2-m\【答案】A【解析】命题一机1〃为全称量词命题，其否定为Hxl,x2-ml.故选A例（四川宜宾•高二宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）命题〃；〉〃的否定是（）

37.2023•m/0/-5/+60A.Vx0,x2-5x+60B.Vx0,x2-5x+60C.3xR,-5x+60D.3x0,-5x+600000【答案】B【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为一Vx0,f51+

640.故选BX例（•全国•高一专题练习）命题〃—、〉〃的否定是（）

38.2023Vxl,0x-1Y XA.Vxl,——0B.Vxl,0X—1x-•1上（（）C.3%1,0D.3xl,x x-l0x—\【答案】D【解析】命题〃〉的否定是（）Vx l,1,x x-l0\x-1故选D.例（•浙江温州•高二统考学业考试）已知命题则命题的可为（）

39.2023p Dx2,|x|3,叫A.2,|x|3B.3x2,|x|3000C.Vx2,|x|-3D.Vx2,|x|3【答案】A【解析】已知命题夕则命的r7为比闻Vxv2,|x|3,2,

3.故选:A.例（•山东枣庄•高一校考阶段练习）命题〃使得〃的否定形式是（）

40.2023VXER,,使得〃使得〃A.VXGR cYB.VXG R,使得〃工使得〃《一C.3xeR,2D.3xeR,【答案】C【解析】由命题的否定的定义，因为原命题是〃使得〃〃TXER,2f,因此其否定形式应该把全称量词改为存在量词把〃改为〃工所以命题〃使得〃丁〃的V32V2,DXER,2否定形式是“*使得〃〃ER,%2,经典题型六由命题真假求参数的值（取值范故选C.例（•全国•高一专题练习）已知全集集合集合〃（）若求

41.2023=R,4={%11x3},3={x|2x11实数加的范围;（）若使得玉二%，求实数机的范围.2V%,3x e5,2【解析】（）若/口台，则18=当B=0时，则2m31-m,m—,32m1-m当时，则加,则加不存在，BN02211-m3综上，实数加的范围为（一°°,）m—A C\B B,

4.9（）使得玉二，且力2,/VXj G,3x e5,X2:,A=B,w0,2f2m1则〈.,.掰一i2,1-m

3...实数加的范围为（）-*-

2.例（•全国•高一专题练习）已知命题勺工满足—使〃

42.20231:2x2,2X—Q=O,命题〃〃，若命题中至少一个为真，求实数的范围.1P mxwR,f+q—ix+40命题若夕是夕的充分不必要条件，求实数的范围.2P2QXQ+1,【解析】命题小〃玉满足-使〃〃，为真命题时，12x2,f—2%—=0Q=Y_2X,令/力二X2—2X,—2X2,ljliJ-l/x8,所以-1«Q8,所以命题为假时，则-或之q18,命题“王£+为真命题时，P R,%2-1X+40,△解得〃一或〃〉-12-4x40,35,所以命题夕为假时，则〃-3445,[—3tz5又因为命题国都为假命题时，、，P Q即—3£—1,所以命题，中至少一个为真时，实数的范围是卜,-或｝；P qa32-1由可知命题为真命题时，21q-i^8,记/=[-〃1,8,8=2,Q+1因为夕是的充分不必要条件，9所以B A,当即+也即时，满足条件；3=0221,当时，8/02Q4+1,解得—；,2Q2—112a+18综上可知实数的范围是一I,E例•河北承德•高一承德市双滦区实验中学校考期中解答

43.2023已知命题工+〃是真命题，求实数〃的取值范围；1pVx£R,6+2320⑵已知命题/玉满足使+〃为真命题，求实数的范围.14x42,a【解析】命题夕为真命题，即在上恒成立.1af+2x+320A

①当时，不等式为显然不能恒成立；=02X+320（[a0A〉Q0

②当时，由不等式恒成立可知即WO A021ylA=2-4X6ZX30a-13所以Q4-J综上，的取值范围是a⑵当时，由歹=—（工+）一当时，函数的最小值1W2+2%=121,x=l3,当x=2时，函数有最大值8,3x2+2%8,由题意有+之所以80,aN—

8.例（•全国•高一专题练习）〃（）加〃是真命题，则加的范围是

44.2023Vx£O,l,x+-10【答案】m0【解析】对于命题对任意、£（）不等式掰恒成立，0,1,1-x而工（）有（）£0,1,1-X£O,1,・・・〃命题为真时，实数〃的取值范围是加20,J

20.故答案为m0例（•全国•高一专题练习）某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如

45.2023下若命题〃氏/+加工〃是假命题，求加范围.小李略加思索，反手给了小王一道题若命题〃1¥£2%+0Vx£R,/加〃是真命题，求加范围.你认为，两位同学题中小范围是否一致？（填+2x+0是〃否〃中的一种）【答案】是【解析】因为命题〃玉加〃的否定是〃\/%£氐/+加〃，£R,/+2x+2%+0而命题〃加〃是假命题,与其否定〃加〃为真命题等价,*£R,X2+2X+40Vx£R,Y+2x+0所以两位同学题中加范围是一致的，故答案为是例（滴一校考单元测试）若命题〃*；机〃是假命题,则实数的范围是.

46.2023eR,x+x0+0m【答案】【解析】命题*；是假命题，即命题的否定为真命题，o£R,x+Xo+mO其否定为；则加解得V;%£R,x+Xo+m2O,A=l—400,m^-.「11故实数机的范围是了，+°°-）1_4「11故答案为:，+

00.）1_4例（•全国•高一专题练习）命题〃凡分〉〃为真，则实数口的范围是

47.2023VXE2+4+30「）3【答案】0,-；L4【解析】由题意知不等式对恒成立,2+4QX+30xeR当时，可得恒成立满足；=030,03当时，若不等式恒成立则需八，解得，A“2S0:/一A=161204「、3所以的取值范围是二，0,；L4故答案为例（•福建宁德•高二统考期末）若命题〃〃是假命题，则范围是

48.2023IXER,——QX+IWO【答案】（）-2,2【解析】由题设可得一办+〉为真命题，利用判别式可得的范围.因为命题〃玉£〃VXER/210Q R,——QX+140是假命题，故恒成立,VXER,――QX+I0故△=/—即一402Q

2.故答案为（）-2,

2.例（•全国•高一专题练习）若〃使-则实数〃，的范围为

49.2023*o£[O,2],%2+4X—320,【答案】）[1,+s【解析】使一工一成立，可令-得工解得所以实数〃的范围是）3x G[O,/W],*+4320f+4x-320,2_41+30,[1,+

8.0故答案为+°°）.[1,例（•广东广州•高二校联考期末）若命题〃叫使得（）〃为真命题，则实数

50.2023ER,Xo2+a—i xo+i4o【解析】由可得，或，所以〉可推出，白，即是,白〃的充分条件；由,白，a1040Q10a10a10a10a10a10不能够推出故〃〃〉〃是〃上〃的不必要条件；10,10La10综上，〃〉〃是八小的充分不必要条件.Q10a10故选A例（•上海•高一专题练习）若则〃〃是〃町〃的（）

3.2023x,R,x=0=0充分条件必要不充分条件A.B.充分不必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】C【解析】当％=时，町=，0当孙时，或=0x=o y=o,所以〃是〃町=〃的充分不必要条件.“X=00故选C.例（•北京•高二汇文中学校考期末）设或则是成立的（）

4.2023p x3,g:x3x4,P4充分必要条件充分不必要条件A.B.必要不充分条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】B【解析】因为或p x3,q:x3x4,即夕成立时，夕一定成立，但夕成立时，夕不一定成立，故夕是成立的充分不必要条件.q故选B.例（•江苏南京•南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）设是四个命题，若

5.20234B,C,是的必要不充分条件，/是的充分不必要条件，是的充分必要条件，则是的（）488必要不充分条件充分不必要条件A.B.充分必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】B【解析】因为是的必要不充分条件，所以推不出A8A3,因为是的充分不必要条件，所以推不出因为是的充要条件，所以A C A,8=8,BnD,的范围为.【答案】或心13【解析】利用△（）即可求出.若命题〃玉（）使得（）〃为真命题,则△（）2£R,/2+4_1%0+10=0—12—420,解得或1Q

23.故答案为或

23.例（•湖南张家界•高一统考期中）命题〃使——心〃是真命题，则的范围是,

51.2023VXER,o【答案】a

0.【解析】等价于〃《一在工尺恒成立，即得解.命题〃使一〃》〃是真命题等价于时，/之〃㊂VXER,f ok eR恒成立.所以在工及恒成立，“4/㊂所以〃«

0.故答案为aQ模块三数学思想方法

①分类讨论思想例已知全集=集合/=集合幺,乂,〃其中

52.1,{x|-3”X”7},8={x|3-22-5},aeR.（）若是的充分条件，求的取值范围；1（）若“工£/”是的必要条件，求的取值范围.2“X£3”【解析】（）因为是的充分条件，故/口1“X£5”3,在数轴上表示出集合力和金3-2«,2a-5a..2则,即解得匹.3—2«,-3*3,6,一

25...

747...6V X.则的取值范围为［）；6,+00（）因为是是必要条件，故2“x e B”Bq4,

①当时，即符合题意；5=03-2Q〉2Q-5,Q2,

②当时，在数轴上表示出集合力和以3—2Q,,2Q—5a・.2,即-3”3—2cl解得a.3,2,,a,3,2a-5„7a.6综上所述，的取值范围为-s,3].例已知集合

53.P={X|Q+L,X,2Q+1},Q={x\-2„x”5}.⑴若求©尸C；=3,若“工£夕”是”充分不必要条件，求实数的取值范围.2“xe【解析】⑴当=时，或3P={x|4„%,7},«P={x|x4x7},因为0={x|-2,,X,,5},所以尸c=；{xI-2„x4}若“£尸”是“£”的充分不必要条件，2X X即P Q,当时，〃此时满足，Q+1〉2Q+10,=0,PU当寸，则即PW0H2Q+L.Q+1,a..0,2a+

1.5且《等号不能同时取，・[Q+L.—2解得:为0”2,即实数的取值范围为a4,

2.例已知集合=|/一]羽因全集

54.42a+6},8={x|0„4},=R当时,求14=14c”:若是的充分不必要条件，求实数〃的取值范围.【解析】⑴当时，集合/=电2“X£8”Q=1{x|0,,x”8},8={x|x0或故x4},4c05=|4r8;由题知,即且/,25U A82二;；,解得“…当=力时，:一解得8a=—1,[2Q+6=4由力得，一31,综上所述实数的取值范围为-411].例

55.设集合/=|x|x2+4x=o|,B={x\x2+2a4-lx4-a2-1=0}.若一求的值；1le3,a设条件条件若是的充分条件，求的取值范围.2p x e Aq x eB,q pa9【解析】⑴・・,—IwB,，1-2a-2+Q-1=0解得Q=1±Vs;・・依题意

2.4={0,-4},3=4,

①若・・〃尸-」；5=0,.A=4+14/—10Q—1

②若3={0}或8={-4}时，.・.A=4Q+12-4/-1=0,a=-1,此时{—；8={0},84}A0

③若「〃解得=8={04}0+—4=-2-2,1,0X—4=Q2_]X.综上的取值范围是q例已知集合/=,在

①②力”是

56.{x|a-L,X,2a+l},B={x\-44}Zu5=3;XE“x eB”的充分不必要条件；

③这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题.Zc3=02当时，求金1a=3AcB;若,求实数的取值范围.2a【解析】当时,而1a=3/={%|2„%,7},8={x|—2,,%,4},所以或Zc8={x|2,%,4},6R/C5={X|X2x4}选

①，由可知,2Zu5=5当时，则〃一+即〃—满足则4=0121,2,Q—2,・Q—L.—23当时，…―由/=得,解得—%一,2,B iL,[2Q+1,,423综上所述，实数〃的取值范围为-或2-L,%-2选

②，因是的充分不必要条件，则,“XS5”当/=时，则〉+即满足,则0Q—121,Q—2,/U BQ—2,..f6Z—

1...—23当时，一由得\且不能同时取等号，解得—/W0a…2,ZU3L,.〃[2+L423综上所述，实数的取值范围为或--2L,%—2选

③，当时，则即满足则一4=0Q—12Q+1,Q—2,4c8=0,2,、3当时，由得或〃一解得——或a..-24c5=024+1-214,Q a5,2

一、3乂・一所以一—或a•2,2,,ciQ

5.23综上所述，实数的取值范围为-一或〃a52

②转化与化归思想例已知集合{打一不，

57.4=2,5},8={x|m+l,42m-l}.若命题夕才是真命题，求〃的取值范围；1DX£6,X£2命题是真命题，求的取值范围.2-3x e A.xeB m【解析】⑴因为命题是真命题，PXESXEN所以当时，解得；8=0m+\2m-\,m2m+L,2m-1当时，加后两项不同时取等号，8W0+1…-2,2m-L,5解得办，2,

3.综上，加的取值范围为{加|加„3}.因为玄£是真命题，294%£3所以,所以只需满足〃即可，即〃2+L,52,

4.故加的取值范围为伽啊24}.例已知命题凡时乂+加若夕为假命题，求实数机的取值范围.

58.HXE40,【解析】由题意得力尺加忖+%DXE40,丁夕为假命题，为真命题.当加时、对恒成立，符合题意；=0VXER,Q,0当加时，得加（国+又国+〉则得外w041],0,410,0,可得〃20,综上可得实数〃的取值范围为叫，

20.例已知集合/=工，},集合台=四川+入匕川+韦，如果命题“口％£尺，使得

59.|0„为假命题，求实数的取值范围.AcBW【解析】命题“三加£,使得％为假命题，则其否定“\/加£火，为真命题C8W0”/C8=0”当时，集合/=}=符合40{x|Q,x,0,Nc8=0当时，因为加，所以a..O2+3VmwE,AcB=0得Q m2+3对于Vm eR恒成立所以（加）则2+3=3,0”a3\/min综上，实数〃的取值范围为Q

3.例已知全集为集合乂，集合〃=或〉（〉）

60.A,P={x|2”10},{x|xa x2a+l}Q

0.⑴若尸是成立的充分不必要条件，求的取值范围；a（）若（〃）=求的取值范围.2Pc«0,【解析】（）因为工£是成立的充分不必要条件，1所以集合是集合的真子集，M因为匕集合或〉（）P={x I2,,10},M={x|xQ x2Q+l}a0,所以或〉+解得或〉10Q221,0a,a10,2故的取值范围为{〃[；或a0a10}.因为集合/或〉2={X|XQ x2Q+l}a0,所以〃匾.6R={X|2Q+1}Q〉0,又因为Pc©=0,所以或Q〉102Q+12,即或0Q,Q10,2故的取值范围为或a10}.

③方程思想例

61.已知mx2-B q^xwR,%2+2x-m-l=0，若p，q都是真命题，求实数〃2的取值范围.【解析】巾“，若夕真，可得用，一濡，P PxwR,11而一时，取得最小值一则加一；y=X2L.—1,x=01,1q0xe R,X2+2x-m-l=0，若q真，可得And+dO+l…0,解得勿z..—

2.[m-1若人都是真命题，可得力则-加-p,2,,

1.[加…一2故实数机的取值范围是-2,,m-l.例

62.已知，命题p:\/x£凡2国+〃+2…0,命题q:Hxc[—3,—，，2-^z+1=

0.x若命题为真命题，求实数的取值范围；1P若命题为真命题，求实数〃的取值范围.2q【解析】⑴・・・命题+〃-2T为真命题，乂国R|J tz.—2x—2,-2-2,-2,实数的取值范围为a a..-2;Q・・•命题4玉6[-3,-5_q+1=0为真命题，即亦即在上有解，X-a+1=0+1=q-3,--又当X£[-3,-力求得二次函数的范围—+10,即二次函数y=x2+l最大值为10,最小值是4，244・•.实数〃的取值范围为1,

10.4例已知掰关于的一元二次方程

①〃一和

②加加—求方程

①和

②

63.EZ,x2/4X+4=04X+4/%2—45=0,的根都是整数的充要条件.【解析1解:mx2-4x+4=0是一元二次方程，另一方程为x2-4mx+4m2-4/72-5=0，两方程都要有实根，解得〃

4.・,两根为整数，故和与积也为整数，事Zm/.4m eZ,〃4/-4m-5eZ，加为的约数，，加=一或411,当加=一时,1第一个方程的根为非整数，不符合题意；V+4x-4=0而当加时，两方程均为整数根，=1・・.两方程的根均为整数的充要条件是〃2=L例已知加£火，命题存在工£[』],不等式成立，若夕为真命题，求加的取值范围.

64.02x-

2..”2—3m【解析】・・・存在X£[0,l],不等式2x—2・.m2—3加成立，・・・（2x-2）max…/-3m,又函数在时的最大值为y=2x-20,K|J m2-3m,

0.解得Q,m,,

3.因此，若为真命题时，加的取值范围是p所以由可得nB,BnA,ZnC=C,由推不出推不出可得推不出CA,A3,D故是的充分不必要条件.C故选B.例（•四川眉山•高三仁寿一中校考开学考试）已知那么〃的一个充分不必要条件是（）

6.2023p0x2,A.1x3B.-1x1C.0x1D.0x3【答案】C【解析】对于中，由则不一定成立，反之若则不一定成立，所以A lx3,0x20x2,lx3是的即不充分也不必要条件，所以不符合题意；1x30x2A对于中，由一则不一定成立，反之若则一不一定成立，所以一B0x20x2,1X11x1是的即不充分也不必要条件，所以不符合题意；0x2B对于中，由贝成立，反之若则不一定成立，所以是的充分不必要C0cx1,ij0x20cx2,0cx10cx10cx2条件，所以符合题意；C对于中，由则不一定成立，反之若则成立，所以是的即必要不充D0x3,0cx20x2,0x30x30cx2分条件，所以不符合题意.D故选C.例（•江西新余•高一新余市第一中学校考开学考试）〃〃+力〃是〃且〃的（）

7.20234Q262充分不必要条件必要不充分条件A,B.充分必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】B【解析】当此时满足+力〉但〃〉且〉不成立，所以充分性不成立；=11=4,4,262反之若且/）可得成立，所以必要性成立，22,Q+6〉4所以〃〉〃是〃且力〉〃必要不充分条件.Q+6422故选B.例（•高一课时练习）点尸（）是第二象限的点的充要条件是（）

8.2023xjA.x0,y0B,xQ,y0〉C.x0,y0D.x0,y0【答案】B【解析】因为第二象限的点横坐标小于纵坐标大于0,0,所以点（）是第二象限的点的充要条件是〉P xjx0J

0.故选B例（•四川绵阳•高一绵阳中学校考阶段练习）下列〃若乙则/形式的命题中，夕是的必要条件的有（）

9.20239个

①若，》是偶数，则是偶数X x+V

②若〃则方程有实根2,2X+Q=0

③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形

④若仍=则=0,0A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】对于

①，是偶数,不能保证均是偶数，也有可能都是奇数，故

①不符合题意；x+y qv对于

②，若方程则需满足三即可推出故

②符合题意；Y—2x+Q=0,A=4-40,Q1,2,对于

③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故

③符合题意；对于

④，若，则〃故

④符合题意.=06=0,故选D.经典题型二全称量词命题与存在量词命题例（•全国•高一专题练习）下列命题中为真命题的是（）

10.2023所有的矩形都是正方形A.集合｛（）声与集合｛川=/｝表示同一集合B.x,y\y=是的必要不充分条件C.4=8D.3XGR,X2+2X+20【答案】C【解析】对于项，所有长宽不等的矩形都不是正方形，故错误；A A对于项，由描述法的概念可知集合｛（）卜=/｝与集合卜｝分别表示点的集合与数的集合，B xj3=,显然不表示同一集合，故错误；对于项，由^=/-^=不满足充分性，若=力则/=/,满足必要性，故B C±6,c正确;对于D项，VXGR,X2+2x+2=x+l2+11,故D错误.故选C例（•四川眉山•高三仁寿一中校考开学考试）下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是（）

11.2023对任意实数都有/+/一一A.Q,b,226+20梯形的对角线不相等B.・C3x eR,^=^o0所有的集合都有子集D.【答案】D【解析】根据全称量词命题的定义可知，全称量词命题有三项，为存在量词命题，A,B,D C对于A,a2-^-b2-2a-2b+2=（a-\f0,故A为假命题；对于梯形的对角线不一定相等，故为假命题；B,B对于根据子集的定义可知，为真命题.D,D故选D.例（•高一课时练习）下列全称量词命题为真命题的是（）

12.2023所有的质数都是奇数A.B.Vx eR,x2+l1对每一个无理数》,一也是无理数C.所有能被整除的整数，其末位数字都是D.55【答案】B【解析】质数中不是奇数，选项为假命题；2A都有则选项为真命题；VXER,/O,/+121,B血为无理数，但（行『=是有理数，选项为假命题；2C所有能被整除的整数，其末位数字可以是也可以是选项为假命题.550,D故选B例（•全国•高一专题练习）下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）

13.2023每一个二次函数的图象都是开口向上A.存在一条直线与两条相交直线都平行B.对任意若则C.aWb+c,存在一个实数使得一一工+D.x,360【答案】C【解析】选项是全称量词命题，二次函数的图象有开口向上的，是假命题，不符合题意；A A选项是存在量词命题，不符合题意；B选项是全称量词命题，对任意则+即是真命题，符合题意;C ab+c,b,C选项是存在量词命题，不符合题意.D故选C.例（•全国•高一专题练习）下列命题中是真命题的为（）

14.2023A.玉cN,使4x-3B.VxeR,x2+20C.Vx eN,2Vx2D.3xeZ,使3x-2=0【答案】B3【解析】对于由得了，所以不存在自然数使成立，所以错误，A,4x-3,x-4x-3A4对于B,因为X/xsR时，%20,所以/+220,所以B正确，对于当时，所以错误，C,x=22=/=4,C2对于由、一得=］史所以错误，D,32=0,x Z,D故选B例（•全国•高一专题练习）设非空集合满足尸之，则表述正确的是（）

15.2023P,,有有A.Vxc xsP B.X/XEP,XEQ，使得使得工任C.3x^2D.3xeP,【答案】B【解析】因为尸口，则由子集的定义知集合中的任何一个元素都在中，而中元素不一定在中（集合相等或不相等两种情况），故正确，错误.PBACD故选B例（•全国•高一假期作业）下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（）

16.2023菱形的两条对角线相等A.Va,b£R,/+b20B.焉=/一次函数的图象是直线C.D.【答案】D【解析】对于氏/+为全称量词命题，但是/+/故是假命题，故错误,A,\/4/£62020,A对于是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故错误,对于是存在量词命题，故错误，B,B C,C对于既是全称量词命题也是真命题，故正确,故选D,D D经典题型三应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值范例（•全国•高一专题练习）设集合））

17.2023U=R,^={x|0x3,5=-1x2;

7.加求力；1=3,n@B⑵若〃〃是〃〃的充分不必要条件，求加的取值范围.xe3xe/【解析】由题意知当加时,故电或%1=33={x|2Kx«6},3={x|x26},而故（药））；4={x|0X3},4c5=[0,2由〃〃是〃〃的充分不必要条件，可得2xe3xeZ BA,故当时，,符合题意；3=00771-10—12m3当时，需满足加，且一’一中等号不能同时取得，023m-l2m3解得加,1«23综合以上，加的取值范围为〃或2-12例•江西新余•高一新余市第一中学校考开学考试设全集集合/=〈集

18.2023U=R,{x|l x5},B={x\-\-2axa-2}.⑴若〃是〃〃的充分不必要条件，求实数的取值范围；eAxe8⑵若命题〃则〃是真命题，求实数的取值范围.\/X£8,xe/【解析】由〃〃是的充分不必要条件，得1xe/A B,—1—2a或1a-25因此1解得aN7,a-25X^={x|lx5},B={x\-\-2axa-2},所以实数的取值范围为命题则是真命题，则有名/,2“X/xwB,xe/”8当时，解得〃，符合题意，因此；8=0-2,Q233当时，3W0A={x\\x5},B={x\-\-2axa-2},无解，\^\\-l-2aa-25,所以实数的取值范围例•高一课时练习已知实数满足其中广；实数满足-.若夕是的充分条件，求

19.2023p x0q x2x3q实数的取值范围.Q【解析】由，即集合力=P3XQ,Q{x[3X4,40},由即集合q:-2x3,B=[x\-2x3],因为〃是的充分条件，可得力《q8,3a-22则,解得—VQ3a0,a0V2\所以的取值范围是-£,

0.例•江苏盐城•高一校联考期中已知集合=[-若是工£尸的充分条件，求

20.20232,10,S={x|mxl+m}.XES实数机的取值范围.【解析】由是的充分条件，则即[初+刈口一XES xsPSnP,12,10,又团+团，则非空，1S所以〈S，可得加近一2,

9.1+m10例•高一课时练习若/=卜|%+或且是的充分不必要

21.20232},8={X|X-1X〉3},Z3条件，求实数〃的取值范围.【解析】因为是的充分不必要条件，48所以居8,乂{、|%—或工〉4={X[QXQ+2},8=13}.所以“+或2W—1所以实数的取值范围是或a23}.例•高一单元测试设实数满足集合实数满足集合

22.2023p x4={X|3QVXVQ,a0}q x5={x|x9—4,或论一2},且夕是夕的充分不必要条件，求实数的取值范围.【解析】,•,是的充分不必要条件，q，是的真子集，A

8、a«—43672—2，[a0或[a02解得—或0—4,32即实数的取值范围-或

4.例•天津武清•高一校考阶段练习已知集合/={#或

23.20231x25},B={x\2axa+2}.若=一求和11,ZcB若是的必要条件，求实数〃的取值范围.2xe/xeB【解析】1—1,.B={x\-2x1],；.或；AcB=1x|-2x-11,=x25}・是的必要条件，2,.xe4xeB；・B三A・••当3=0时，则有2QQ+2,解得

2.满足题意.〃+〃+、22/\22/当时,有⑴或⑵02-,2…,X.X.由不等式组⑴可得不等式组无解.a4-3,2综上所述，实数的取值范围是{|或a24-3}.例•高一课时练习已知实数满足,其中；夕:实数满足-若夕是的必要

24.2023P xQX3QQ0x2W xW3,条件，求实数〃的取值范围.【解析】因为即集合；P QX3Q,4={Q[QX3Q}好实数满足—即集合x2«x3,,3={x|-2VxV3}.又因为是的必要条件，所以43©/,。