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ci—2所以3a3,aQ解得ae
0.所以实数的取值范围为例(•全国•高一随堂练习)在
①充分而不必要,
②必要而不充分,
③充要,这三个条件中任选一个条
25.2023件补充到下面问题中,若问题中的实数加存在,求出实数小的取值范围;若不存在,请说明理由.问题已知集合{邓非空集合〃是否存在实数〃使得是的条件?4=VxV5},8={x|l-zWx«l+2m}.2,xe/xeB【解析】因为集合=何一用《〈非空,所以一根(加,81x l+2m}11+2m0选择条件
①因为是的充分而不必要条件,所以是的真子集,xe/xeB A8(—加工11所以个(两个等号不同时取到),解得加故实数〃的取值范围是)22,2+
8.选择条件
②因为是的必要而不充分条件,所以是的真子集,xe/xeB8A[\-m1所以有掰且、八(两个等号不同时取到),201[1+2m5解得772=
0.综上,实数〃的取值范围是2{0}.选择条件
③因为是的充要条件,所以有〃且/=xeZ xeB20f1—m=1即G-此方程组无解,则不存在实数〃使得是的充要条件.2,xeZ xeB例(•黑龙江鹤岗•高二鹤岗一中校考阶段练习)请在〃
①充分不必要条件,
②必要不充分条件,
③充
26.2023要条件〃这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的实数机存在,求出〃的取值范围;若2不存在,说明理由.已知集合若是成立的4={x|-2Wx46},B=[x\\-mx\+m,m0],xe/xeB条件,判断实数〃是否存在?〃1—2K—2【解析】若选择条件
①,即是成立的充分不必要条件,集合是集合的真子集,则有〈、(xe4xe8481+m6解得m59所以,实数小的取值范围是)[5,+8;若选择条件
②,即是成立的必要不充分条件,集合是集合的真子集,xe/xeB3Z(—加12—2则有《人,解得加工03,[1+m6所以,实数〃的取值范围是(;20,3]f1-/77=-2若选择条件
③,即是成立的充要条件,则集合等于集合则有工,方程组无解,xeZ xeB48[l+m=6所以,不存在满足条件的实数冽.经典题型四充要条件的证明例(•江苏•高一专题练习)设也分别为春的三边的长,求证关于的方程父+以+/=
27.20238x20与有公共实数根的充要条件是//=.F+2M—/=o90【解析】证明必要性设方程分+〃=与〃有公共实数根%,X2+20x2+2cx-=o则)()XQ+2QX0+/2=0,xj+2cx_/2=0两式相减并整理,可得()4-C/+/=0因为所以/=«一,将此式代入片()〃中,6wO,Q—cwO,+2QX+=0c-a整理得〃+/=/,故.44=90充分性:因为,可得〃+/=,所以性=〃一°4=9022,将〃=/一/代入方程/+2QX+/2=0中,可得—+2ax+a2-c2=0即()()x+Q-c x+Q+c=0,将〃=/一02代入方程2-b2=0中,可得/+2cx+c2-a2=0,+CX即()()x+c-Q X+c+a=0故两方程有公共实数根=-(+)X C.所以关于的方程一+冰+〃=与〃有公共实数根的充要条件//=.X20/+25_=090例(哈国•高一专题练习)求证关于的方程办法+有一个根是的充要条件是
28.2023x2+0=01Q+b+c=
0.【解析】假设夕方程有一个根是QY+bx+o=01,q q+6+c=
0.证明即证明必要性:pnq,・/x=1是方程ax2++c=0的根,・、・『+b・1+=0,即a+b+c=
0.再证明即证明充分性qnp,由Q+〃+C=O,得c=-a-b.ax1+bx+c=0,・e•ax1+bx-a-b=O,B|J6z(x2-1)+/(%-1)=
0.故()()X-1QX+Q+6=
0.・・是方程的一个根..x=l故方程有一个根是的充要条件是ax+6x+c=01a+b+c=
0.例(•全国•高一专题练习)求证方程一一一〃有两个同号且不相等实根的充要条件是
29.20232%32=0・-m
0.3【解析】充分性•・・-;〃20,/.方程x2-2x-3m=0的判别式A=4+12m0,M-3m0,・••方程――有两个同号且不相等的实根.2x—3m=0必要性若方程——加=有两个同号且不相等的实根玉广,2x-302则有《々八,解得一彳加.x x=-3m0312综上,方程有两个同号且不相等的实根的充耍条件是-;加.f—2x-3m=0例(•高一课时练习)设为“的三边,求方程方+与有公共根的充要条
30.2023Q,48C/+2/=0Y+2CX—62=o件.【解析】必要性设方程如+/=与〃=的公共根为加,/+2f+zcx—则〃/+2am+/=0,m2+2cm-b2=0,两式相加得冽=-()(加舍去),Q+c=0将加=一(+)代入加22am+b2=0,+得『+勿[__Q+C Q+C[+62=0,整理得/=〃+,.所以4=
900.充分性当/=邛寸,/=〃+/,90于是f+2ax+b2=0等价于F+2ax+/-2=0,c所以[x+a+c][x+a-c]=0,该方程有两根玉=一+,x=-a-c.2同样一/等价于%冬+22+23=02+2cx-2=0,所以[x+4+c][x+c-a]=0,该方程亦有两根%,3=—Q+c Z=—c—a.显然不=退,两方程有公共根.故方程/+与力有公共根的充要条件是2QX+/=0f+2cx—2=0A=90°.例•全国•高一专题练习求证等式/工+、+对任意实数%恒成立的充要
31.20232+b]X+C[=x22条件是=出,=与=・q42【解析】充分性若,则等式=%工显然对任意实数%恒成立,充分性成立;q=a,b=%=c qf+Ax+q2+3+22[2必要性由于等式%―+b]X+G=ax2+〃21+2对任意实数次恒成立,2=G2分另将代入可得,U x=0,x=l,x=_]q+4+C]j+J+G%—4+q=—b+c2a-ax2解得,必要性成立,q=Q故等式4-^x+Cj=ax2+3+2对任意实数%恒成立的充要条件是6=24=
2.2经典题型五命题的否定例(山东德州•高三统考阶段练习)下列结论正确的是()
32.2023•A.”Hr£Q,Jx;+后£Q〃的否定是〃\/x sQ^x1+G sQ〃〃;〃的否定是〃七任〃B.*O£Q,JX+A EQ Q〃四边形是矩形〃是〃平面四边形的每个内角都相等〃的充要条件C.ABCD ABCD〃四边形是矩形〃是〃平面四边形的每个内角都相等〃的充分不必要条件D.Z3C43C【答案】C【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题,则〃七°£〃的否定是〃〃,Q,X/x£Q,7^7^eQ、错;A B四边形是矩形,则每个内角都相等,反之也成立,48C所以〃四边形是矩形〃是〃平面四边形的每个内角都相等〃的充要条件,对,错;43co43C CD故选C例(•辽宁•高三大连二十四中校联考开学考试)已知命题「夕则()
33.20233aeR,a—,A.pR,Q一兀〉0B.pVQ^R,a71-7ia0一兀兀一兀C.pz e R,Q WOD.p V£R,q«0【答案】D【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题,所以/一的否定是“BaeR,40P V£R,故选D例(•全国•高一专题练习)命题〃Y国〃的否定是()
34.2023X/XER,20A.3xeR,X2-2|X|0B.X2-2|X|0C.SXGR,X2-2X0D.VxeR,x2-2x0【答案】A【解析】由全称量词命题的否定可知原命题的否定为玉国
20.故选A例(•江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习)命题〃〉_工十〉的否定为()
35.2023Vx0,f1A.Vx0,x2-x+10B.Vx0,x2-x+10【答案】C【解析】Vx0,——1+1〉0〃的否定为土〉0,X2-x+
10.故选C.例(•全国•高一专题练习)命题〃加〉〃的否定是()
36.2023Vxl,x2—1A.3xl,x2-m\B.3x1,x2-mlC.Vxl,x2-ml D.Vxl,x2-m\【答案】A【解析】命题一机1〃为全称量词命题,其否定为Hxl,x2-ml.故选A例(四川宜宾•高二宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习)命题〃;〉〃的否定是()
37.2023•m/0/-5/+60A.Vx0,x2-5x+60B.Vx0,x2-5x+60C.3xR,-5x+60D.3x0,-5x+600000【答案】B【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题,则原命题的否定为一Vx0,f51+
640.故选BX例(•全国•高一专题练习)命题〃—、〉〃的否定是()
38.2023Vxl,0x-1Y XA.Vxl,——0B.Vxl,0X—1x-•1上(()C.3%1,0D.3xl,x x-l0x—\【答案】D【解析】命题〃〉的否定是()Vx l,1,x x-l0\x-1故选D.例(•浙江温州•高二统考学业考试)已知命题则命题的可为()
39.2023p Dx2,|x|3,叫A.2,|x|3B.3x2,|x|3000C.Vx2,|x|-3D.Vx2,|x|3【答案】A【解析】已知命题夕则命的r7为比闻Vxv2,|x|3,2,
3.故选:A.例(•山东枣庄•高一校考阶段练习)命题〃使得〃的否定形式是()
40.2023VXER,,使得〃使得〃A.VXGR cYB.VXG R,使得〃工使得〃《一C.3xeR,2D.3xeR,【答案】C【解析】由命题的否定的定义,因为原命题是〃使得〃〃TXER,2f,因此其否定形式应该把全称量词改为存在量词把〃改为〃工所以命题〃使得〃丁〃的V32V2,DXER,2否定形式是“*使得〃〃ER,%2,经典题型六由命题真假求参数的值(取值范故选C.例(•全国•高一专题练习)已知全集集合集合〃()若求
41.2023=R,4={%11x3},3={x|2x11实数加的范围;()若使得玉二%,求实数机的范围.2V%,3x e5,2【解析】()若/口台,则18=当B=0时,则2m31-m,m—,32m1-m当时,则加,则加不存在,BN02211-m3综上,实数加的范围为(一°°,)m—A C\B B,
4.9()使得玉二,且力2,/VXj G,3x e5,X2:,A=B,w0,2f2m1则〈.,.掰一i2,1-m
3...实数加的范围为()-*-
2.例(•全国•高一专题练习)已知命题勺工满足—使〃
42.20231:2x2,2X—Q=O,命题〃〃,若命题中至少一个为真,求实数的范围.1P mxwR,f+q—ix+40命题若夕是夕的充分不必要条件,求实数的范围.2P2QXQ+1,【解析】命题小〃玉满足-使〃〃,为真命题时,12x2,f—2%—=0Q=Y_2X,令/力二X2—2X,—2X2,ljliJ-l/x8,所以-1«Q8,所以命题为假时,则-或之q18,命题“王£+为真命题时,P R,%2-1X+40,△解得〃一或〃〉-12-4x40,35,所以命题夕为假时,则〃-3445,[—3tz5又因为命题国都为假命题时,、,P Q即—3£—1,所以命题,中至少一个为真时,实数的范围是卜,-或};P qa32-1由可知命题为真命题时,21q-i^8,记/=[-〃1,8,8=2,Q+1因为夕是的充分不必要条件,9所以B A,当即+也即时,满足条件;3=0221,当时,8/02Q4+1,解得—;,2Q2—112a+18综上可知实数的范围是一I,E例•河北承德•高一承德市双滦区实验中学校考期中解答
43.2023已知命题工+〃是真命题,求实数〃的取值范围;1pVx£R,6+2320⑵已知命题/玉满足使+〃为真命题,求实数的范围.14x42,a【解析】命题夕为真命题,即在上恒成立.1af+2x+320A
①当时,不等式为显然不能恒成立;=02X+320([a0A〉Q0
②当时,由不等式恒成立可知即WO A021ylA=2-4X6ZX30a-13所以Q4-J综上,的取值范围是a⑵当时,由歹=—(工+)一当时,函数的最小值1W2+2%=121,x=l3,当x=2时,函数有最大值8,3x2+2%8,由题意有+之所以80,aN—
8.例(•全国•高一专题练习)〃()加〃是真命题,则加的范围是
44.2023Vx£O,l,x+-10【答案】m0【解析】对于命题对任意、£()不等式掰恒成立,0,1,1-x而工()有()£0,1,1-X£O,1,・・・〃命题为真时,实数〃的取值范围是加20,J
20.故答案为m0例(•全国•高一专题练习)某中学开展小组合作学习模式,某班某组小王同学给组内小李同学出题如
45.2023下若命题〃氏/+加工〃是假命题,求加范围.小李略加思索,反手给了小王一道题若命题〃1¥£2%+0Vx£R,/加〃是真命题,求加范围.你认为,两位同学题中小范围是否一致?(填+2x+0是〃否〃中的一种)【答案】是【解析】因为命题〃玉加〃的否定是〃\/%£氐/+加〃,£R,/+2x+2%+0而命题〃加〃是假命题,与其否定〃加〃为真命题等价,*£R,X2+2X+40Vx£R,Y+2x+0所以两位同学题中加范围是一致的,故答案为是例(滴一校考单元测试)若命题〃*;机〃是假命题,则实数的范围是.
46.2023eR,x+x0+0m【答案】【解析】命题*;是假命题,即命题的否定为真命题,o£R,x+Xo+mO其否定为;则加解得V;%£R,x+Xo+m2O,A=l—400,m^-.「11故实数机的范围是了,+°°-)1_4「11故答案为:,+
00.)1_4例(•全国•高一专题练习)命题〃凡分〉〃为真,则实数口的范围是
47.2023VXE2+4+30「)3【答案】0,-;L4【解析】由题意知不等式对恒成立,2+4QX+30xeR当时,可得恒成立满足;=030,03当时,若不等式恒成立则需八,解得,A“2S0:/一A=161204「、3所以的取值范围是二,0,;L4故答案为例(•福建宁德•高二统考期末)若命题〃〃是假命题,则范围是
48.2023IXER,——QX+IWO【答案】()-2,2【解析】由题设可得一办+〉为真命题,利用判别式可得的范围.因为命题〃玉£〃VXER/210Q R,——QX+140是假命题,故恒成立,VXER,――QX+I0故△=/—即一402Q
2.故答案为()-2,
2.例(•全国•高一专题练习)若〃使-则实数〃,的范围为
49.2023*o£[O,2],%2+4X—320,【答案】)[1,+s【解析】使一工一成立,可令-得工解得所以实数〃的范围是)3x G[O,/W],*+4320f+4x-320,2_41+30,[1,+
8.0故答案为+°°).[1,例(•广东广州•高二校联考期末)若命题〃叫使得()〃为真命题,则实数
50.2023ER,Xo2+a—i xo+i4o【解析】由可得,或,所以〉可推出,白,即是,白〃的充分条件;由,白,a1040Q10a10a10a10a10a10不能够推出故〃〃〉〃是〃上〃的不必要条件;10,10La10综上,〃〉〃是八小的充分不必要条件.Q10a10故选A例(•上海•高一专题练习)若则〃〃是〃町〃的()
3.2023x,R,x=0=0充分条件必要不充分条件A.B.充分不必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】C【解析】当%=时,町=,0当孙时,或=0x=o y=o,所以〃是〃町=〃的充分不必要条件.“X=00故选C.例(•北京•高二汇文中学校考期末)设或则是成立的()
4.2023p x3,g:x3x4,P4充分必要条件充分不必要条件A.B.必要不充分条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】B【解析】因为或p x3,q:x3x4,即夕成立时,夕一定成立,但夕成立时,夕不一定成立,故夕是成立的充分不必要条件.q故选B.例(•江苏南京•南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测)设是四个命题,若
5.20234B,C,是的必要不充分条件,/是的充分不必要条件,是的充分必要条件,则是的()488必要不充分条件充分不必要条件A.B.充分必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】B【解析】因为是的必要不充分条件,所以推不出A8A3,因为是的充分不必要条件,所以推不出因为是的充要条件,所以A C A,8=8,BnD,的范围为.【答案】或心13【解析】利用△()即可求出.若命题〃玉()使得()〃为真命题,则△()2£R,/2+4_1%0+10=0—12—420,解得或1Q
23.故答案为或
23.例(•湖南张家界•高一统考期中)命题〃使——心〃是真命题,则的范围是,
51.2023VXER,o【答案】a
0.【解析】等价于〃《一在工尺恒成立,即得解.命题〃使一〃》〃是真命题等价于时,/之〃㊂VXER,f ok eR恒成立.所以在工及恒成立,“4/㊂所以〃«
0.故答案为aQ模块三数学思想方法
①分类讨论思想例已知全集=集合/=集合幺,乂,〃其中
52.1,{x|-3”X”7},8={x|3-22-5},aeR.()若是的充分条件,求的取值范围;1()若“工£/”是的必要条件,求的取值范围.2“X£3”【解析】()因为是的充分条件,故/口1“X£5”3,在数轴上表示出集合力和金3-2«,2a-5a..2则,即解得匹.3—2«,-3*3,6,一
25...
747...6V X.则的取值范围为[);6,+00()因为是是必要条件,故2“x e B”Bq4,
①当时,即符合题意;5=03-2Q〉2Q-5,Q2,
②当时,在数轴上表示出集合力和以3—2Q,,2Q—5a・.2,即-3”3—2cl解得a.3,2,,a,3,2a-5„7a.6综上所述,的取值范围为-s,3].例已知集合
53.P={X|Q+L,X,2Q+1},Q={x\-2„x”5}.⑴若求©尸C;=3,若“工£夕”是”充分不必要条件,求实数的取值范围.2“xe【解析】⑴当=时,或3P={x|4„%,7},«P={x|x4x7},因为0={x|-2,,X,,5},所以尸c=;{xI-2„x4}若“£尸”是“£”的充分不必要条件,2X X即P Q,当时,〃此时满足,Q+1〉2Q+10,=0,PU当寸,则即PW0H2Q+L.Q+1,a..0,2a+
1.5且《等号不能同时取,・[Q+L.—2解得:为0”2,即实数的取值范围为a4,
2.例已知集合=|/一]羽因全集
54.42a+6},8={x|0„4},=R当时,求14=14c”:若是的充分不必要条件,求实数〃的取值范围.【解析】⑴当时,集合/=电2“X£8”Q=1{x|0,,x”8},8={x|x0或故x4},4c05=|4r8;由题知,即且/,25U A82二;;,解得“…当=力时,:一解得8a=—1,[2Q+6=4由力得,一31,综上所述实数的取值范围为-411].例
55.设集合/=|x|x2+4x=o|,B={x\x2+2a4-lx4-a2-1=0}.若一求的值;1le3,a设条件条件若是的充分条件,求的取值范围.2p x e Aq x eB,q pa9【解析】⑴・・,—IwB,,1-2a-2+Q-1=0解得Q=1±Vs;・・依题意
2.4={0,-4},3=4,
①若・・〃尸-」;5=0,.A=4+14/—10Q—1
②若3={0}或8={-4}时,.・.A=4Q+12-4/-1=0,a=-1,此时{—;8={0},84}A0
③若「〃解得=8={04}0+—4=-2-2,1,0X—4=Q2_]X.综上的取值范围是q例已知集合/=,在
①②力”是
56.{x|a-L,X,2a+l},B={x\-44}Zu5=3;XE“x eB”的充分不必要条件;
③这三个条件中任选一个,补充到本题第问的横线处,求解下列问题.Zc3=02当时,求金1a=3AcB;若,求实数的取值范围.2a【解析】当时,而1a=3/={%|2„%,7},8={x|—2,,%,4},所以或Zc8={x|2,%,4},6R/C5={X|X2x4}选
①,由可知,2Zu5=5当时,则〃一+即〃—满足则4=0121,2,Q—2,・Q—L.—23当时,…―由/=得,解得—%一,2,B iL,[2Q+1,,423综上所述,实数〃的取值范围为-或2-L,%-2选
②,因是的充分不必要条件,则,“XS5”当/=时,则〉+即满足,则0Q—121,Q—2,/U BQ—2,..f6Z—
1...—23当时,一由得\且不能同时取等号,解得—/W0a…2,ZU3L,.〃[2+L423综上所述,实数的取值范围为或--2L,%—2选
③,当时,则即满足则一4=0Q—12Q+1,Q—2,4c8=0,2,、3当时,由得或〃一解得——或a..-24c5=024+1-214,Q a5,2
一、3乂・一所以一—或a•2,2,,ciQ
5.23综上所述,实数的取值范围为-一或〃a52
②转化与化归思想例已知集合{打一不,
57.4=2,5},8={x|m+l,42m-l}.若命题夕才是真命题,求〃的取值范围;1DX£6,X£2命题是真命题,求的取值范围.2-3x e A.xeB m【解析】⑴因为命题是真命题,PXESXEN所以当时,解得;8=0m+\2m-\,m2m+L,2m-1当时,加后两项不同时取等号,8W0+1…-2,2m-L,5解得办,2,
3.综上,加的取值范围为{加|加„3}.因为玄£是真命题,294%£3所以,所以只需满足〃即可,即〃2+L,52,
4.故加的取值范围为伽啊24}.例已知命题凡时乂+加若夕为假命题,求实数机的取值范围.
58.HXE40,【解析】由题意得力尺加忖+%DXE40,丁夕为假命题,为真命题.当加时、对恒成立,符合题意;=0VXER,Q,0当加时,得加(国+又国+〉则得外w041],0,410,0,可得〃20,综上可得实数〃的取值范围为叫,
20.例已知集合/=工,},集合台=四川+入匕川+韦,如果命题“口%£尺,使得
59.|0„为假命题,求实数的取值范围.AcBW【解析】命题“三加£,使得%为假命题,则其否定“\/加£火,为真命题C8W0”/C8=0”当时,集合/=}=符合40{x|Q,x,0,Nc8=0当时,因为加,所以a..O2+3VmwE,AcB=0得Q m2+3对于Vm eR恒成立所以(加)则2+3=3,0”a3\/min综上,实数〃的取值范围为Q
3.例已知全集为集合乂,集合〃=或〉(〉)
60.A,P={x|2”10},{x|xa x2a+l}Q
0.⑴若尸是成立的充分不必要条件,求的取值范围;a()若(〃)=求的取值范围.2Pc«0,【解析】()因为工£是成立的充分不必要条件,1所以集合是集合的真子集,M因为匕集合或〉()P={x I2,,10},M={x|xQ x2Q+l}a0,所以或〉+解得或〉10Q221,0a,a10,2故的取值范围为{〃[;或a0a10}.因为集合/或〉2={X|XQ x2Q+l}a0,所以〃匾.6R={X|2Q+1}Q〉0,又因为Pc©=0,所以或Q〉102Q+12,即或0Q,Q10,2故的取值范围为或a10}.
③方程思想例
61.已知mx2-B q^xwR,%2+2x-m-l=0,若p,q都是真命题,求实数〃2的取值范围.【解析】巾“,若夕真,可得用,一濡,P PxwR,11而一时,取得最小值一则加一;y=X2L.—1,x=01,1q0xe R,X2+2x-m-l=0,若q真,可得And+dO+l…0,解得勿z..—
2.[m-1若人都是真命题,可得力则-加-p,2,,
1.[加…一2故实数机的取值范围是-2,,m-l.例
62.已知,命题p:\/x£凡2国+〃+2…0,命题q:Hxc[—3,—,,2-^z+1=
0.x若命题为真命题,求实数的取值范围;1P若命题为真命题,求实数〃的取值范围.2q【解析】⑴・・・命题+〃-2T为真命题,乂国R|J tz.—2x—2,-2-2,-2,实数的取值范围为a a..-2;Q・・•命题4玉6[-3,-5_q+1=0为真命题,即亦即在上有解,X-a+1=0+1=q-3,--又当X£[-3,-力求得二次函数的范围—+10,即二次函数y=x2+l最大值为10,最小值是4,244・•.实数〃的取值范围为1,
10.4例已知掰关于的一元二次方程
①〃一和
②加加—求方程
①和
②
63.EZ,x2/4X+4=04X+4/%2—45=0,的根都是整数的充要条件.【解析1解:mx2-4x+4=0是一元二次方程,另一方程为x2-4mx+4m2-4/72-5=0,两方程都要有实根,解得〃
4.・,两根为整数,故和与积也为整数,事Zm/.4m eZ,〃4/-4m-5eZ,加为的约数,,加=一或411,当加=一时,1第一个方程的根为非整数,不符合题意;V+4x-4=0而当加时,两方程均为整数根,=1・・.两方程的根均为整数的充要条件是〃2=L例已知加£火,命题存在工£[』],不等式成立,若夕为真命题,求加的取值范围.
64.02x-
2..”2—3m【解析】・・・存在X£[0,l],不等式2x—2・.m2—3加成立,・・・(2x-2)max…/-3m,又函数在时的最大值为y=2x-20,K|J m2-3m,
0.解得Q,m,,
3.因此,若为真命题时,加的取值范围是p所以由可得nB,BnA,ZnC=C,由推不出推不出可得推不出CA,A3,D故是的充分不必要条件.C故选B.例(•四川眉山•高三仁寿一中校考开学考试)已知那么〃的一个充分不必要条件是()
6.2023p0x2,A.1x3B.-1x1C.0x1D.0x3【答案】C【解析】对于中,由则不一定成立,反之若则不一定成立,所以A lx3,0x20x2,lx3是的即不充分也不必要条件,所以不符合题意;1x30x2A对于中,由一则不一定成立,反之若则一不一定成立,所以一B0x20x2,1X11x1是的即不充分也不必要条件,所以不符合题意;0x2B对于中,由贝成立,反之若则不一定成立,所以是的充分不必要C0cx1,ij0x20cx2,0cx10cx10cx2条件,所以符合题意;C对于中,由则不一定成立,反之若则成立,所以是的即必要不充D0x3,0cx20x2,0x30x30cx2分条件,所以不符合题意.D故选C.例(•江西新余•高一新余市第一中学校考开学考试)〃〃+力〃是〃且〃的()
7.20234Q262充分不必要条件必要不充分条件A,B.充分必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】B【解析】当此时满足+力〉但〃〉且〉不成立,所以充分性不成立;=11=4,4,262反之若且/)可得成立,所以必要性成立,22,Q+6〉4所以〃〉〃是〃且力〉〃必要不充分条件.Q+6422故选B.例(•高一课时练习)点尸()是第二象限的点的充要条件是()
8.2023xjA.x0,y0B,xQ,y0〉C.x0,y0D.x0,y0【答案】B【解析】因为第二象限的点横坐标小于纵坐标大于0,0,所以点()是第二象限的点的充要条件是〉P xjx0J
0.故选B例(•四川绵阳•高一绵阳中学校考阶段练习)下列〃若乙则/形式的命题中,夕是的必要条件的有()
9.20239个
①若,》是偶数,则是偶数X x+V
②若〃则方程有实根2,2X+Q=0
③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形
④若仍=则=0,0A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】对于
①,是偶数,不能保证均是偶数,也有可能都是奇数,故
①不符合题意;x+y qv对于
②,若方程则需满足三即可推出故
②符合题意;Y—2x+Q=0,A=4-40,Q1,2,对于
③,若四边形是菱形,则四边形对角线互相垂直,故
③符合题意;对于
④,若,则〃故
④符合题意.=06=0,故选D.经典题型二全称量词命题与存在量词命题例(•全国•高一专题练习)下列命题中为真命题的是()
10.2023所有的矩形都是正方形A.集合{()声与集合{川=/}表示同一集合B.x,y\y=是的必要不充分条件C.4=8D.3XGR,X2+2X+20【答案】C【解析】对于项,所有长宽不等的矩形都不是正方形,故错误;A A对于项,由描述法的概念可知集合{()卜=/}与集合卜}分别表示点的集合与数的集合,B xj3=,显然不表示同一集合,故错误;对于项,由^=/-^=不满足充分性,若=力则/=/,满足必要性,故B C±6,c正确;对于D项,VXGR,X2+2x+2=x+l2+11,故D错误.故选C例(•四川眉山•高三仁寿一中校考开学考试)下列命题中,是真命题且是全称量词命题的是()
11.2023对任意实数都有/+/一一A.Q,b,226+20梯形的对角线不相等B.・C3x eR,^=^o0所有的集合都有子集D.【答案】D【解析】根据全称量词命题的定义可知,全称量词命题有三项,为存在量词命题,A,B,D C对于A,a2-^-b2-2a-2b+2=(a-\f0,故A为假命题;对于梯形的对角线不一定相等,故为假命题;B,B对于根据子集的定义可知,为真命题.D,D故选D.例(•高一课时练习)下列全称量词命题为真命题的是()
12.2023所有的质数都是奇数A.B.Vx eR,x2+l1对每一个无理数》,一也是无理数C.所有能被整除的整数,其末位数字都是D.55【答案】B【解析】质数中不是奇数,选项为假命题;2A都有则选项为真命题;VXER,/O,/+121,B血为无理数,但(行『=是有理数,选项为假命题;2C所有能被整除的整数,其末位数字可以是也可以是选项为假命题.550,D故选B例(•全国•高一专题练习)下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是()
13.2023每一个二次函数的图象都是开口向上A.存在一条直线与两条相交直线都平行B.对任意若则C.aWb+c,存在一个实数使得一一工+D.x,360【答案】C【解析】选项是全称量词命题,二次函数的图象有开口向上的,是假命题,不符合题意;A A选项是存在量词命题,不符合题意;B选项是全称量词命题,对任意则+即是真命题,符合题意;C ab+c,b,C选项是存在量词命题,不符合题意.D故选C.例(•全国•高一专题练习)下列命题中是真命题的为()
14.2023A.玉cN,使4x-3B.VxeR,x2+20C.Vx eN,2Vx2D.3xeZ,使3x-2=0【答案】B3【解析】对于由得了,所以不存在自然数使成立,所以错误,A,4x-3,x-4x-3A4对于B,因为X/xsR时,%20,所以/+220,所以B正确,对于当时,所以错误,C,x=22=/=4,C2对于由、一得=]史所以错误,D,32=0,x Z,D故选B例(•全国•高一专题练习)设非空集合满足尸之,则表述正确的是()
15.2023P,,有有A.Vxc xsP B.X/XEP,XEQ,使得使得工任C.3x^2D.3xeP,【答案】B【解析】因为尸口,则由子集的定义知集合中的任何一个元素都在中,而中元素不一定在中(集合相等或不相等两种情况),故正确,错误.PBACD故选B例(•全国•高一假期作业)下列命题中,是全称量词命题,且为真命题的是()
16.2023菱形的两条对角线相等A.Va,b£R,/+b20B.焉=/一次函数的图象是直线C.D.【答案】D【解析】对于氏/+为全称量词命题,但是/+/故是假命题,故错误,A,\/4/£62020,A对于是全称量词命题,但是菱形的对角线不一定相等,故错误,对于是存在量词命题,故错误,B,B C,C对于既是全称量词命题也是真命题,故正确,故选D,D D经典题型三应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值范例(•全国•高一专题练习)设集合))
17.2023U=R,^={x|0x3,5=-1x2;
7.加求力;1=3,n@B⑵若〃〃是〃〃的充分不必要条件,求加的取值范围.xe3xe/【解析】由题意知当加时,故电或%1=33={x|2Kx«6},3={x|x26},而故(药));4={x|0X3},4c5=[0,2由〃〃是〃〃的充分不必要条件,可得2xe3xeZ BA,故当时,,符合题意;3=00771-10—12m3当时,需满足加,且一’一中等号不能同时取得,023m-l2m3解得加,1«23综合以上,加的取值范围为〃或2-12例•江西新余•高一新余市第一中学校考开学考试设全集集合/=〈集
18.2023U=R,{x|l x5},B={x\-\-2axa-2}.⑴若〃是〃〃的充分不必要条件,求实数的取值范围;eAxe8⑵若命题〃则〃是真命题,求实数的取值范围.\/X£8,xe/【解析】由〃〃是的充分不必要条件,得1xe/A B,—1—2a或1a-25因此1解得aN7,a-25X^={x|lx5},B={x\-\-2axa-2},所以实数的取值范围为命题则是真命题,则有名/,2“X/xwB,xe/”8当时,解得〃,符合题意,因此;8=0-2,Q233当时,3W0A={x\\x5},B={x\-\-2axa-2},无解,\^\\-l-2aa-25,所以实数的取值范围例•高一课时练习已知实数满足其中广;实数满足-.若夕是的充分条件,求
19.2023p x0q x2x3q实数的取值范围.Q【解析】由,即集合力=P3XQ,Q{x[3X4,40},由即集合q:-2x3,B=[x\-2x3],因为〃是的充分条件,可得力《q8,3a-22则,解得—VQ3a0,a0V2\所以的取值范围是-£,
0.例•江苏盐城•高一校联考期中已知集合=[-若是工£尸的充分条件,求
20.20232,10,S={x|mxl+m}.XES实数机的取值范围.【解析】由是的充分条件,则即[初+刈口一XES xsPSnP,12,10,又团+团,则非空,1S所以〈S,可得加近一2,
9.1+m10例•高一课时练习若/=卜|%+或且是的充分不必要
21.20232},8={X|X-1X〉3},Z3条件,求实数〃的取值范围.【解析】因为是的充分不必要条件,48所以居8,乂{、|%—或工〉4={X[QXQ+2},8=13}.所以“+或2W—1所以实数的取值范围是或a23}.例•高一单元测试设实数满足集合实数满足集合
22.2023p x4={X|3QVXVQ,a0}q x5={x|x9—4,或论一2},且夕是夕的充分不必要条件,求实数的取值范围.【解析】,•,是的充分不必要条件,q,是的真子集,A
8、a«—43672—2,[a0或[a02解得—或0—4,32即实数的取值范围-或
4.例•天津武清•高一校考阶段练习已知集合/={#或
23.20231x25},B={x\2axa+2}.若=一求和11,ZcB若是的必要条件,求实数〃的取值范围.2xe/xeB【解析】1—1,.B={x\-2x1],;.或;AcB=1x|-2x-11,=x25}・是的必要条件,2,.xe4xeB;・B三A・••当3=0时,则有2QQ+2,解得
2.满足题意.〃+〃+、22/\22/当时,有⑴或⑵02-,2…,X.X.由不等式组⑴可得不等式组无解.a4-3,2综上所述,实数的取值范围是{|或a24-3}.例•高一课时练习已知实数满足,其中;夕:实数满足-若夕是的必要
24.2023P xQX3QQ0x2W xW3,条件,求实数〃的取值范围.【解析】因为即集合;P QX3Q,4={Q[QX3Q}好实数满足—即集合x2«x3,,3={x|-2VxV3}.又因为是的必要条件,所以43©/,。
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