第31讲正弦定理余弦定理（原卷版）

第讲正弦定理、余弦定理

31、正弦定理1（为△外接圆的半径）.===2R RZBC1_____________________________；2____________________________正弦定理的常⑶___________________________见变形4____________________________、余弦定理2）；1）；2）

3.余弦定理的常见变形、三角形的面积公式3（）（为边上的高）；15^C=[aha haA⑵「；SMBC=^absm C=Vcsin4=csin B222（））（为三角形的内切圆半径）.3S=/a+b+c r、（年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））在中，内角优的对边分别是力,，120234jl37r2717171C.—D.—A.—一105B.105若且一，则=acosB-bcos/=c,C=、（年高考数学新高考卷）.已知在中，（）22023I“8/+B=3C,2sin Z-C=sinB.⑴求；siM（）设求边上的高.248=5,、（年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷））记的内角伉的对边分别为320234b1+c2-a2已知cos A（）求力1c;、acosB-bcosA b.4z

（2）右-------------------------=1,求/BC面积.acosB+bcosA c、在△中，若则等于（）1/3C AB=13,BC=3,C=120°,ZCA.1B.2C.3D.

4、已知△，则等于（）2ASG a=5,h=15,/=30cA.25B.5或均不正确C.255D.、在△中，，且的面积为，则的长为（）3Z5C4=604B=2,5c3A.B.32C.23D.

2、（年湖北省宜昌市高三模拟试卷）若在中，角民的对边分别为，42022AASC44逐则（）A=60°,=24=43=或以上都不对A.45135B.135°C.45°D,考向一运用正余弦定理解三角形例、（•全国高三专题练习（理））在中，角八，所对的边分别为已知12021aABC8,C tzcosC,bcosB,ccosA成等差数列.（）求角的大小；1B4（）若求的值.2cosZ=—,sinC变式、（年河北省张家口高三模拟试卷）（多选题）在中，内角民所对的边分别为120224根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）,=A.6=10,/=4560B.b=VS5c=4,8=60=百C.4=2,4=45D.=8,6=4,4=80°变式、（年福建省南安国光中学高三模拟试卷）记的内角仇的对边分别为出“，220224（）2sin/=sin C+sin B-A.（）证明；1cosA=—b（）若〃=,求2cos

8.方法总结本题考查正弦定理、余弦定理的公式.在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.考查基本运算能力和转化与化归思想.考向二利用正、余弦定理判定三角形形状例、（河北张家口市•高三月考）（多选题）在△中，角/、、的对边分别是、、下面四2/8C BC bC.个结论正确的是（）=，则△的外接圆半径是A.2,4=3043C4若，一则/=B.=-^,45cos Asin B若/+//,则△一定是钝角三角形C.45若则D.A B,cos/cos B变式、在△中，内角所对的边分别为若）（〃）=则1484B,b,c,sm4=Q,S+C+Q6+C—3bc,sin Bc的形状为（）LABC直角三角形等腰非等边三角形A.B.等边三角形钝角三角形C.D.变式、在△力中，内角所对的边分别是若一〃（〃一）则△的形状为（）23C4B,Q,b,c,c cos8=2b cos/,/5等腰三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰或直角三角形D.方法总结判定三角形形状的途径

①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系.正（余）弦定理是转化的桥梁.考查转化与化归思想.考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积、周长例

3、（2022年江苏省徐州市高三模拟试卷）已知的内角所对的边分别为a,b,c,c2=a2+ab.（）证明；1C=24（）若=求的面积.23,sin A=—,3变式、已知△的内角所对的边分别为△的面积为1/8C4B,a,b,c,ZBC

0.3sin A（）求的值；1sin Bsin C（）若求△的周长.26cos8cos C=1,a=3,/BC变式、已知△的内角所对的边分别为248C4B,a,b,c,sin/+3cos4=0,a=27,b=

2.求的值；1c设为边上的一点，且求△的面积.23C ZQJ_/C,4343a cosB=6sin4，A=T b=6・变式、年广州番禺中学高三模拟试卷已知△的内角的对边分别为原32022/8C4B,C b,c,求角；1B求△的面积.248C方法总结求三角形面积的方法

1.若三角形中已知一个角角的大小或该角的正、余弦值，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，1代入公式求面积.若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积,总之，结合图形恰2当选择面积公式是解题的关键.已知三角形面积求边、角的方法

2.若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解.1若求边，就寻求与该边或两边有关联的角，利用面积公式列方程求解.

2、•山东泰安•高三期末在△中，”是△力为钝角三角形”的

1.2022ZBC“ta”4cosB充分不必要条件必要不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.、年河北省张家口高三模拟试卷在中，若则的形状为22022sin28+sin2C=sin2/,钝角三角形直角三角形等边三角形等腰直角三角形A.B.C.D._I

3、2022•山东莱西・高三期末在△ABC中，CA=a^CB=b7B0，a=5,b=3,若△48C的外接圆的半径为述，则角C=

3、年河北省承德市高三模拟试卷在中，内角的对边分别为且42022AA8C A,B,C b,C,26z+Zsin^+^cos———=csmC-asm A.求角的大小；113若求的面积.2=7,cos/+C=--,、年重庆市高三模拟试卷在中，角的对边分别为，且52022A,B,C b,sin5+2^cos5^求的值;1tan（）若的面积是底，求的值.26=6,/Be10。