充分条件与必要条件

B.尸是q的充分不必要条件C.q是s的充要条件D.p是s的既不充分也不必要条件答案BD【分析】根据题意得出靠―/p,即可由该条件判断各选项的正误.【详解】由题意知〃=尸0靠//p,所以s是9的充分不必要条件，〃是9的充分不必要条件，0是s的必要不充分条件，〃是s的既不充分也不必要条件.故BD正确.故选BD国现国统习

一、单选题

1.3的一个必要不充分条件是（）2A.—x3B.-3x一C.—1x6D.—x0222答案C【分析】根据必要不充分条件的定义，将问题转化为集合问题即-x3为所求结果的真2子集，再根据选项判断即可.【详解】根据题意，-%3的一个必要不充分条件即为所求结果的真子集，22根据选项可得是-lx6的真子集，通过可推出-lx6,通过22-lx6不可推出一故一1cx6是一!x3的一个必要不充分条件.22故选C.

2.荀子日“故不积踵步，无以至千里；不积小流，无以成江海,“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积踵步”是“至千里”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B【分析】根据充分条件必要条件的定义即得.【详解】由名言可得大意为如果不“积此步”，便不能“至千里荀子的名言表明积跆步未必能至千里，但要至千里必须积度步，所以“积度步”是“至千里”的必要不充分条件.故选B.

3.若xeR,贝『”=—1是x+lx—2=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解由x+lx—2=0,解得尸_1或.2,所以由尸-1推得出x+lx-2=0,故充分性成立，由x+lx-2=0推不出产-1,故必要性不成立，所以“产-「是”x+lx-2=0”的充分不必要条件.故选A

4.若贝卜〉1「的充分不必要条件是A.ab\^La-^-b2B.ob1且.一16-10C.〃+6〉2且一13-1〉0D.4+力〉3且〃一13一1〉0答案D【分析】对于选项A和B,可通过对力取特殊值进行验证判断，从而判断出正误；对于选项C,利用选项C中的条件，得出1力〉1,从而得出选项C是充要条件，从而判断出不符合结果，进而得出结论.【详解】对于A,当=2力=4时，有且+b2,但a1,故A错误；对于B,当=一2,6=—3时，有且伍―13—1〉0,但得不出故B错误；对于C,由一16—10,得至U a1且/1或a1且61,又〃+力〉2,故且61,此时是充要条件，故C错误；综上，可知符合条件的为选项D.故选D.A.x0B.x0C.x3D.x〉2或xV-

25.x-2x+2〉0的一个充分不必要条件是答案C【分析】解不等式x-2x+20,利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式x-2x+20可得xV-2或x〉2,因为{x x23}{x x-2或x2},故只有C选项中的条件才是“1-2工+2〉0，，的充分不必要条件.故选C.

26.设Px2或x-；q x〉2或x—l,则「夕是F的3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A【分析】分别写出对应的取值范围，再由范围大小即可确定选项.2【详解】根据题意可得-^:-1X2,2~|易知于2是［T2］的真子集，所以」夕，因此，「夕是的充分不必要条件.故选A

7.已知beR,下列四个条件中，使〉6成立的充分非必要条件是Q,A.Q〉b+l；B.ab-1；C.问〉网；D.a2b

2.答案A【分析】对四个选项一一验证对于A利用定义法直接判断；对于B、C、D取特殊值否定结论.【详解】对于A:因为6+1,所以”人.故充分性满足；但是6时，6+1不一定成立.所以A正确；对于B取特殊值=

0.51=1,满足但是不成立.故充分性不满足.所以B错误；对于C取特殊值=-2/=-1,满足||同，但是人不成立.故充分性不满足.所以C错误；对于D取特殊值〃=-2,6=-1,满足/〃，但是“不成立,故充分性不满足.所以D错误.故选A.

8.若…是一次函数V=3x+q-2的图象不经过第一象限叩勺充分不必要条件，则实数上的取值范围是A.{k\k4}B.{k\k4}C.{k\k2}D.{k\k2}答案D【分析】根据直线的性质可得一次函数=〃-3工+〃-2的图象不经过第一象限时实数人的取值范围，再根据充分与必要条件的性质求解即可.30[Q—【详解】若一次函数=〃-3x+〃-2的图象不经过第一象限，则有“八，解得故“一次函数歹二〃-3x+〃-2的图象不经过第一象限，，的充要条件是“〃42力因此，如果是“一次函数，=叱3x+q-2的图象不经过第一象限”的充分不必要条件，则“Qk

2.故选D.

二、多选题

9.下列命题中真命题的是A.b0”是“力产，的充分条件B.“户是“336”的充要条件C.“〉叱是“问网”的充分条件D.“〃〉叱是%24儿2，，的必要条件答案AB【分析】根据不等式的性质，判断各选项的结论.【详解】当ab0时/〃，A选项正确；力时有3〃〉36,3a〉3b时有〉力,B选项正确；当〃=1,=一2口寸，满足〃〉力，但向问，故C选项不正确；与4儿2没有关系，不能相互推出，因此D选项不正确.故选AB.

10.如图所示的电路中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是（）答案BD【分析】对于A,开关S与另一个开关是并联电路，灯泡L亮，S不一定闭合，判断A错误;对于B,开关S与灯泡L是串联电路，故B正确；对于C,开关S与灯泡L以及另一个开关三者串联，故C错误；对于D,当开关S与灯泡L是串联，故D正确.【详解】A中，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，也可能是S上方的开关闭合，因此“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件，故A错误；B中，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，开关S闭合，故B正确；C中，当开关S闭合时，灯泡L不一定亮，故C错误；D中，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，S开关闭合，故D正确.故选BD.

11.下列说法正确的是（）A.“四2反2»是“心的充分不必要条件〜

8.“中0是+歹0的必要不充分条件C.命题/+[=，，的否定是“土£,f+iwo，,FXER,（）1D.D.已知也ceR,方程办2+及+°=0有一个根为1的充要条件是4+力+°=0答案AD【分析】A.由不等式的性质求解判断；B.由不等式的性质求解判断；C.由含有一个量词的命题的否定的定义求解判断；D.将1代入方程求解判断.【详解】A.由a/〉//,得/伍一6）0,贝I」/〉，a-b0,即心力，故充分；由”力，得”力〉0,则为“，故不必要；故正确；B.由孙〉0,得x0/〉0或x0/0,贝U x+V0或x+y0,故不充分；当x=—1，歹=2时，满足x+V0,但孙0,故不必要，故错误；C.命题,/+]=0”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即,f+1“HXER“VXER故错误；D.当Q+b+c=0时，1为方程尔+bx+c=0的一个根，故充分；当方程尔+bx+c=0有一个根为1时，代入得+6+=0,故必要，故正确；故选AD

12.下列说法中正确的有（）A.-ab0”是“a〉/”成立的充分不必要条件B.命题P Vx0,均有/〉（），则夕的否定3x0,使得0C.设45是两个数集，则“力=是的充要条件D.设43是两个数集，若AcBw0,则★wZ,xeB答案ACD【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.【详解】解对于A,当女6〉0时，能推出/〉〃，而由不能推出口b0,如（—3『12,而-32,所以“ab0是72成立的充分不必要条件，故正确；A对于B,命题PVx0,均有/0,则命题2的否定3x0,使得故B不正确；0对于C,43是两个数集，则由4口8=4能推出反之，由/能推出4n5=/，所以“4口8=力”是“力右夕，的充要条件，故C正确；对于D,48是两个数集，若力C8W0,即集合

4、3存在相同的元素，则±xeB,故D正确，EZ,故选ACD.

三、填空题

13.对于任意实数，b,c,有以下命题

①%=是=b（T的充要条件；

②％+5是无理数”是％是无理数”的充要条件；

③（）（x-b）=0”是X=Q”的充分条件；“X-Q

④％5»是％3”的必要条件.其中正确命题的序号是答案

②④【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案.【详解】解:

①中Z=/T=、c=bd为真命题，但当c=0时，、0=6°”=〃=6”为假命题，故％=6”是Zc=6c”的充分不必要条件，故

①为假命题；:

②中Z+5是无理数”=、是无理数”为真命题，Z是无理数”=Z+5是无理数”也为真命题，故Z+5是无理数“是Z是无理数”的充要条件，故

②为真命题；:

③G”x-b=0”是x=a”的必要条件,故

③为假命题；:

④中{祢z3}比{m5}范围小，故5是比的必要条件,故

④为真命题.故真命题的个数为2故答案为

②④

14.如果A={x\x2,B={x|x3},那么“x e/或x e3”是“x£N PlB”的条件.答案必要非充分【分析】先化简两个命题，再根据充分条件必要条件的定义分析判断即得.【详解】因为/={小〉2},B={X\X3}9所以4U8=R,/c8={x|2x3},当xe/或时，即xwZuB,即xeR,当xe R时，x w4c3不一定成立；当x e/c8时，xe R一定成立；所以或xeB”是的必要非充分条件.故答案为必要非充分.

15.设43是有限集，定义设48=cd4UB-cdznB,其中cardZ表示有限集A中的元素个数.则是“4480”的条件.答案充分必要【分析】根据题设定义，再结合充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果.【详解】若则则ca〃/U3can//p|B,故d46〉0成立，若caWU8cd/D8,则力所以所以F W5”是“或4切0”的充要条件,故答案为充分必要

16.关于x的方程q2+21+1=0的实数根中有且只有一个负实数根含两相等实根的充要条件为.答案Q40或4=1【分析】根据方程根的情况，讨论=0和两种情况，结合一元二次方程根的分布情况,以及充要条件的概念，即可求解.【详解】若方程2+2l+1=0有且仅有一个负实数根，则当=0时，x=-1，符合题意.2当w0时，方程6+21+1=o有实数根，则A=4-420,解得当=1时，方程有且仅有一个负实数根产-1,当al且QW0时，若方程有且仅有一个负实数根，则，0,即〃v

0.a所以当或=1时，关于x的方程6+2x+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根.综上,“关Q00于x的方程分+21+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根，，的充要条件为“心0或故答案为或4=

1.

四、解答题

17.已知p:/={x||2x+l区3},93={x|l-掰+加}，若-〃是的充分不必要条件,求实数〃2的取值范围.答案加二0【分析】由题设p/={x|-24X«1},由「夕是「夕的充分不必要条件，即0是2的充分不必要条件，分类讨论即可得出.【详解】由夕|2%+1区3得-2VxWl,由q1-mx1+m,因为「〃是「9的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，当加0,即9为空集时，此时1一加〉1+m，则加

0.1-m14-m当时，1-m-2注意1-加2-2与1+中等号不能同时成立，解得〃2=

0.1+m1/.mQ.

18.设=R,已知集合4={x|-24x5},5={x|m+lx2m-l}.1当时，求实数加的范围;

（2）设:1£/；q x£B,若「是0的必要不充分条件，求实数加的范围.答案

（2）m3【分析】

（1）由题意知，4是集合5的元素，代入可得答案；

（2）由题可得B是A的真子集，分类讨论8为空集和B不为空集合两种情况，即可求得加的取值范围.【详解】

（1）由题可得m+142m-1,则24优3；2

（2）由题可得8是A的真子集，当B=0,则〃2+12m-1=m2；[2m-l5当Bw0,m2,贝ij八g（等号不同时成立），解得24〃23[m+1-2综上加工

3.

19.已知集合A=^x\x-141,5-2x31,C=—1x+1}.{X|2Q2Q1若x£C是“x e力”的充分条件，求实数的取值范围；2若4nBqC,求实数的取值范围.答案:⑴卜六.,、132a1Q-【分析】

（1）根据题意先判断1力,进而得到〃的不等式组，解之可求得实数的取值范围；

（2）根据得到的不等式组，解之可求得实数范围.【详解】

（1）解^A={x\lx-\4}={x\2x5},C={x\2a-lx2a-^l},・・・工£是“》34”的充分条件，J2a+1（5解得三Q42,3・•・实数的取值范围是.2解*/A=1x|lx-141=|x|2x5},5=1x|-2x3|,C x2a+l},={X|2Q-

1.・•AryB=[x\lx\,4口8之0,.[2a-l2…2Q+133解得1Q一,2实数a的取值范围是

20.已知p关于x的方程+Q-2=0有实数根，q m-\am+

3.-2QX+Q2z1若命题P是假命题，求实数Q的取值范围；⑵若P是4的必要不充分条件，求实数掰的取值范围.答案l{a\a2}2{加|m-1}【分析】1由命题P是假命题，可得△,从而可求出实数4的取值范围；2根据题意可得⑷加-”〃4冽+3}{a\a2},从而可求出实数〃2的取值范围.【详解】1因为命题夕是假命题，所以对于方程一一2+/+〃_2=0无实根，仃A=-2a-20,解得a〉2,4Q2+Q-所以实数〃的取值范围是⑷2}.2由1可知曲a

2.因为P是9的必要不充分条件，所以⑷加一1加+3}{a\a2}贝!］加+3W2,解得加4一1,9所以实数m的取值范围是{加I m-1}.【分析】根据四种命题的相互转化，对每个选项进行逐一分析，即可判断命题的真假.【详解】

①“若x+y=O,则2互为相反数”的逆命题为若”互为相反数，则x+y=O,命题为真命题；

②原命题的否命题为两三角形不全等则面积不等，是假命题；

③若/+21+9=0有实根，则△=40,解得故原命题为真，则逆否命题也是真命题；

④每项都是0的常数列，有些常数数列不是等比数列是真命题；”有些常数数列不是等比数列的否定是假命题.综上所述，真命题为

①③故选D.变式训练、设〃wR,命题“若〃2«0,则方程—+X_〃2=0有实根，，的逆否命题是（）1A.若—+工一加方程有实根，则加0B.若方程/+%-加=0没有实根，则〉0C.若方程—+工一m=o有实根，则〃20D.若方程f+X一加=0没有实根，则240答案B【分析】由逆否命题的定义判定即可.【详解】原命题的逆否命题是将条件与结论互换并分别否定，即命题“若加40,则方程—十工_加=0有实根，，的逆否命题是“若方程/+工_加=0没有实根,则加〉0”.故选B变式训练

2、已知命题

①函数）=一为的图象总在1轴上方；命题

②关于x的方程f+X+Q+I（2a-4卜+/=0有两个不相等的实数根.⑴若命题

①为真，求的取值范围；

（2）若命题

①、

②中至多有一个命题为真，求的取值范围.答案（）1Q30

（2）40或4之1【分析】

（1）分=

0、讨论可得答案；

（2）求出命题

①、

②都为真命题时的取值范围，再求其补集可得答案.【详解】

（1）命题

①函数歹=2_%++1的图象总在1轴上方为真命题，则当=0时歹=1,符合题意；a〉0当awO,由2八求得〉0，△=4q-4a a+l0A A故的取值范围为aQ；2若方程x2+2”4x+/=o有两个不相等的实数根，则A=2a-盯―4/0,解得女1,若命题

①、

②都是真命题，则041；故当命题

①、

②中至多有一个命题为真时，的取值范围为0或题型二充分不必要条件的判定例、”多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】充分性多面体为长方体则可以得出多面体为直棱柱，故充分性满足；必要性当多面体为直棱柱时，底面不一定为矩形可以取三角，所以多面体为直棱柱时不能得出多面体为长方体，故必要性不满足.故“多面体为长方体”是“多面体为直棱柱”的充分不必要条件.故选A.例、“xl”是“xNO”的2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A【分析】根据充分、必要性定义判断条件间的推出关系，即可得答案.【详解】由x〉l,则x20必成立，充分性成立；而x20,x〉l不一定成立，必要性不成立;所以“x〉1”是“x20”的充分不必要条件.故选AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式训练、设x0,yWR,则是的1答案A【分析】分JNO、先判断是否满足充分性，再判断是否满足必要性，即可得答案.【详解】解当时，由xW可得当y0时，由可得x—y〉y；故充分性满足；当歹20时，由可得x|y|；当y0时，由几x0,不可得如1—2,但1|-2|=2,故必要性不满足；所以是的充分不必要条件.故选A.变式训练、用符号o”填空:21x-3=0x-2x-3=0；2两个三角形相似两个三角形全等；3a,8都是偶数Q+人是偶数.答案nun【分析】1根据方程的根进行判断；2根据三角形相似与全等的概念进行判断；3根据偶数的概念进行判断.【详解】1因为方程x-2x-3=0的根为x=2或x=3,所以x_3=0=x_2x_3=0,但x_2x_3=04x-3=0故填“n”.92两个三角形全等二两个三角形相似，但两个三角形相似人两个三角形全等，故填3a,b都是偶数6是偶数，但+力是偶数4a,b都是偶数如=1,6=3,故填故答案为1=,2U,3=题型三充分不必要条件相关的参数问题例、若是的充分不必要条件，则实数加的取值范围是1答案［3,+8）【分析】根据题意得到卜|-

1、3｝与门|工加｝的包含关系，从而得到答案.【详解】因为“T〈xv3是的充分不必要条件,所以｛止1Vx3｝是｛巾加｝的真子集,故加

23.故答案为［3,+co）.例、已知命题“关于x的方程x2+mx+2阳+5=0有两个不相等的实数根”是假命题.2⑴求实数机的取值集合A；

（2）设集合8=｛m|l-其中若是“加£8”的充分不必要条件，求Q21,的取值范围.答案⑴^二｛时—2（阳10｝⑵［I，+00）【分析】

（1）由根的判别式大于0,得到不等式，求出实数机的取值集合；

（2）根据题意得到A$B,进而得到不等式组，求出的取值范围.【详解】

（1）若命题“关于1的方程/+加工+2〃2+5=0有两个不相等的实数根”是真命题，则A=〃/-4（2m+5）〉0,解得〃z10或加〈一2,故实数加的取值集合力=｛m|-2m10｝.

（2）;“me4”是“加e夕的充分不必要条件，A gB,乂力二｛〃一2（加W10｝,8=｛加1-W加W-1｝,1—2cl W—22Q Q故，等号不能同时取得，解得，11，（7-110故〃的取值范围为［11,”）.变式训练、若是“|x-42”的充分不必要条件，则实数Q的取值范围是（）1x-3A.14/3B.\a3C.-\a3D.-1^3答案B【分析】根据分式的性质、解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合充分不X—1必要条件的性质进行求解即可.【详解】因为一7x—30,贝1」（工一1）（工一3）0=1工3因为不一2,则一2x-a2=q—2cx+2，a-2l所以a+23H|J1x3是-的充分而不必要条件,2XQ+2故选B变式训练

2、设集合U=R,A={x|0x3},S={x|m-lx2m}.

（1）加=3,求力n（电B）；

（2）若“xe3”是“xC的充分不必要条件，求m的取值范围.答案⑴[0,2）「3

（2）m-11m—【分析】

（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案.

（2）根据题意可得84讨论集合8是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案.【详解】

（1）由题意知当〃2=3时，5={x|2x6},故4B={x|x2或x6},而/={x”xW3},故NcB）=[0,2）；

（2）由“xeB”是“xeZ”的充分不必要条件，可得8A,故当8=0时,,符合题意；0m-10—12m3当3w0时，需满足2阳《3，且一’一中等号不能同时取得，3解得加23综合以上，加的取值范围为优-1或14加工一・2题型四必要不充分条件的判定A.充要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D.既不充分也不必要条件例

1、“4=4”是“〃=2”的（）答案c【分析】由/=4,求得结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.Q=±2,【详解】由/=4,可得〃=±2,所以当/=4时，=2不一定成立，所以充分性不成立；当=2时，/=4一定成立，所以必要性成立，所以“/=4”是=2”的必要不充分条件.Q故选C.例、“〃+6〉4”是“〃2且/）2»的（）2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当=1/=4,此时满足+6〉4,但2且6〉2不成立，所以充分性不成立;反之若2且6〉2,可得+64成立，所以必要性成立，所以“+6〉4”是“a〉2且62”必要不充分条件.故选B.变式训练、“x〉0是”1的（）条件1A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要答案B【分析】根据充分性和必要性的概念直接求解即可.【详解】因为x04xl,x〉lnx，所以x0”是“x〉1”的必要不充分条件，故选B变式训练、下列“若夕，则形式的命题中，夕是的必要条件的有（）个24”

①若x，y是偶数,则X+V是偶数

②若2,则方程一一2%+4=0有实根

③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形

④若ab=Q,则=0QA.0B.1C.2D.3答案D。