中考冲刺方案设计与决策型问题知识讲解（基础）

中考冲刺方案设计与决策型问题一知识讲解基础【中考展望】方案设计与决策型问题对于考查学生的数学创新应用能力非常重要.如让学生设计图形、设计测量方案、设计最佳方案等都是近年考查的热点，题目多以解答题为主.方案设计与决策型问题是近几年的热点试题，主要利用图案设计或经济决策来解决实际问题.题型主要包括根据实际问题拼接或分割图形；

1.利用方程组、不等式组、函数等知识对实际问题中的方案进行比较等.

2.方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情境，要求解题者利用所学的数学知识解决问题，这类问题既考查动手操作的实践能力，又培养创新品质，应该引起高度重视.【方法点拨】解答决策型问题的一般思路，是通过对题设信息进行全面分析、综合比较、判断优劣，从中寻找到适合题意的最佳方案.解题策略建立数学模型，如方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型、统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策.【典型例题】类型

一、利用方程组进行方案设计.学校名教师和名学生集体外出活动，准备租用座大车或座小车.若租用辆大车辆小车共C16234453012需租车费元；若租用辆大车辆小车共需租车费元.1000211100求大、小车每辆的租车费各是多少元；1若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过元，求最省钱的租车方案.22300【思路点拨】设大小车辆租车费用分别是元，由题意，列出方程组，求解即可；1x,y首先由题分析得出租车总数为辆，再列方程组解出取值范围，分析即可得解.26【答案与解析】⑴设大、小车每辆的租车费分别是、元.x yx+2y=1000x=400解得j=300即大、小车每辆的租车费分别是元、元.4003002y+x=}100名师生都有座位，租车总辆数每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数故租车总224026,W6,数为辆.6设大车辆数是辆，则租小车辆,x6—x则可列方程组45x+306-x^240400%+3006-x2300解得4WxW

5..•不是正整数，，或•X=

45.于是有两种租车方案，方案一大车辆，小车辆，总租车费用为元；方案二大车辆,小车4222005辆，总租车费用为元.故最省钱的租车方案是租大车辆，小车辆.1230042【总结升华】考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用.举一反三:【变式】某班有学生人，其中男生与女生的人数之比为

5565.（）求出该班男生与女生的人数；1（）学校要从该班选出人参加学校的合唱团，要求

①男生人数不少于人；

②女生人数超过男生2207人数人以上.请问男、女生人数有几种选择方案？2【答案】解（）设男生有人，则女生有人.16x5x依题意得6x+5x=55,，•♦X--5A6^=30,5x=

25.答该班男生有人，女生有人.302520—y—y2由题意得:》y7⑵设选出男生人，则选出的女生为（力人.y20—解得7Wy9,的整数解为、•••y

78.当时,y=720-y=13,当寸，y—8H20—y=

12.答有两种方案，即方案一男生人，女生人；方案二男生人，女生人.713812类型

二、利用不等式（组）进行方案设计温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球.某制笔企业欲将〃件产品运往三地销C

2.4B,C售，要求运往地的件数是运往力地件数的倍，各地的运费如图所示.设安排件产品运往地.2x4⑴当〃时，=200

①根据信息填表:*地夕地地合计产品件数（件）X2x200运费（元）30x

②若运往地的件数不多于运往地的件数，总运费不超过元，则有哪几种运输方案⑵若总84000运费为元，求〃的最小值.5800【思路点拨】（）

①运往夕地的产品件数=总件数〃一运往力地的产品件数一运往地的产品件数运费=相应件数1一件产品的运费；X

②根据运往夕地的件数不多于运往地的件数，总运费不超过元列出不等式组，求得整数解的个4000数即可；（）总运费=/产品的运费+夕产品的运费+产品的运费，进而根据函数的增减性及（）中

②得到的2C1x的取值求得〃的最小值即可.【答案与解析】（）

①根据信息填表:1/地夕地地合计产品件数件200-3%运费阮1600-24%50x56x+l600/〜[2Q0-3x2x

②由题意得1[1600+56%4000解得一.40WxW427•・为正整数，.=40或41或42,•••有3种方案，分别为地件，夕地件，地件；i/408080地件，夕地件，地件；ii/417782地件，地件，地件.iii/4287484由题意得〃整理得〃=230x+8-3x+50^=5800,725—7x.:〃一3x20,.x^72,

5.又・・・x20,为正整数.随的增大而减小，，当时，〃有最小值为【总结升华】••2x x=

72221.考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值的最小值.n举一反三【高清课堂方案设计与决策型问题例】2【变式】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了台甲型和台乙型污水处理设备，共花费资金32万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污5475%,水吨，每台乙型设备每月能处理污水吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为万元，2001601每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，L5于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共台用于二期工程的污水处理，要求本次购买资金不超过万元，884预计二期工程完成后每月将产生不少于吨污水.1300••••••请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？1请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；2若两种设备的使用年限都为年，请你说明在的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？3102总费用=设备购买费+各种维护费和电费【答案】解设一台甲型设备的价格为万元，由题意解得1X3x+2Xx=54,x=12,•・・12X75%=9,・••一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元设二期工程中，购买甲型设备台，由题意有

①；2a12a+98a W84》

②，解得200a+1608a13002由题意为正整数，，.二所有购买方案有四种,分别为方案一甲型台，乙型台；a a=l,2,3,417方案二甲型台，乙型台26方案三甲型台，乙型台；方案四甲型台，乙型台3544⑶设二期工程年用于治理污水的总费用为万元，10W（）（）W=12a+98a+1X10a+l.5X108a,化简得:W=—2a+192,•・・W随a的增大而减少••・当a=4时,W最小（逐一验算也可）・••按方案四甲型购买4台，乙型购买4台的总费用最少.类型

三、利用方程（组）、不等式（组）综合知识进行方案设计在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对、两类学校的校舍进行改造.根据预测,改造一所C

3.48A类学校和三所夕类学校的校舍共需资金万元，改造三所类学校和一所夕类学校的校舍需资万•480A

400、（）改造一所类学校和一所类学校的校舍所需资金分别是多少万元？1A8（）该县尔夕两类学校共有所需要改造.改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付28资金不超过万元，地方财政投入的资金不少于万元，其中地方财政投入到力、两类学校的改造资7702108金分别为每所万元和万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中从台两类学校各有几所.2030【思路点拨】（）等量关系为改造一所类学校和三所类学校的校舍共需资金万元；改造三所类学校和一所1A B480A类学校的校舍共需资金万元；B400（）关系式为地方财政投资类学校的总钱数+地方财政投资类学校的总钱数；国家财政投资2A B2210A类学校的总钱数+国家财政投资类学校的总钱数B W

770.【答案与解析】解（）设改造一所/类学校的校舍需资金万元，改造一所夕类学校的校舍需资金万元,1x yx+3y=480x=90,解得y=13O3x+y=400答改造一所力类学校的校舍需资金万元，改造一所类学校的校舍需资金万元.906130⑵设力类学校应该有所，则类学校有（所.d68—M+后20308—210+90-20130-308-770即•\1WW3,a=l,2,

3.方案一力类学校有所,夕类学校有所;17方案二力类学校有所,夕类学校有所;26方案三力类学校有3所,A类学校有5所.答有种改造方案3【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系.理解“国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的资金不少于万元”这句话中包含的不等关系是解决本题770210的关键.举一反三.【变式】为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、支钢笔共需元；个文具盒、支钢笔共需元.210047161每个文具盒、每支钢笔各多少元？1时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下文具盒“九折”优惠；钢笔支以上210超出部分“八折”优惠.若买个文具盒需要与元，买支钢笔需要乃元，求》、乃关于不的函数关系式；x x若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过件，请你分析买哪种奖品省钱.310【答案】解设每个文具盒元，每支钢笔元，由题意得1x y5x+2y=100,解得4x+7y=161答每个文具盒元，每支钢笔元.1415由题意知，%关于的函数关系式为即2x pi=14X90%x,由题意知，买钢笔支以下含支没有优惠，故此时的函数关系式为%1010=15X当买支以上时，超出部分有优惠，故此时的函数关系式为%即加10=15X10+15X80%x—10,=12x+

30.⑶当水叶时,解得水；y123050当%=及、=时,解得；12x230x=50当与〉加才〉才+时，解得1230x

50.综上所述，当购买奖品等于件但少于件时，买文具盒省钱；1050当购买奖品等于件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；50当购买奖品超过件时，买钢笔省钱.50类型

四、利用函数知识进行方案设计CL深圳某科技公司在甲、乙两地分别生产了台、台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场1715两馆，其中运往/馆台、运往馆台.运往、夕两馆的运费如下表44188144出发地目的地甲地乙地力馆元/台元/台800700夕馆元/台元/台500600⑴设甲地运往馆的设备有台，请填写下表，并求出总运费元与台的函数关系式;4x yx出发地目的地甲地乙地力馆台______台x馆______台______台6要使总运费不高于元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；220200当为多少时，总运费最小，最小值是多少？3x【思路点拨】根据甲地、乙地分别生产了台、台同一种型号的检测设备，全部运往大运赛场、两馆,其中运11715A B往馆台、运往馆台，得出它们之间的等量关系；A18B14根据要使总运费不高于元，得出即可得出答案；220200200x+19300W20200,根据一次函数的增减性得出一次函数的最值.3【答案与解析】出发地目的地甲地乙地力馆台台X18-x解:1馆台台817—x x—3依题意，得即y=800x+70018—x+50017—x+600x—3,y=200^+

1930017.2，・•要使总运费不高于20200元，9解得.-.200^+19300^20200,xWj.乙且设备台数只能取正整数，•••3WxW17,x只能取或•••X

34.・••该公司的调配方案共有2种，具体方案如下出发地目的地甲地乙地/馆台台315夕第台台140出发地目的地甲地乙地力馆台台414夕馆台台131由和可知，总运费或312y=200^+19300^=3x=

4.由一次函数的性质可知，当时，总运费最小，最小值为x=3元.%E=200X3+19300=19900【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用表示出运往各x地的台数是解决问题的关键.类型

五、利用几何知识进行方案设计【高清课堂方案设计与决策型问题例】1某区规划修建一个文化广场平面图形如图所示，其中四边形是矩形，分别以、、、Cs.ABCD ABBC CD边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为米，矩形的边长二米,米.注取兀=DA628AB yBOx

3.14⑴试用含的代数式表示；x y⑵现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等,平均每平方米造价为元，在四个半圆的区域上ABCD428种植草坪及铺设花岗岩,平均每平方米造价为元；400

①设该工程的总造价为元，求关于的函数关系式；W Wx

②若该工程政府投入千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理1由.

③若该工程在政府投入千万元的基础上，又增加企业募捐资金万元，但要求矩形的边的长不超

164.82BC过长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有AB可能的设计方案，若不能，请说明理由.【思路点拨】把组合图形进行分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；1

①利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；2

②利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；

③建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题.【答案与解析】解由题意得，1兀y+H x=628,V

3.14y+

3.14x=628,则；•••y+x=200y=200-x2

①g428xy+400n^2+400n-2,2,、200-x2x2二428x200-x+400X

3.14X--+400X

3.14X—,44=200x2-40000x+12560000；

②仅靠政府投入的千万不能完成该工程的建设任务.理由如下，1由

①知2200x-1002+

1.056X107107,所以不能；22

③由题意可知〈一即解之得x yxW—200-x x80,33，0WxW80,又题意得W=200x-1002+l.056X107=107+

6.482X105,整理得x-100=441,解得】=不合题意舍去，x79,X=1212•••只能取则尸二；x=79,200-79121所以设计方案是长为米，长为米，再分别以各边为直径向外作半圆.AB121BC79［总结升华］此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题.。