勾股定理（知识点串讲）

专题勾股定理20考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质、直角三角形的两个锐角互余

1、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半

2、直角三角形中角所对的边是斜边的一半330勾股定理概念直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法如果直角三角形的两直角边分别为斜边为那么a,b,c,2+/=02变式1a2=c2-b22b2=c2-a2适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一4s△+S正方形MG”=S正方形ABCD，4x-ab-\-b—a=c,化间可证，方法二四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4X,H+C2=2H+C22大正方形面积为S=Q+b2=q+2ab+b~所以/+〃=/方法三S梯形=；Q+b・m+%,s梯形=2$00£+邑吠=2・；必+；2，化简得证/+〃=/・••在RtZXOAB中，OB=J（百了+F=2,AB=1,AAB=-OB,2是直角三角形，VAAOBAZAOB=30°,为折痕，OBAZAiOB=ZAOB=30°,0AI=0A=5中，RtZXOAQ ZOAiD=30°,/•OD=-x A/3=,12AiD=—x^/3=-|H3・・・点Ai的坐标（之，22故选A.（•云南中考模拟）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为且

2.2019ABCD DCAC CE,D点落在对角线D，处.若AB=3,AD=4,则ED的长为34A.-B.3C.1D.-23【答案】A【详解】VAB=3,AD=4,・・・DC=3工根据勾股定理得AC=5根据折叠可得△DEC0Z\DEC,・・・DC=DC=3,DE=D，E设ED=x,则DE=x,AD=AC-CD，=2,AE=4-x,在Rt^AED中（ADO2+（EDO2=AE2,即22+x2=（4-x）2,3解得:x=—2故选A.（•四川中考模拟）如图，长方形中将此长方形折叠，使点与

3.20194BCO ZB=3cm,AD=9cm,D B点重合，折痕为则的面积为（）A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2【答案】A【详解】将此长方形折叠，使点与点重合，B D・・・BE=ED.AD=9cm=AE+DE=AE+BE.ABE=9-AE,根据勾股定理可知AB2+AE2=BE

2.即32+AE2=（9-AE）2解得AE=

4./.△ABE的面积为3乂4+2=

6.故选A.考查题型七利用勾股定理解决几何图形面积问题

1.（2017・山东中考模拟）如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠，则重叠部分△的面积为（）AFCA.12B.10C.8D.6【答案】B【解析】试题解析易证△AFDgZXCFB,ADT=BF,设D，F=x,则AF=8-x,在中，（）Rt^AFD8-x三X2+42,解之得:x=3,・・.AF=AB-FB=8-3=5,AS AFC=--AF*BC=

10.A故选B.

2.（2018•江苏省泰兴市济川中学中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积（）cm

2.A.8B.10C.15D.20【答案】B【解析】根据折叠可得ZCBD=ZEBD,VAD^BC,AZEDB=ZCBD,/.ZEDB=ZEBD,，BE=DE,设则根据的勾股定理可得BE=DE=x,AE=8—x,RtaABE x=5,即贝」阴影故选DE=5,I S=5x4+2=10,B.（•福建中考模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为则字母所代表的正方形的边长

3.2018225,289,A为（）A.64B.16C.8D.4【答案】C【详解】解由勾股定理得，正方形的面积A=289-225=64,・・・字母A所代表的正方形的边长为隔=8,故选C.

4.（2019•广西中考模拟）如图,已知点£在正方形/8C内，满足/4£3=90,花=6乃£=8,则阴影部分的面积是（）A.48B.60C.76D.80【答案】C【解析】VZAEB=90°,AE=6,BE=8,・•・AB=^AE2+BE2=V62+82=10AS阴景2部分=s正方形102-—x6x8ABCD-SR3ABE==100-24=

76.故选C.知识点二勾股定理的逆定理勾股数概念能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即/+〃=°中，为正整数时，称2*b,c Q,为一组勾股数b,c常见的勾股数如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展用含字母的代数式表示〃组勾股数1）/12+1（扑22,〃为正整数）；2）2〃+1,2/+2〃,2/+2〃+1（〃为正整数））〃产一/,加%加之+/〃为正整数）32Q mn,m,注意每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数勾股定理的逆定理内容如果三角形三边长满足/+〃=，，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边a,b,c注意

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和/+〃与较长边的平方，作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若时，以，为三边的三角形是钝角三角形;若时，以，屋b,/+6202,b,C为三边的三角形是锐角三角形；

②定理中Q,b,及/+〃=，只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长Q,b,满足a2+c2=b\那么以为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边Q,b,b

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系联系、两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关

1、两者是互逆定理2区别、两者的条件与结论相反

1、勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理逆定理是直角三角形的判定方法2【考查题型汇总】考查题型八运用勾股定理逆定理判断三角形形状

1.2018,山东中考模拟已知a、b、c是AABC的三边长，且方程a1+x2+2bx-c1-x2=0的两根相等，则△为ABC等腰三角形直角三角形等边三角形任意三角形A.B.C.D.【答案】B【详解】原方程整理得a+c x2+2bx+a-c=0,因为两根相等，所以△=b-4ac=2b2-4x a+c xa-c=4b2+4c2-4a2=0,即b2+c2=a2,所以是直角三角形，AABC故选B.

2.2018•南宫市奋飞中学中考模拟若△ZBC三边长a,b,满足Ja+b—25+屹一4-1|+-52=0,则△ABC是等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形A.B.C.D.【答案】C【详解】y/a+b-25+|b-a-l|+c-52=0,/.a+b-25=0,b-a-l=0，c-5=0,，a=12,b=13,c=5,a~+c2=b=169，/.△ABC是直角三角形.故选C.

3.2019•内蒙古中考真题如图，在△NBC中，内角/、B、C所对的边分别为、权c.若请直接写出乙与的和与的大小关系；1=6]=8,c=12,4/C求证的内角和等于；2180若+龙、下日百角一角开,3a右，求证是直角二角形.3a_2a-b+c c【答案】；证明见解析；证明见解析1ZA+ZBZC23【详解】•••在中，1AABC a=6,b=8,c=12,.・./A+/BC/C；如图，过点作2A MN//BC,VMN//BC,・・・/MAB=/B,/NAC=/C两直线平行，同位角相等，平角的定义，•••/MAB+/BAC+/NAC=

180.・・/B+/BAC+/C=180等量代换，即三角形三个内角的和等于；

1803..a_*+b+c,■—a-b+cic r+b+ca-b+c=—|_a2+2ac+c2-b2,_l acCza2/.2ac=a2+2ac+c2-b2・・a+c—b，・・・AABC是直角三角形.考查题型九勾股定理逆定理的实际应用•四川中考模拟我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题“问有沙田一块，

1.2019有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，里米，512131=500则该沙田的面积为平方千米平方千米平方千米平方千米A.B.15C.75D.750【答案】A【解析】V52+122=132,・••三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，，这块沙田面积为（平方米）（平方千米）.-x5x500x12x500=75000002故选A.

2.（2016•河北中考模拟）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口0出发，如图所示，轮船从港口0沿北偏西的方向行海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距海里的点处，若、两2060M O80N MN点相距海里，则的度数为（）100NNOFA.50°B.60°C.70°D,80°【答案】C【解析】•・・OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，J OM2+ON2=MN2,，ZMON=90°,VZEOM=20°,・••ZNOF=180°-20°-90°=70°.故选C.

3.（2019・湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船45同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船力的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔84P308船与救助船/相距海里.120（）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；1P B（）若救助船分别以海里/小时、海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救,试24840302通过计算判断哪艘船先到达.【答案】

（1）收到求救讯息时事故渔船P与救助船8之间的距离为60匹海里；

（2）救助船5先到达.【详解】（）如图,作幽于1C_LN8C,则ZPCA=4PCB=90，由题意得/=120海里，乙4=30°，NBPC=450，・・・PC=，P4=60海里，A5cp是等腰直角三角形，

2...BC=PC=60海里，PB=[PC+BC=60人海里，答收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；P B60A/2

（2）・・・24=120海里，PB=606海里，救助船45分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,・••救助船力所用的时间为四=3（小时），40救助船所用的时间为如也=（小时），B2J530行;32・•・救助船5先到达.

4.（2012・山东中考模拟）如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东方向上，航行半小时后到达点测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围海里内有暗礁.60B3016

（1）说明点B是否在暗礁区域内；

（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由.【答案】

（1）B点不在暗礁区域内；

（2）继续向东航行船有触礁的危险，理由见解析.【解析】（）是否在暗礁区域内就要看的距离，若则点不在暗礁区域内；若则点在暗礁区1B CB CB16,B CBV16,B域内.

（2）往东航行是否有触礁危险，就要看点C到AB的距离CH与16的大小关系.若CH16,则无触礁的危险；若则有触礁的危险CBV16,【考查题型汇总】考查题型一利用直角三角形的性质解题

1.（2018・湖南中考模拟）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,EF为AB的垂直平分线，交BC于点F,交于点求证AB E.FC=2BF.【答案】见解析【详解】证明连接AF,为的垂直平分线，TEF AB・・.AF=BF,又AB=AC,ZBAC=120°,AZB=ZC=ZBAF=30°,；・NFAC=90，AAF=yFC,AFC=2BF.（•江苏中考模拟）如图，在中，百，点为边上一点，且

2.2013RtZiABC ZC=90°,AC=D BCBD=2AD,NADC，求的周长（结果保留根号）.=60AABC【答案】2J7+5+6；—7【解析】在中，Rt/iADC ZC=90°,AC=BZADC=60°,因为江，即巫所以sin/4OC==1,AD=

2.AD AD2由勾股定理得DC=y/AD2-AC2=1-所以BD=2AD=4,BC=BD+DC=

5.在中，RtZXABC ZC=90°,AC=BBC=5,由勾股定理得^I2+2AB=BC AC=2V7»所以的周长为RtAABC AB+BC+AC=277+5+@.

3.（2019・江苏中考模拟）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D为BC的中点，DE_LAB于E,求EB EA的值.【答案】3【详解】如图，连接AD,•・・AB=AC,NBAC=120，D为BC的中点，A ZBAD=60°,ADJLBC,A ZB=90°-60°=30°,设在中，在中，V DEIAB,A ZADE=90°-60°=30°,EA=x,RtAADE AD=2EA=2x,RtZ^ABD AB=2AD=4x,/.EB=AB-EA=4x-x=3x,..EBEA=3xx=

3.考查题型二含角的直角三角形解题方法30°

1.（2018,黑龙江中考模拟）如图，在△/3C中，AB=AC,ZC=30°,ABLAD.40=4,则3C的长为（）A.4B.8C.12D.16【答案】C【详解】VAB=AC,NC=30，・・・NB=NC=30，A ZBAC=120°,VAB±AD,AD=4,/.ZBAD=90°,BD=2AD=8,.*.ZDAC=120°-90°=30°,AZDAC=ZC=30°,・・・AD=CD=4,，CB=DB+CD=

12.故选C.

2.（2019•丹东市第十七中学中考模拟）如图，在RtZi/BC中，CN平分N4C3交N8于点/，过点作MN〃BC交AC于点、N,且脑V平分NZ〃C,若421,则5C的长为（）、回A.4B.6C.4D.8【答案】B【解析】「在RtZXABC中，CM平分NACB交AB于点M,过点M作MN〃BC交AC于点N,且MN平分NAMC,/.ZAMN=ZNMC=ZB,ZNCM=ZBCM=ZNMC,AZACB=2ZB,NM=NC,AZB=30°,VAN=1,，MN=2,J AC=AN+NC=3,・・・BC=6,故选B.

3.（2018・湖北中考模拟）如图，在△Z8C中,/=90/8=30,4平分/CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接区则下列说法错误的是（）A.ZCAD=30°B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED【答案】D【解析】试题分析在中，AABCVZC=90°,ZB=30°,.\ZCAB=60°,平分TAD NCAB,・・・NCAD=NBAD=30，，NCAD=NBAD=NB,，AD=BD,AD=2CD,・・・BD=2CD,根据已知不能推出只有错误，选项、、的答案都正确.CD=DE,D A BC故选D.

4.（2018,安徽中考模拟）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,NCAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线，垂足为若则的长为（）E,BC=3,DEA.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得，NB=NCAD=NDAB=30垂直平分TDE AB,Z.DA=DB,，ZB=ZDAB,VAD平分NCAB,Z.ZCAD=ZDAB,丁ZC=90°,A3ZCAD=90°,，NCAD=30，:AD平分NCAB,DE1AB,CD±AC,，CD=DE=,BD,BC=3,，CD=DE=1考查题型三利用勾股定理求几何体表面最短距离

1.（2017•河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短为（）A.a B.（1+V2）a C.3a D.石a【答案】D【解析】详解如图，则AB=J4P2+PB=小a2+4〃2=也a.故选D.

2.（2016•山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处,则蚂3cm B3cm A蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A.13cm B.2V61cm C.V61cm D.2V34cm【答案】A【解析】试题解析如图・・•高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，3cm A/.AD=5cm,BD=12-3+AE=l2cm,・•・将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A,连接A，B,则A，B即为最短距离，A，B=Ja£）2+BD2=V52+122=13（cm）.故选A.

3.（2018•南宫市奋飞中学中考模拟）如图,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A,B两点，若沿圆柱的侧面积运动，则AB之间的最短距离是（）A.10B.3C.5D.4【答案】A【解析】展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形矩形的长是圆柱底面周长的一半是6,矩形的宽是圆柱的高是

8.根据勾股定理求得矩形的对角线是

10.即、两点间的最短距离是AB

10.故选C.考查题型四利用勾股定理解决实际问题

1.（2019・重庆市全善学校中考模拟）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A.4米B・5米C.6米D.7米【答案】D【详解】在中，RtAABC ZC=90°,AB=5,BC=3,^AC=y）AB2-BC2=4米，・•・可得地毯长度=AC+3C=7米，故选.

2.（2019•福建中考模拟）《九章算术》中的“折竹抵地”问题上今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺问折高几何？意思是如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离=10竹子底部尺远问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（）6xA.%2—6=（10—%）2B.%2—62=（10—%）2C.x2+6=10-x2D.X2+62=10-x2【答案】D【详解】解如图，设折断处离地面的高度为尺，则x AB=10-x,BC=6,在RtZkABC中，AC2+BC2=AB2,即x2+62=（10-x）

2.故选D.

3.（2019•湖北中考模拟）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（）m.A.2B.4C.6D.8【答案】C【详解】解由题意得，在Rt△43c中，AC=S,AB=\Q,所以BC=7102-82=

6.故选C.

4.（2019•湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船48同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在力的正北方向，事故渔船在救助船力的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船8303尸与救助船/相距海里.120（）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；1P B

（2）若救助船48分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.【答案】

（1）收到求救讯息时事故渔船尸与救助船5之间的距离为60加海里；

（2）救助船3先到达.【详解】（）如图，作尸于1CJLZ3C,则ZPCA=ZPCB=90°，由题意得刃=120海里，/4=30°，NBPC=45°，・・・PC=P/=60海里，A5cp是等腰直角三角形，2・・・8二尸=60海里，PB M4PC2^^=60亚海里，答收到求救讯息时事故渔船尸与救助船之间的距离为海里；36072

（2）・・・0/=120海里，PB=606海里，救助船43分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,120•••救助船力所用的时间为而（小时），=3救助船所用的时间为竺也=（小时），

327230.・•3〉2VL・•・救助船8先到达.考查题型五构造直角三角形利用勾股定理解题

1.（2019•山东中考模拟）在AABC中，AB=10,AC=2U，BC边上的高AD=6,则另一边BC等于（）或或A.10B.8C.610D.810【答案】C【详解】分两种情况在图

①中，由勾股定理，得BD=A/^B2-AD2=V102-62=8；CD=4AC1-AD1=7

（2710）2-62=2；，BC=BD+CD=8+2=

10.在图

②中，由勾股定理，得BD=V^B2-AD2=V102-62=8；CD=4AC1-AD1=J（2而A—6=2；，BC=BD—CD=8—2=

6.故选C.

2.（2015•河北中考模拟）在AABC中，若AC=15,BC=13,AB边上的高CD=12,则AABC的周长为（）或以上都不对A.32B.42C.3242D.【答案】C【解析】试题分析边上的高VAC=15,BC=13,AB CD=12,・•・AD=\M（72-CD2=V152-122=9,BD=VBC2-CD2=V132-122=5,如图在内部时:1,CD aABCAB=AD+BD=9+5=14,此时，的周长AABC=14+13+15=42,如图在外部时，2,CD AABCAB=AD-BD=9-5=4,此时，的周长ZXABC=4+13+15=32,综上所述，的周长为或AABC

3242.故选C.

3.（2018•甘肃中考模拟）如图所示，在RtZXABC中，AB=CB,ED±CB,垂足为D点，且NCED=60，Z EAB=30°,求的长.AE=2,CB【答案】1+V3【解析】过点作反垂足为尸.E J_Z3,•NE4B=30,AE=2,・EF=BD=L又•；,./CED=60ZECD=30°.•4B=CB,.ZEAC=ZECA=}5°,.AE=CE=

2.在Rt/iCZ）上中，/ECD=30,.ED=1,CD=^22-I2=73，:.=+=\+BCB CDBD考查题型六利用勾股定理解决翻折问题

1.（2019•浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在处，已知百，则点的坐标是（）Ai OA=AB=1,AiA.（也，|）B.（且，3）C.（1,B）D.（；,近）2222222【答案】A【解析】过作】Ai ADJ_OA,。