考点13轴对称变换的性质

轴对称变换在几何变换中的地位非常重要，较多的和全等三角形，相似三角形，勾股定理相结合.★★★OOOO轴对称的性质

①.成轴对称的两个图形全等，即对应角相等，对应边相等；

②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③对应点的连线互相平行或在同一条直线上；

1.抓住对称轴，找准对应点，根据关于某条直线对称的两个图形全等，确定图形中的边，角的相等关系；

2.理解基本图形中的重要关系如图，将矩形A8CQ纸片沿EF折叠，点D的对称点是，点C的对称点是C,则有

①CD=CD

②NC=NC,ZD=ZDf,ZDEF=ZDfEF；

③等腰AGE/中，GE=GF.

3.求角的度数的问题，一般利用轴对称的性质，结合平行线的性质，三角形的内角和定理，相似三角形等知识来求解；

4.求线段的长度的问题，或构造直角三角形，利用勾股定理列方程，或借助全等三角形，或利用相似三角形求解.例

1.如图，将△A8C沿OE,尸翻折，顶点均落在点G处，且3与CZ）重合于线段OG,若乙4=36°,NAEG+NAbG的度数为（）.4100B.102°C.108°D.117°【答案】C【精细解读】由折嶷可知，ABDE^AGDE,ACDF^AGDF,再结合四边形的内角和，平角的定义求解.在AzLBC中,44=36，则N3+/C=/EGD+N尸6=180-36=144丈BD与CD重合于DG,.ZGDE+ZBDE+ZCDF+ZGDF=180%且ZCDF=ZGDF,/.2ZBD£+2ZCDF=180%.ABDE+ACDF=9Q\则NED尸=90〉•/EGF+AEDF+ZGED+ZGFD=360%，144+90+ZGED+NGFZ=360，.AGED+AGFD=126°,由折彘性质,ZBEG+ZCFG=2X1260=252%/.Z-4£G+Z-4FG=360°-252°=108°.故选c.例

2.如图，对折矩形纸片A8CD使与BC重合，得到折痕EF把纸片展开.再一次折叠纸片，使点A落在£尸上，得到折痕同时，得到线段3N,若AB=6,则3M的长为（aA.-V3B.2C.3D.2732【答案】B例

3.如图，在平行四边形ABC中，AB=6,BC=4,N3=60°,点E是边AB上的一点，点尸是边CO上一点，将平行四边形A3CO沿£尸折叠，得到四边形EFGC,点A的对应点为点，点的对应点为点G,则的面积.【答案】迪2【精细解读】解根据轴对称的性质可证△BCE会ZXGC凡得到CE=C凡由N5=60°,3C=4可得至与8之间的距离，过点石作EPLBC,在R/ZXCEP中由勾股定理求得EC的长，即可得到△CM的面积.如图，作CKJ_A5于K,过E点作于P.VZB=60°,/EPB=90°,.ZBEP=3Q°,.BE=2BP,设BE=2m,.EP=BE^in60°=2mX B=6m,2,WO2由折叠可知，AE=CE,VAB=6,・AE=CE=6-2m,VBC=4,.PC=4-m,在Rt/\ECP中，由勾股定理得4-〃22+6-m2=6-2m2,解得m=—,

4.EC=6-2m=6-2X-=2,.CF=EC=-,.S^CEF=-X-X273=^,422222故答案为迪.学科@网

21.如图，在矩形纸片43CO中，AB=6,BC=10,点石在C上，将△8CE沿5月折叠，点C恰落在边AO上的点尸处；点G在A/上，将沿3G折叠，点A恰落在线段3尸上的点H处，有下列结论

①/3EBG=45°；@AG+DF=FG；©ADEF^AABG；®S„ABG=-S^FGH.其中正确的是41个B.2个C3个D4个【答案】C2【解析】试题分析利用折彘性质得/C8E=/用号ZABG=/FBG,3尸=3C=10,BH=BA=6,AG=GH,则可得到NE5G二g44C,于是可对

①进行判断；在五公4产中利用勾股定理计算出.4F=8,则DF=AD-AF=2,设HG=x贝GH=xG尸=8-与HF=BF-BH=A,利用勾股定理得到+42=8-X2,解得x=3,所以4G=3,GF=5于是可对

②进行判断；f接着证明八州叫心芍，利用相似比得到空=冬，而冬=8=2,所以冬H空，所以△加尸与A4BG不相似，于是可对

③进行判断;DF AB3AG3AG DF分别计算和•可对

④进行判断.S^BG解沿SE折彘，点恰落在边月上的点尸处；点G在,4尸上，将A43G沿BG折蠡，点月恰落在线段时上的点H处,ZCBE=』FBE,乙ABG=』FBG BF=BC=1Q,BH=BA=6,AG=GH,.ZEBG=ZEBF+AFBG--ZCBF+-/ABF=-乙.C=45，所以

①正确；222在肋ZXAB/中，AF=^BF2-AB1=7102-62=8,.DF=AD-AF=10-8=2,设AG=x,贝ljGH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=10-6=49在RtAGFH中,•・・G2+=G产，Ax2+42=8-x2,解得x=3,.GF=5,，4G+/=bG=5,所以

②正确；•••△BCE沿BE折叠，点恰落在边A上的点尸处.ZBFE=ZC=90°,・/EFD+/AFB=90°,而NAb3+NA5/=90,:・/ABF=/EFD,.AABF^APFE,AB AFDE AF84AB6AB DEDFDE DFAB63AG3AG DF•••△OE/与△A3G不相似；所以

③错误.「SABG=—*6X3=9,SXGHF=-X3义4=6,/.S^ABG=1-5s△月G，・所以

④正确.22故选C学科@网

2.如图，将矩形纸片的两个直角分别沿E尺尸翻折，点8恰好落在AD边上的点夕处，点C恰好落在边8下上.若AE=3,BE=5,贝l」R=.【答案】

4.

3.如图1,点为△A3C边BC的延长线上一点.1若/ANABC=34,ZACD=140°,求NA的度数；2若NA8C的角平分线与NAC的角平分线交于点过点作CP_L5M于点P.求证ZMCP=90°--ZA；2

（3）在

（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到△N5C,NN3C的角平分线与NNC5的角平分线交于点（如图2）,试探究N8QC与NA有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明.【答案】

（1）60°；

（2）证明见解析；

（3）乙8=90°理由见解析.

（3）猜想NBQC=90°+；NA.证明如下•:BQ平场/CBN,CQ平分/BCN,=-=-,ZQBC ZCBNZQCB ZBCNA9，/Q=180一!/CBN+ZBCN=180°--l80°-NN=90°+-ZN.由2知ZM=-ZA,又由轴对称性质知/M=/N,2（每道试题10分，总计100分）Z.N3QC=90°+；NA.

1.将矩形纸片ABC按如图所示的方式折叠，AE,七方为折痕，ZBAE=3Q°,AB=6折叠后，点C落在AO边上的处，并且点B落在EG边上的囱处.则3C的长为（）A.6B.3C.2D.2V3【答案】B【解析】由三角函数易得5M怂长，根据翻折和对边平行可得ZUEG和△CEQ为等边三角形，那么就得到EC长,相加即可.解连接CG.在RABE中,/氏4£=30…4B=拒.BE=ABXtan300=1,AE=2,44E3i=/4£3=60，二四边形/CD是矩形，/4£=/鹿5=60°,为等边三角形,同理△CGE也为等边三角形，.EC=ECi=.4E=2,.BC=BE+EC=3,故选艮

2.如图，在扇形43中，ZAOB=110°,将扇形OAB沿过点3的直线折叠，点恰好落在A3上的点处，折痕交04于点G则弧A的度数为440B.50°C.60°D.70°【答案】B【解析】连结，如图，•・•扇形O4B沿过点8的直线折叠，点恰好落在A3上的点处，折痕交04于点C,•・・3C垂直平分，:.BD=BO9•OB=OD,•••△08为等边三角形，•・・/8=60，A ZAOD=ZAOB-ZDOB=110°-60°=50°,•••AD的度数为为为,故选b

3.在正方形A5C中，点E为5c边的中点，把△A8E沿直线AE折叠，3点落在点夕处，与AE交于点凡连接A夕，DB\FC.下列结论®ABf=AD；

②△尸C9为等腰直角三角形；

③NC9O=135；

④BB=BC；

⑤A52=A£.A凡其中正确的个数为（）.A.2B.3C.4D.5。