八年级讲义角平分线判定性质

第7讲角平分线的判定及性质【知识点及方法梳理】角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的判定定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上角平分线的作法（尺规作图）

①以点0为圆心，任意长为半径画弧，交OA、0B于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线0P,射线0P即为所求.角平分线的性质及判定L角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等.推导已知0C平分NMON,P是0C上任意一点，PA±OM,PB_LON,垂足分别为点A、点B.求证PA=PB.证明PA_LOM,PB±ON・・・NPA0=NPB0=90°・・・TOC平分NMONZ.Z1=Z2在△PAO和△PBO中，A APAO^APBO，PA=PB几何表达（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）〈OP平分NMON（Z1=Z2），PA±OM,PB±ON,APA=PB.2角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.推导已知点P是NMON内一点，PAJ_OM于A,PBJ_ON于B,且PA=PB.求证点P在NMON的平分线上.证明连结0P在R tAPAO和R tAPBO中，.,.R^APAO^R^APBO（HL）AZ1=Z20P平分NMON・・・即点P在NMON的平分线上.几何表达（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.）VPA±OM,PB±ON,PA=PBAZ1=Z2（OP平分NMON）【经典例题】例

1.已知如图，4ABC中，ZC=90°,AD是4ABC的角平分线，DE1AB于E,F在AC上BD=DF,BA例

4.已知如图，在△ABC中，AD是AABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有ZEDF+ZEAF=180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由.【经典练习】1如图，CD±AB,BE±AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点0,0B=0C,求证NBA0=NCA

02.如图，0C是NA0B的角平分线，P是0C上一点，PD_L0A交于点D,PE10B交于点E,F是0C上除点P、0外一点，连结DF、EF,则DF及EF的关系如何？证明你的结论

3.如图，在CD上求作一点P,使它到0A,0B的距离尹等写出作法

4.要将如图中的NM0N平分，小梅设计了如下ON上分别取OA=OB,过A作DA_LOM于A,交ON于D,过祢不映存于B交于E,AD,EB交于点C,过0,C作射线0C即为MON的平警/通明尊羊做的理由.

5.如图AABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、DF分别垂直AB、AC,垂足为E、F，求证EB-FC

6.如图，在AABC中，AD为NBAC的平分线，DE_LAB于E,DFJ_AC于F,△ABC面积是28c/,AB=8cm,AC=6cm,求DE的长.

47、已知如图，NB=NC=90°,M是BC的中点，DM平分/\1求证AM平分NDAB；/\2猜想AM及DM的位置关系如何？并证明你的结论.〃,nn//【巩固练习】基础训练题

1.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BD是NABC的平分线，交AC于点D,若CD=n,AB=m,则4ABD的面积是（）A.m+n B.-mn C.2mn D.mn

22.如图，已知AC平分NPAQ,点B,B，分别在边AP,AQ±,如果添加一个条件，即可推出AB二AB,则该条件不可以是（）A、BB±AC B、BOB CC、ZACB=ZACB,D、NABC=NAB C

3、如图,FD_LA0于D,FE_LB0于E,下列条件:

①OF是NAOB的平分线;

②DF二EF；

③DO二EO；@Z0FD=Z0FE其中能够证明△DOF之ZXEOF的条件的个数有（）oA.1个B.2个C.3个D.4个

4.如图，在A/8C中，，E、尸分别是AB、AC上的点,斫5cm,BP、分别是乙伤和N/%的角平分线，且PDLBC于D,PELAB于E,PFLAC于F,已知PD=4cm则△发F的周长是cm.

5.如图

（7）:AC_LBC,BM平分NABC且交AC于点M,N是AB的中点且BN=BC求证

（1）MN平分NAMB,

（2）ZA=ZCBMO

6.如图在4ABC中，ZB,NC相邻的外角的平分线交于点Do求证点D在NA的平分线上

7.如图

8、AB=CD,ZXPCD的面积等于4PAB的面积，求证0P平分NB0D

8.如图

9、在AABC中，ZB=60°,ZUBC的角平分线AD、CE交于点0,求证:AE+CD=ACo能力提高题

1.已知如图，NC=2NB,N1=N2,求证AB=AC+CD

2.已知，如图2,N1=N2,P为BN上一点，且PD_LBC于D,AB+BC=2BD,求证ZBAP+ZBCP=180°o/

3、如图，已知NCAD=NCDA,AC=BD,E在BC上，/DE=EC,求证AD平分NBAEA——C DC提示:延K E刽P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD及PAC全等A

4.如图，已知AB〃CD,0是NACD,NCAB的平分线的交点，且0E_LAC于E点,B0E=12,求AB及CD之间的距离

5.如图，已知旌L/C于£,CFJLAB于F,BE、6F相交于点〃若BFCD.求证:课后作业

1.如图，在RtA/8中，NC=90°,如是N/回的平分线，交/C于〃若CD=n,AB=m,贝的面积是A.—mn B.—mn C.Hill D.2/Z7/

7322.如图，OP平分NAOB,PC±OA于C,PD±OB于D,则PC及PD的关系是（A.POPD B.PC=PD C.PCPD D,不能确定

3.如图，点P是NBAC的平分线AD上一点，PE_LAC于点E,已知PE=3,则点P到AB的距离是A.3B.4C.5D.

64.如图，MP±NP,MQ平分NNMP,MT=MP,连结TQ,则下列不正确的是（）A.TQ=PQ.B.ZMQT=ZMQP.C.ZQTN=9Q°.D.ZNQT=ZMQT.第2题p-第”3题0人事题第5题熊务N证,5;如图，立次品C中，AD DFLAC于F,M为AD上任A.DE=DF.B.ME=MF.C.AE=AF.D.BD=DC.意一点，则下列结论错误的是（）

6.已知如图3,在中，ZC=90°,沿着过点6的一条直线座折叠△4欧使点恰好落在4夕边的中点〃处，则//的度数等于.

7.如图所示AD_LDC,BC±DC,E是DC上一点，AE平分NDAB,BE平分NABC,求证AB=AD+AC o

8.已知如图，CDLAB于D,BELAC于E,CD、庞交于，Z1求证OB—0C.R

9.已知如图9—5,0D平分4P0Q,在花边上取的=施，点在勿上,CM_LAD于他WL加于儿求证CM=CN.

10.如图，在AABC中，AD平分NBAC,EF是线段AD的垂直琛学，求证ZCAF=ZABD/L/赢评口

11.已知如图，A,B、a〃四点在N版加的边上，AB=点,并且△为方的面积及4/0的面积相等.求证射线卯是N施加的平分线.。