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对数的运算性质第课时对数的运算性质1学习目标.,掌握积、商、累的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件能熟练运用对数的12运算性质进行化简求值.导语.同学们，数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史.从人们对天文、航天、航海感兴趣开始，发现数太大了，天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算，对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”，对整个科学的发展起了重要作用.
一、对数的运算性质问题将指数式化为对数式，结合指数运算性质能否将其化为对数式？它们之间有何联系1N=d用一个等式表示？提示由M=c/,N=〃得〃=kg〃M,q=logaN.由MN=dq得p+q=logaM・N.从而得出log，MM=log，+logaMa0，瓶0，N
0.M ap问题结合问题若治=》=厂又能得到什么结论？21,3提示将指数式号=化为对数式，得4Mlog.=p-q=logaM—logaNa0，M0,N
0.问题3结合问题1,若〃〃=a〃〃=c/〃〃£R,又能有何结果？提示由得loga=〃〃=MogaM〃0,M0,〃£R..知识梳理.对数的运算性质如果那么0,[Wl,M0,N0,llog MA9=log.M+log,Mr/M2log，w=log^M—log^M3logaAT=〃log“M，户R.注意点⑴性质的逆运算仍然成立.2公式成立的条件是M0,N3而不是MN3比如式子log2[一2・-3]有意义，而log-2与都没有意义.2log2-33性质⑴可以推广为log〃M・N2・…・ND=10gaNl+10gaN2+…+logc曲，其中N0O,让N*.例求下列各式的值.13llne2；2log e+log3T；3lg50-lg
5.3角星llne2=21ne=
2.2log e+log|=log3e・|=log3=
1.3333lg50-lg5=lgy=lglO=l.反思感悟对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.跟踪训练求下列各式的值1llog27X92；2lg5+lg2；3ln3+ln|；4log5—log
15.333解⑴方法一log27X92=log327+log392=log33+log334=31og33+41og33=3+4=
7.33方法二log27X92=log33X34=log37=71og3=
7.33332lg5+lg2=lg5X2=lglO=L⑶ln3+ln|=ln3x£j=lnl=O.514log5—log15=10g3证=10g3]=log33-1=-
1.33
二、利用对数的运算性质化简、求值例2计算下列各式的值Ilg52+21g2-lg22；-Ig81-lg
27.解1原式=Qg52+2—Ig2lg2=lg52+l+lg5lg2=lg52+lg24g5+lg2=lg5+lg24g5+lg2=lg5+lg2=l.反思感悟对数运算性质的综合应用解题思路将同底的两个对数的和（差）合并为积（商）的对数，即公式逆⑵“拆”用;⑶“凑”将将积同（底商数）的的对对数数凑拆成成特同殊底值的，两如个利对用数的和（差）进，行即计公算式或的化正简.计算Ig2+lg5=l,用;跟踪训练2下列各式的值12lg49-31§^+1§V245；2⑵lg25+]lg8+lg5X lg20+lg
22.143|解⑴方法一原式=251g2-21g7—]X-l2+]21g7+lg5g=]lg2+lg5=]lg10=2«4V2方法二串誓/小）即总=1=lg=12原式=21g5+21g2+lg5X21g2+lg5+lg22=21gl0+lg5+lg22=2+lgl02=2+1=
3.
三、对数运算性质的综合应用例已知则3lg2=a,lg3=/,1=答案b-\-3a~1解析青=馆112—lg5=lg3X22-l-lg2=lg3+lg22-l+lg2=lg3+31g2—1=〃+3-1・反思感悟对数运算性质的综合应用中的求值或用代数式表示问题思路依据对数的运算性质，将真数化为“底数”“已知对数的数”的赛的乘、除，再展开，要注意常用对数中Ig2+lg5=l.跟踪训练用表示下列各式3Igx,Igy,Igzllg肛z；21汗；3但+；41亚.z y]z yz解⑴1g盯z=lgx+lgy+lgz.2xy9921^T-=lgx/—lgz=lgx+Igy—lgz=21gy—Igz.乙33lg^=lgxy3—lg^/z\_=lgx+lg/-lg z2=lgx+31gy―\_=lg X2—lg/+lgz|lgx-21gy—Igz.78答案BD解析根据对数的运算性质k）gc〃=mog”M（M0,6/0,〃W1）知BD正确.
2.210g510+k）g5等于（）A.OB.IC.2D.4答案C■课堂小结■知识清单
1.对数的运算性质.1利用对数的运算性质化简、求值.2⑶对数运算性质的运用.方法归纳转化法.
2.常见误区要注意对数的运算性质的结构形式，易混淆，且不可自创运算法则.
3.
1.多选若〃0,x0,〃£N“，则下列各式中正确的有A.iogd〃=mogd810gd=_log.㈤〃=C.log logMD:解析原式=log5100+log5=log25=
2.
533.已知lg3=m lg7=b,则1国的值为（）A.a—h9B.a-2b答案A答案B解析恒Vlg3=tz,7=b,疏=馆13—lg49=lg3-21g7=a-2b.21g4+lg9__・・4]-1+2+34§8答案221gl2_21gl2_解析原式=l++lg2-lgl2-2课时对点练口基础巩固
3.计算lg2-14一/2等于（）A.3D.-5答案A解析原式=lg（2;｝）—2=-
1.
4.下列计算正确的是（）A.
（3）2=〃9B.Iog26—log23=1」1C.a2-a2=0D.Iog3（-4）2=21og3（-4）答案B__L1解析由题意，根据实数指数累的运算，可得
（3）2=〃6,一
5.々2=〃0=1,所以不正确；A,C由对数的运算性质，可得所以正确；log26—Iog23=log2=log22=l,B根据对数的化简，可得10g3（—4）2=21og34,而10g3（-4）无意义，所以D不正确.
5.若lg〃，IgZ是方程2X2—4x+l=0的两个实根，则力的值等于（）等于（）
4.10g242+10g243+10g244A.IB.2C,24D.1A.2B.|c.lOOD.^W答案C解析•「是方程的两个实根，Igm Igb2f—4x+1=0•••由根与系数的关系得lga+lgQ2,••・lg（M）=2,.ab=
100.
6.（多选）已知r）=log5X,则对任意的力£（0,+8）,下列关系成立的是（）A.人奶）=/（〃）+火/2）八必））B.=/3VSc./僚寸）一册）D.a答案AD解析V/（x）=log5X,a,Ze（O,+°°）,.fiab=log5/=log5+log5人=/3+Xb,艮f f=log f=log5a—log5b=/⑷—b.5为的值是.
7.]63+lgV答案1解析原式=ig，T65=igio=i.x若则歹
8.lgx+lgy=21gx—2y,答案4解析因为Igx+Igy=21gx—2y=lgx—2y2,x0,y0,所以vx—2y0,xy=x-2y
2.由xy=x—2y2,知x2—5盯+4/=0,所以x=y或x=4y.又且x0,y0x—2y0,xlg
129.己矢口lg2=〃z,lg3=n,试用m，n表示lgl5,所以舍去尸故则y,x=4y,,=
4.Igl221g2+lg32m~\-n2m+n斛Vlg2=m,lg3=n,A j==_=--Jg5lg3+lg5zl+1lg2zl+1m计算下列各式的值:
10.Ilog^^+lg25+lg4+7log2；323221og2—log3^-+log8—52IO§
53.334--11c33解1原式=Sg3—+lg25x4+2=log334+lgl02+2=-1+2+2=y.2原式=210g32-log25-log9+310g32—5,og59=-
7.33=210g32—51ogs2+210g33+310g32—9=2—;综合运用
11.已知log〃x=2,kg//=l,logcX=4a,b,A4c2〃7c7A.yB.^C.^D,^且则等于c,c0a,b,c,log/a8c答案D解析x=a2=b=c4,所以a0c4=/,-7所以所,即以abc=,3c=w.已知贝」］的值是
12.xlog32=l,12+2810A.IB.3c・彳D・7答案D解析由xlog32=l,可知log32=l,即
2、=3,故2+2r=3+；=¥,已知函数於的定义域为且满足八一於，段=犬力若川=则川
13.R x=—4+6,og2128+408216等于A.6B.0C.-6D.-12答案c解析因为函数的定义域为且满足式一处=—大幻，«XR所以八八-0=0,1=-/U=—6,故八一17=/4+3=/3=1+4=八-1=16,/4=/0=0,所以川og2128+4og216=Alog227+Alog242=/7+/4=-6+0=-
6.已知函数且则
14./U=akg2x+blog3x+2,,*2023=.答案0・I^log2023+/log2023=-2,23解析得-4/log2023-Mog2023=
2.23A/2023=tzlog2023+Mog2023+2=-2+2=
0.23拓广探究
15.设Q,b,为△ABC的三边的长，且关于x的方程x2—2x+log2，一庐—21og2〃+l=0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状是.答案直角三角形解析由题意得/=4—41og2c2—Z2+810g2a—4=0,「・210g2〃=log2c2—b
2./.a2=c2—b2,故有6Z2+Z2=C
2.・•・ZkABC为直角三角形.已知〃，
16.lg2=lg3=/.⑴求lg72,；2若lgx=〃+b—2,求x的值.解llg72=lg23X32=31g2+21g3=3o+2b；=Ig2=21g3—lg2=2b-ci.2lgx=〃+b—2=lg2+lg3—2=吆但喘福，2+3+1=16所以X=YQQ=
0.
06.解析原式=log24（2X3X4）=log2424=
1.
2.已知3=2,那么log38—21og36用4表示为（）A.a-2B.5a~2C.3〃—（1+Q）2D.3Q—/答案A解析因为所以3=2,”=log32,所以10g38—21og6=log23*****-2（log2+1）=log2-2=一
2.3333。
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