排列组合教案

第一章计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理

1.1分类加法计数原理1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有加种不同的方法，在1第2类方案中有几种不同的方法.那么完成这件事共有N=H2+〃种不同的方法.完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有叫种不同的方法，在第2类办法中有机2种不同的方法……在第n类办法中有外种不同的方法.那么完成这件事共有N=+m+…+机〃种不同的方法.2分步乘法计数原理2完成一件事有两个步骤，在第1个中有加种不同的方法，在第2个中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=H2X〃种不同的方法.一般归纳完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有机2种不同的方法……做第n步有m种不同的方法.那么完成这件事共有N=g xx・・・x种不同的方法.n理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

3.

①相同点都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事，是合作完成.综合应用4例［工书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第

1、

2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？解1从书架上任取1本书，有3类方法第1类方法是从第1层取1本计算机书,有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N=m+m+m=4+3+2=9;l22从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N=x芍x%=4X3X2=

24.3N=4x3+4x2+3x2=26例

4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法？解从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成第1步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3X2=

6.排列

1.

2.1排列的概念从〃个不同元素中，任取加（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取出加个元素的一个排列.・・・•♦说明

（1）排列的定义包括两个方面

①取出元素，

②按一定的顺序排列；排列数的定义从〃个不同元素中，任取〃2（m《〃）个元素的所有排列的个数叫做从〃个元素中取出加元素的排列数，用符号4表示.注意区别排列和排列数的不同“一个排列”是指从〃个不同元素中，任取机个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从〃个不同元素中，任取机（工〃）•••••个元素的所有排列的个数，是一个数•所以符号4只表示排列数，而不表示具体的排列.排列数公式及其推导4=几（〃一1）（〃一2）…（〃一加+1）（m,ne N\mn）说明

（1）公式特征第一个因数是〃，后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是〃一根+1,共有机个因数；

（2）全排列当〃=机时即〃个不同元素全部取出的一个排列.全排列数—1）5—2）…2・1=加（叫做n的阶乘）.另外，我们规定0!=

1.排列数的另一个计算公式=〃（力_1）（〃_2）（n-m+1）〃〃一ln-2•一〃一z+1/1-m3-2-1n\二A71-mn-m-13-21例

2.解方程:3A=2A3+6A.解由排列数公式得3xx-1%-2=2x+lx+6xx-1,Vx3,・•・3（x-l）（x-2）=2（x+1）+6（%-1）,即3/—17X+10=0,2解得x=5或x=—,・・・xN3,且XEN・••原方程的解为x=

5.3例

7.（课本例2）.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是A；=14X13=

182.例

8.（课本例3）.

（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？・组合

1.22组合的概念一般地，从〃个不同元素中取出〃2（加个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的一个组合.说明⑴不同元素；

（2）“只取不排”一一无序性；组合数的概念从〃个不同元素中取出加（机〈几）个元素的所有组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出m个元素的组合教.用符号表示.排列是先组合再排列推广一般地，求从〃个不同元素中取出个元素的排列数A；,可以分如下两步

①先求从〃个不同元素中取出勿个元素的组合数C,；

②求每一个组合中加个元素全排列数根据分步计数原理得A=C.A；.

（3）组合数的公式C，”=里=加（m+l）或c=_也一（〃e N*,且根（〃）.〃；；A ml规定C

1.例8,在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？100x99x983161700K1x2x3解

（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有C；种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有丁种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C；・Cj=9506（种）.

（3）解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况.在第

（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有；,9；+9；=9604（种）.解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即就一C』二161700-152096=9604（种）.说明“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解组合数的性质1c=.组合数的性质2C+C；F.例

13.解方程1G『=G，3；2解方程需+需=5田+3-解1由原方程得尤+1=2%一3或x+l+2x—3=13,，x=4或％=5,1%+113又由—3W13得2x8且％EN*,・•・原方程的解为x=4或x=

5.xeN*上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把X=4和X=5代入检验,这样运算量小得.x+3!_x+3I*5!x-2!~10-x!2原方程可化为《；；=5度+3,即=k+311・“120%-2!10・xx—l・x—2!’・・・12_%_12=0,解得x=4或x=—3,经检验x=4是原方程的解•C〃.Cp=Cp-Cn-p om nm m-p证明原式左端可看成一个班有机个同学，从中选出〃个同学组成兴趣小组，在选出的〃个同学中，〃个同学参加数学兴趣小组，余下的〃-〃个同学参加物理兴趣小组的选法数原式右端可看成直接在九个同学中选出〃个同学参加数学兴趣小组，在余下的根-〃个同学中选出〃-〃个同学参加物理兴趣小组的选法数显然，两种选法是一致的，故左边二右边，等式成立教学反思1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种2特殊元素或位置优先安排将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种

4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？

5、分清排列、组合、等分的算法区别1今有10件不同奖品，从中选6件分给甲一件，乙二件和丙三件,有多少种分法？2今有10件不同奖品，从中选6件分给三人其中1人一件1人二件1人三件，有多少种分法？3今有10件不同奖品，从中选6件分成三份，每份2件，有多少种分法？

6、分类组合,隔板处理从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法？。