单元总结十二

单元总结十二题透析:微专题一以直线和圆的方程为载体的热点问题直线的方程和圆的方程各有不同的表现形式.直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种,圆的方程有标准方程和一般方程两种.以方程为载体，综合考查直线和圆的性质及含参问题是高考数学试题的一个高频命题点，该命题点有如下一些热点问题.

1.方程问题【例1】2014年陕西卷若圆的半径为1,其圆心与点QQ关于直线对称，则圆C的标准方程为.【分析】求圆的标准方程需要确定圆的圆心和半径，而半径已知，只要根据条件找出圆的圆心即可.【解析】••圆的圆心与点L0关于直线对称，点L0关于直线片x对称的对称点为0,1〃•.圆的圆心坐标为0,

1..•.圆的标准方程为/+3-12=

1.【答案】解十-12二1【拓展训练1】以点2,-1为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.【解析】将直线x沙二6化为x沙£=0,由题意得圆的半径霹噌所以所求圆的方程为*一22+3+12号【答案】『22私+12号

2.距离问题【例2】2016年上海卷已知平行直线A2x+y・l-0,62x+y+l-0,则4,6的距离是.【分析】直接利用两平行直线间的距离公式求得.需要注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同.若系数不同，则要化为相同.【解析】直线4,6之间的距离4邛幽==等.M+r5【答案】等27135V13A.4B.；rC2613【拓展训练2】已知直线3x+2y-3E和6X+S/+1E互相平行，则它们之间的距离是.【解析】♦.两条直线平行〃口考」6二4,.•直线6x+4y-6E）和6x+4y+l=0之间的距离d1丝L普.V+421【答案】D微专题二直线与圆的交汇问题直线与圆的交汇问题主要体现在直线与圆的位置关系上，如相交时的弦长问题，相切时的切线问题，组成图形的面积问题往往会成为高考的热频考点.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化，这里往往要用到数形结合的数学思想.

1.弦长问题【例3】2014年江苏卷在平面直角坐标系X0/中，直线x+2片3-0被圆x-22+y+l2=4截得的弦长为.【分析】由弦心距圆心到直线的距离、半弦长和半径组成的直角三角形，运用勾股定理计算即可，这里用到了点到直线的距离公式.【解析】因为x-22+3+12=4的圆心为2,-1,半径r=2,所以圆心到直线x+2片3-0的距离4卫誓3差，故所求的92V55弦长/-2Vr2-d2=2r—II2In2【拓展训练3】圆M/-2x+4y-20=0截直线5x・12户c-0所得的弦长为8,则c的值是.A.10B.10或£8C.5或-34D.-68【解析】将圆*-2x+4y-20H化为标准方程得x-l2+y+22=25,则圆心例的坐标为Q,-2泮径々5,所以圆心例到直线5x-12y^c=0的距离公管.又产二房+42,所以25=箸7+16,解得c=10或3-

68.故选B.【答案】B

2.参数的取值范围问题【例4】2014年全国〃•卷设点M府，1，若在圆解=1上存在点N使得NO/V//V=45,则刈的取值范围是.【分析】在坐标系中画出圆和直线y=l,其中点M网,1在直线7-1上.由圆的切线长相等及数形结合可求解，这里要注意点例的特殊与一般的分类讨论.【解析】由题意可知，点例在直线y=l上运动，设直线y=l与圆/少=1相切于点氐0,

1.当小斗，即点例与点p重合时,显然圆上存在点M±l,0符合要求当物=0时，过点例作圆的切线，切点之一为点只此时对于圆上任意一点“都有故要存在/例/V=45,只需/必45特别地当/例『二45时，有刈=土

1.结合图形可知,符合条件的府的取值范围为【答案】[-L1]【拓展训练4】已知两点4d，0£e，0a0，若曲线层・2机〉-2片34上存在点2使得//夕夕=90,则正实数8的取值范围为.A.0,3]B.[l,3]C.[2,3]D.[l,2]【解析】将圆的方程*疗-2遮x-2户3=0化为片目27-12=1,易知以为直径的圆的方程为必=/若圆x-国2+312=1上存在点月使得〃如=90,则两圆有交点所以任1/4248+1,解得

14843.故选B.【答案】B

3.最值问题【例5】2014年江西卷在平面直角坐标系中,48分别是x轴和y轴上的动点，若以力8为直径的圆与直线2x+y4-0相切，则圆U面积的最小值为.C.6-2V5n D.【分析】求圆面积的最小值就是求半径的最小值，利用直径所对的圆周角是直角，结合条件以为直径的圆与直线2x+y4-0相切，数形结合可求解.【解析】因为原点是定点2x+y4=0是定直线，点到直线2x+%4=0的距离4孝不变.因为〃0840,所以以AB2为直径的圆过原点a所以圆的半径色匆岑斯以圆面积的最小值为TI管故选A.【答案】A【拓展训练5】已知直线与x轴j轴分别交于48两点,是以0,1为圆心,1为半径的圆上一动点，连接以，户8,则△248面积的最大值是.A.8B.124D乙乙【解析】如图，平移直线使其与圆相切于点门此时点P距离最远即△外〃的面积最大，连接/CPC并延长PC交于点M.二色是圆的半径点户为切点，・•.PM1AB.直线y=^x-3与x轴/轴分别交于48两点,••点A的坐标为4,0,点8的坐标为0,-3厕AB=S...IPMI=ICMI+1=-^=+1W，J16+

1.»外8的面积的最大值是1*5榨用.故选C.【答案】C年全国〃^圆炉-2外8卜+13力的圆心到直线ax^y-1=0的距离为1,则a={.|a+4-l|【解析】圆解旷-2x-8户13-0的标准方程为x-l2+QM2=4面圆心到直线ax^-y-1=Q的距离为1可知二L解得Ja2+12储B.-|C.V3故选A.【答案】A

2.2015年全国刀卷过三点4L3£4,2,qi,・7的圆交y轴于M/V两点，则/例/0=,A.2V6B.8C.4V6D.10【解析】由已知得系二—,68二当与,所以乜瞅£=-1,所以AB±Q即为直角三角形，其外接圆的圆心为Q,・，JL-4J T2,半径为5,所以外接圆的方程为x-l2+y+22=25,令x=0碍片2遍-2或片-2遍-2,所以/例/0=4跖故选C.【答案】C

3.2018年全国丑瑙直线x+y+2=0分别与x轴/轴交于两点，点P在圆x-22=2上，则4/S0面积的取值范围是.A.[2,6]B.[4,8]C.[V2,3V2]D.[2V2,3V2]【解析】••直线x+y+2=0分别与x轴/轴分别交于48两点，.•点/的坐标为20,点8的坐标为0,-2,・的底边/48/=2或.••圆x-22=2的圆心为2,0,半径为短设圆心到直线门川24的距离为d则4上若=2企，又••点P在圆x・22丁=2上，.•点户到直线x+y+2=0的距离的最大值为2V2+品=3五,点P到直线户24的距离的最小值为2V2V2-V2,・9/8面积的最大值为名数=/2四*3=6,最小值为Sminx2理x=2都选A.【答案】A

4.2016年全国婕已知直线上.mx+y+3m用力与圆/,必=12交于48两点，过48分别作/的垂线与x轴交于C两点,若/48/二28，则/U/二.【解析】••38/二2次，圆*少=12的圆心为0,半径为2V3Z「•圆心0,0到直线f.mx+y+3m的距离为矍曹二V豆年=3,解得代入直线/的方程得手x+3x4-百二0,即片小，2国,所以直线/的倾斜角为30,结合图形图略可得/片爆二等二

4.COSOU VJoT【答案】

45.2015年全国/卷一个圆经过椭圆最6二1的三个顶点，且圆心在x轴上厕该圆的标准方程为【解析】设圆心为8,0,则半径为

4.句所以

4./劭2二份/2,解得8=|或8=等故圆的标准方程为X+12号或1-3\2o25【答案】%+|”号或[-|岑小五懑二记懑涧三记二懑三二记国懑/»练案[纪懑港羽懑泗三££工泗单元检测

十二一、选择题

1.2018江西师大附中模拟已知直线4/7Mx-2/77+4y+264=0与A6-lx+/n+2yL-0,则〃6=-2〃是的.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】当）二-2时，可得4:£*-8-0,6-3+1-0,则41%反过来当4”时，可得

（64）（/77+2）+（26+4）（力1）-0,解得m=2或m=-2,所以m=-2是九1%的充分不必要条件，故选B.【答案】B

2.（2018湖南长沙模拟）已知点（・1,2）和母,0）在直线后x-y+l-O（*0）的同侧，则直线/倾斜角的取值范围是（）.B.（呜）U管m）Y片）陪片）【解析】由题意得（-d-2+l）（fa-0+1）0,即31）3於）0,解得又直线/的斜率k=a〃•.电*/倾斜角的取值范围为传用）,故选D.【答案】D

3.（2018豫南九校联考）若8是直线/的倾斜角，且sin e+cos则直线/的斜率为（）.A—入2B.J或2弓或2D.-2【解析】已知sin分cos8二£

①两边平方得sin os8=10,所以sin6与cos6异号.又6是直线/的倾斜角,「.sin外0,cos00,/.sin0-cos8二手.

②由

②领立解得sin8=卓,cos.,.Zr^tan8=-

2.故选D.【答案】D

4.（2018新乡模拟）已知点/（2,-3）是直线由广力7+1-0与直线a2X+b2y+l=0的交点，则经过两个不同点21（五如和巴（力,5）的直线方程是（）.A.2X-3户1-0B.3x-2y+l=0C.2x-3y-l=0D3x-2y-l=0【解析】••点42,-3是直线仇x+氏y+1=0与直线mx+Sy+l=0的交点，.•.2贝・3也+1力且2力-35+1=0,可知吊出，甸和外力，㈤在直线2x-3y＜L-0上.故选A.【答案】A

5.2018北京市海淀区高三二模若直线x+y+dE是圆*-2yE的一条对称轴很ij d的值为.A.l B.-l C.2D.-2【解析】将足旷-2%0化为标准方程得必+7-12=1,圆心坐标为0,1,根据圆的对称性知，直线x+y+a=0过圆心0,1把0,1代入户alX得a=-l.故选B.【答案】B

6.2018洛阳模拟已知圆U解=4,若点氐物,次在圆外，则直线dx〃y=4与圆的位置关系为.A.相离B.相切【解析】由题意知，圆的圆心到直线/的距离d=-二点氏府%在圆+尸=4外,•次»光＞4,C.相交D.不能确定・d7三＜2」直线/与圆相交.【答案】C

7.2018重庆模拟设直线x-y-a-0与圆层疗二4相交于48两点为坐标原点，若A/IOS为等边三角形，则实数3的值为.A.2V3B.±V6C.23D.土9【解析】由题意知，圆心坐标为0,0,半径为2,则的边长为2,所以△/O8的高为其即圆心到直线x-y-a=0的距离为但所以号二百,解得必历或必混故选B.【答案】B1直线f.8x-6y-3=0被圆^-2x+a=Q所截得弦的长度为遮，则实数a的值是.A.-l B.O C.l D.1苫【解析】将圆解-2x+d=o化为标准方程得x-l2=l-d,圆心坐标为Q,0,半径，=VTH,则圆心L0到直线Z8X-6y-3斗的距离4端总乙JLU2・记《学=1迫解得3-

0.故选B.【答案】B

9.2018山东威海市二模过点/1,2的直线/与圆x-32+y-l2=5相切,若直线松9+3力与直线/垂直，则a={.A.4C.4D.2227【解析】••圆X-32+042=5的圆心坐标为3,1,点P在圆上直线的斜率为迫且与直线/垂直，.考二这解得JL故选B.【答案】B

10.2018山东德州模拟圆力和圆有三条公切线，若dWR,Z£R,且数0,则白脸的最小值为.A.l B.3C.4D.5【解析】因为两圆有三条公切线，所以两圆外切.将两圆化为标准方程，则圆G X+B2=9,圆心G的坐标为F0,半径R3圆G**y-262=L圆心G的坐标为0,26,半径r=l.所以所心距/GG/A/Q2+4b2与+1,即+4a=16,所以去号=如+4〃G+a4巾+器+创+2再V=1,当且仅当噂4时等号成立，所以刍弓的最小值为L故选A.Kb ab【答案】A

二、填空题

11.2018武汉调研已知直线/将圆U解平分，且与直线x+2y+3-0垂直,则直线/的方程为.【解析】圆C解旷--2八1口的圆心坐标fl,由题意知，直线/过点直线x+2y+3E的斜率为悔,直线/与直线x+2y+3=0垂直，所以直线/的斜率为2,故直线/的方程为y-1=2x+乡,即2x-y+2=

0.【答案】2x-2=

012.2015年山东卷过点1,8作圆层=1的两条切线，切点分别为48则可•丽=.【解析】在平面直角坐标系X/中作出圆炉=1及其切线期如图所示.连接04月由图可得QA/二QB六1JOPJ2隧/二旌/二陋/APO=/BPO洋观画丽的夹甯根，所以方丽二网,网cosO DJ/【答案】I

13.2018北京市朝阳区高三一模已知点4-2,0,仅0,2,若点例是圆解-2x+2yE上的动点，则面积的最小值为.【解析】将圆M炉产-2户2片0化为标准方程得x-l2+y+l2=2,其圆心坐标为Q,-l,半径r=

2.由题意得,/49=2加,直线28的方程为x-y-f-2=

0.要使“8例的面积最小，即要使圆上的动点用到直线的距离4最小，而圆心L-1到直线的距离为2a，所以dmin-2V2-r-2V2-V2=41,所以“8例面积的最小值为/494力=2*鱼=

2.乙乙【答案】

214.2018南京市模拟在平面直角坐标系X/中，直线小取少,2-0与直线3x/0-2E相交于点只则当实数％变化时，点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为.【解析】由题意得，直线kkx-y+2=G的斜率为匕且经过点4,2,直线Mx+ky-2=0的斜率为［且经过点仇2,0厕直线IV所以点户落在以为直径的圆上，其中圆心坐标为LD半径则圆心到直线灯/4力的距离公亨=2鱼,所以点P到直线的最大距离为=3或.【答案】3V2

三、解答题

15.2018湖南东部六校联考:已知直线/4x+3y+10K泮径为2的圆与/相切，圆心在x轴上且在直线/的右上方.1求圆的方程.2过点ML0的直线与圆C交于48两点/在x轴上方，问在x轴正半轴上是否存在定点/V,使得x轴平分N//VG若存在，请求出点/V的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】⑴设圆心的坐标为40,由题意得出手二2,解得a=0或d=-

5.又圆心在直线/的右上方，则有4升100,即a|.冶印,圆心坐标为0,0,.周的方程为g=

4.2当直线的斜率不存在时，直线轴,x轴平分N//V5除点例外.当直线48的斜率存在时，设直线的方程为尸的-1,设M川,4所心以刈女，窗:得如/2版小印,若x轴平分N/A/氏则M/V=%/V即kN+kN=^,A B..江江即产hlXi-t%2-t x1-tX2-t整理得2XIX2+X2]+2t=G,22把5代入上式狷2g.1佚+21-0,解得t=\K KiJL1二在X轴正半轴上存在定点“使得x轴平分N//V8点/V的坐标是4,

0.。