第31讲正弦定理余弦定理（原卷版）

第讲正弦定理、余弦定理31在考点详解【基础知识回顾】、正弦定理1n hc（为△外接圆的半径）.v7—^=—^=—p=2R RABC sin A sin B sin C正弦定理的常见变形、余弦定理2222；67=/7+c—2/ccos A222；Z7=c+7—2racos B112c=a-\-b-2abcos C.余弦定理的常见变形、三角形的面积公式3=为边上的曲;{1}S^ABC~2^ha{h Ua2SZ\A8c=T〃sin C=^hcsin A=^acsinB；（）；（）（为三角形的内切圆半径）.3S=r a+h+c r在热身训练A.1B.2C.3D.

4、在△中，若则等于1ABC AB=g,BC=3,C=120°,AC、已知△〃=小，则等于（）2ABC,b=g,A=30°,cA.2y[5均不正确小或小D.C.2A/

3、3在△中，且△的面积为七则的长为ABC A=60°,AB=2,ABC S5C.半AC.2y[3D.2百，角等于、=2b=6,A=3,8467171A.7一B.471_p,5C.一或一D.的面积石，则三ABC S=sinA

5、在.ABC中，若A=60，b=T,回273922673R rA.---------D.373D.33366若〃,则、在中，角、氏所对的边分别为75-cjcosA=acosC cosA=6^ABC Aahc.显哈・C.3A.90°B.60°c.45°D.30°

7、在ABC中，角人民的对边分别为〃也c,C=120°,若仇1—COSA=Q1—cosB,考向一运用正余弦定理解三角形由典例剖析例、•全国高三专题练习理在「中，角所对的边分别为c.12021A6C A,B,C a,b,已知成等差数列.acosC,bcosB,ccosA求角的大小;1B4若求的值.2cosA=—,sinC变式、（）在，中，内角，所对的边分别为〃，若11A6c A B,b,a cosB-C=cos A2A/3Zsin C-,则A=（）在中，则边上的高的长度为2‘ABC A=§,AB=6AC=4,3c6变式

2、（2021・天津高三期末）在『ABC中，内角4B,C所对的边分别为〃，b,c,且满足〃

（222）asin A=4sinB,ac=\/36Z-b-c.（）求的值；1cos A（）求（）的值.2sin25+A方法总结本题考查正弦定理、余弦定理的公式.在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.考查基本运算能力和转化与化归思想.考向二利用正、余弦定理判定三角形形状例、（•河北张家口市•高三月考）（多选题）在二中，角、、的对边分别22020A3c AB是、＞下面四个结论正确的是（）b=，则.的外接圆半径是A.2,A=30ABC4a hB.若----------=---------,则A=45cos Asin B若+从＜则一定是钝角三角形C.2,A A6C若则D.AvB,cos Avcos5变式、（）设△的内角所对的边分别为，若1ABC A,B,C h,c,Zcos C+ccos〃则△的形状为B=sin A,ABC（锐角三角形A.C.钝角三角形）直角三角形B.不确定D.e iri Azy在△中，角的对边分别为若示石2ABC A,B,C a,b,c,=J S+c+oS+c—则△的形状为=3bc,ABC直角三角形等腰非等边三角形A.B.等边三角形钝角三角形C.D.方法总结判定三角形形状的途径

①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系.正余弦定理是转化的桥梁.考查转化与化归思想.考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积例、在中，分别为内角民的对边，若31A4BC43且则〃=.2sinB=sin/4+sinC,cosB=—,5^^8c=6,4在中，角，所对的边分别为若2AA5C AB,b,c,b=3,sin2A—sin2B=3sin2C，cosA=—则AASC的面积是____________.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原3文圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，A3CO AC.是其两条对角线，且团为正三角形，则回面积的最大值为BD=4,ACD A5C，四边形的面积为.注圆内接凸四边形对角互补ABCDB变式、•湖南岳阳市,高三一模入中，角的对边分别为120214548,C b,c,2sin A+sinC=2sinBcosC.求的大小；1B若且八边上的中线长为典，求的面积.2=3,c eABC2变式、•辽宁实验中学高三模拟如图，已知四边形中,22021ZBAC=

90.Z ABC=30,AC=2,AD LCD.求长度的最大值；18若©面积是八面积的倍，求2A6c46tan/ACD方法总结求三角形面积的方法L⑴若三角形中已知一个角角的大小或该角的正、余弦值，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积.若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.总之，2结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.已知三角形面积求边、角的方法

2.若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解.1若求边，就寻求与该边或两边有关联的角，利用面积公式列方程求解.2考向三结构不良题型例、•山东济宁市高三二模在

①『=；

②32021sinB—sinC sin2A—sinBsinC3+C；

③2；2asin C=ctan A2cos=cos2A+12三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题已知的内角所对应的边分别为，，若丘,.vABC A,B,b,c,b=求的值；1A（）若，求的面积.2sinB=sinC..ABC变式、）在，中，设〃（民-^）〃（池），已知勿・〃・1ABC2=85115,=85112=—（）求角14（）设的中点为，若,求23C cosC从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答.；@sinZBAD=|sin^C4D@BC,AD=BC.注如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分.7T变式、在「.中，角所对边分别为，瓦现有下列四个条件=『2ABC A,B,C c,B3，，AC=V13

①；

②；

③=々；

④（片十/一从）=一百〃.a=C Z=22c cosA cosB+bcos A32（）

③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；1（）请从上述四个条件中选三个，使得.有解，并求的面积.2ABC ABC（注如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分）在优化提升-实战演练.一.

2、【年高考全国卷理数】在△中，则二12020HI ZBCcosC=-,44,BC=3,cos83B.—

3、【年高考全国理数】在八中，，则22018n45cos-=—BC=1,AC=5,A3=4A/2V30V292A/

5、【年高考全国【理数】△的内角，的对边分别为，若32018n ABC AB,“/,c,BCZ724-A2-r2的面积为，则=

4、（•江苏常州市•高三期末）在中，已知的平分线交于，且42021ABC AC=1,NA AD=1,，则，的面积为.BD=CA、（•江苏徐州市•高三期末）在一中，角氏的对边分别为且52021ABC Ad4C,（）/=c cosA-sinA.（）求角；1C（）若，为边的中点，在下列条件中任选一个，求的长度.条件

①2c=26A的面积且；条件

②（注如果选择两个条件分别解答，按第一个.465=2,BA cosB=±解答记分）、（•江苏南京市高三三模）已知四边形中，与交于点、62021ABC ACBD E,AB=2BC=2CD=

4.2若〃，求；1/ADC=—AC=3,cosNCAD3若五,求的面积.2A^=C£,BE=

2.ABC、•山东高三三模在一中，角人民所对的边分别为72021A8C一〃a,b,c,ccosA=y[2b cosC.71若人=一，点在边上，求△的外接圆的面积;1AB AD=BC=1,8C12若求面积的最大值.2c=2,。