分类剖析半角旋转问题

分类剖析半角旋转问题本文所述“半角旋转问题”是指，A角的大小和位置固定时，B角的顶点与A角的顶点重合，且数量是A角的一半，当B角绕公共顶点旋转时，所产生的几何问题.这些数学题的解决能够考察学生对全等、相似等基本知识技能的掌握，以及对转化、数形结合等数学思想的应用，所以半角旋转问题成为2016年中考中的热点.笔者撷取部分题目，分类作出分析,供各位读者参考.

一、45角在90角内的旋转例12016年淄博中考题如图1,正方形ABC的对角线交于，点M、N分别为BC、CO边上的动点不与点

3、C、重合，AM、AN分别交80于点£、尸，且NM4N=45始终不变.⑴求证需哗AM22求证:3请探索:在NM4N旋转过程中，当N8AW等于多少度时，4FMN=,写出你的探索结论，并加以说明.NMAC:NFAD，所以—再根据NM4N=45，AMAC2sinZMA7V=—=—,进而可得BM C/MAC=/NAD.2AM分析由NM4N=45和NC4O=45，可得NM4C=NN4O,继而可证DN由于tanZNAD=——,乂AD=AB,而且NAFB;VNFD,所以ADDNDNNF—=——=——，又因为VAEW为等腰直角三角形，所以Ab=Mb,所以ADABAFFNtanZNAD=——.MF在RNMFN中，tanZFMN=—,所以ZMAC=ZFMN,故MF4FMN+/BAM=45°，所以当ZMAC=ZBAM=

22.5°时，/FMN=ZBAM=

22.5°.注本题首先要观察NM4N在围绕A点旋转过程中两组始终相等的角，然后结合待证结论和题目隐含的条件NA£8=NACM证明VMAC:7FAD,而且无论M、N怎样运动，VM4C和VE4D始终保持相似.这种相似也可称之为动态相似，动态相似是半角旋转现象的一个突出的特点，也是在解决这类问题中表现出的通性通法.通性通法是有效解题教学的根本保证.例22016年扬州中考题已知正方形A3CO的边长为4,一个以点A为顶点的45角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、的延长线交于点E、尸，连结£7设CE=a,CF=b.1如图2,当NEAb被对角线AC平分时，求、Z7的值；2当V4E/是直角三角形时，借助图3求、的值；⑶如图4,探索NE4/绕点A旋转的过程中、〃满足的关系式，并说明理由.分析•当NEAR被对角线AC平分时，可证£=/=4=4四.当丫4瓦是直角三角形时，可分为两种情况:第一种NAEb=90，VFCEWEBA,可得=4,/=8;第二种NAFE=90，7ECFWFDA,可得=8,〃=

4.而在NE4/绕点A旋转的过4rCF

4、万〃程中，都有VACE:VFC4,—=—,即、一二—^,故可得匕=

32.CFACb4及注例2是在例I基础上，将〃、N两点的活动范围扩大为在射线BC、CO上运动得到的.本题的解题突破口还是要找到半角旋转现象中始终相等的角，与例1不同的是，解决第⑵问用到全等而非形似，是增加条件“VAE/是直角三角形时”的特殊情况.而解决第3问则保持了与解决例I时相同的方法一一动态相似.半角旋转作为一种广义数学结构、数学模型具有内部的等价性、关联性、差异性，研究其等价性和关联性有助于学生快速寻找解题思路.研究差异性，有助于学生迅速调整解题思路，避免进人思维定式，所以对半角旋转的精致研究不可或缺.

二、60角在120角内的旋转例3（2016年湘潭中考题）如图

5.菱形ABCD,已知NR4O=120，ZEGF=60°,NEG尸的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交3C、CD于点E、F.

（2）知识探究t，请直接写出线段£C、Cb与8C的数量关系

①如图7,当顶点G运动到AC中点时，探究石C、C厂与3C的数量关系;（不需写出证明过程）；

（3）问题解决如图8,已知菱形边长为8,BG=7,6=

1.2,当Z2时,求EC的长度.分析当顶点G运动到与A点重合时，可证VACEMVAOF,继而可得尸=CE,所以£C+b=8C;当顶点G运动到AC中点时满足EC+CF=』BC,其证明过程如2下，过G作GH//AB交BC于H,所以CH」BC.由于GC=GH，CG2NGHC=NGCF=）,AEGH=ZCGF,所以VGHE封GCF,所以1AC£C+Cb=C〃=28C.仿照此证法可得，在定点G的运动过程中，若々上二f,则有2CGEC+b=，BC.而当菱形边长为8,8G=7,C〃=

1.2,且，2时，过3作8W_LAC,2垂足为M,根据勾股定理，可求GM=1,GC=3,又EC=

1.

8.注本题中半角旋转所产生的是动态全等，而动态相似和动态全等产生的区别在于半角旋转所在的具体环境不同，也即半角旋转所附着的特殊图形的性质不一样，这是半角旋转差异性的具体表现.在解决问题时要及时察觉这些差异性，并由此而思考在解题方法上应该继续坚持什么，调整什么，这样才能发挥半角旋转模型的现实意义和数学价值.例42016年湖州中考题数学活动课上，某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD{NE4O=120进行探究.将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形ABCO所在平面内旋转，且60角的顶点始终与点重合，较短的直角边分别交线段A

3、AD于点E、尸不包括线段端点.1初步尝试如图9,若AD=A6,求证:

①VBCE邕VAC/;

②AE+AF=AC.图9图102类比发现AE+3AF_14cAC~2币JD图11如图10,AD=2AB,过作C”_LAO于点H,求证:=3深入探究人尸+34户如图11,若AO=345,探究得的值为常数，则/=AC分析若AO=A8,四边形48CD即为菱形，又因/84=120，所以NB4C=NO=60，AC=CD,又因为/ECF=/ECA+ZACF=60,而zL4CF+ZFCD=60°,可得NACE=N£C〃就此可证VACE二VOb,AE=DF,所以=当AD=24B时，过C作C”_LA力于点”，则可证NAC力=

90.设“二力，则C£=2b,C〃=®，由NECF=NC4=60，可证VR”VEC4,Ap Ar\继而有——=——=-,^AD=3AB,过C作CG_LAB,垂足为G,过C作CN_LAOFHCH2垂足为N,设,DN=c,则力C=2c,BC=6c,NC=后.又因NGCB=30，所以GB=3c,GA=c,GC=3限,根据勾股定理，有ACVGCRAG=2缶,又因为4GCN=/GCF+/NCF=3,/ECF=/ECG+/GCF=,所以4ECG=4FCN,所以YECG:YFCN,空=空=之^=

3.所以£G=3f7V,FNNC辰AE+3AF=EG-AG-}-3AF=EG-AG+3AN-FN=EG-AG+3AN-3NF=3AN-AG=3x5c-c=i4c,所以f二注本题中通过控制特殊四边形一组临边比值的方式,让半角旋转现象所附着的数学背景图形条件不断减弱，在解题方法上呈现出由动态全等到动态相似的一系列变化.题干条件的变化对解题有一定影响，但是不影响通性通法的继承性，如通过第2问中要求“过C作C”于点”“，自然想到解决第3问也要构造同样的辅助线继续构造相似.就此也可以看出只有辩证的使用半角旋转现象才能有事半功倍的效果.。