直接证明与间接证明复习设计

专题066直接证明与间接证明（复习设计J考点要求

1.在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法.难度多为中档题，也有高档题.

2.从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法.

3.在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的.知识结构

1.直接证明

（1）综合法

①定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.

②框图表示|P=Qi|~|anQ2HQnQj1Q〃0Q|（其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示要证的结论）.⑵分析法

①定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法.

②框图表示还可一叵回一叵画--------------------»|得到一个明显成立的条件|.（寻找使结论成立的条件）

2.间接证明一般地，由证明〃0c/转向证明^^0…今人，与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判定㈱q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.

3.反证法利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.基础自测

1.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设且a+A+c=0,求证从一V小索”的“因”应是.A.a-b0B.a-c0C.a—ba-c0D.a—ba—c0解析yjb2—acy[3a=tr—ac3cr=S+c2—acV3a2O/+2ac+c2—ac—342Vo02a2+ac-]-c1=2a2—4—/=a-c2a+c00ci-ca-/.

2.设a=lg2+lg5,〃=eXrO,则a与匕大小关系为.A.ab B.ab C.a=b D.aWb解析a=lg2+lg5=l,b=e\当xVO时，0V〃V答案A

3.否定“自然数小儿c中恰有一个偶数”时，正确的反设为.A.a,b,c都是奇数B.a,b,c都是偶数C.a,b,c中至少有两个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数解析:小儿c恰有一个偶数，即〃，6c中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确.答案D

4.设

4、b R,若一夜|0,则下列不等式中正确的是.A.h-a0B.a3+b3C.a2~b20D.〃+a0解析一族|0,,\b\a,.•.〃,:,一a〈b〈a,.•.〃+a

0.答案D

5.在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确.例如在△A8C中，若A8=AC,P是△ABC内一点，NAP8NAPC,求证NBAPVNCAP,用反证法证明时应分:假设和两类，答案ZBAP=ZCAP/BAP/CAP例题选讲

1.综合法的应用〃2房2例1设a,b,c0,证明7+-7+丁2〃+〃+.分析用综合法证明，可考虑运用基本不等式.证明•••〃，b,c0,根据均值不等式，/b2T有5+hN2a,;+c22〃，~+a^2c.三式相加今+}+彳+a+〃+c22o+》+c.当且仅当a=6=c时取等号.即泊+力+c.小结综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立.因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.学生练习1:设，〃为互不相等的正数，且a+Ql,证明短

4.证明+=弓+:}4+力=2+5+圻2+2=

4.又a与b不相等.故5+房

4.

2.分析法的应用例2已知m0,a,bGR,求证（一〃JY［+〃.分析先去分母，合并同类项，化成积式.证明.*加0,/.1+/

70.所以要证原不等式成立，只需证明（〃+/汕）2W（l+m）（〃2+/汕2）,即证—2ab+/）》o,即证（4一切220,而（4一力220显然成立，故原不等式得证.小结逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.学生练习2已知小江川都是正数，且求证缺/十m o证明要证明辔〉*由于，力帆都是正数，b+m只需证a［h+m）b（a+m）,只需证ambm,由于m0,所以，只需证aVA.已知〃V〃，所以原不等式成立.（说明本题还可用作差比较法、综合法、反证法）

3.反证法的应用例3己知“，〃为非零向量，且，，不平行，求证向量+力与〃-6不平行.证明假设向量a+力与a—b平行，即存在实数2使a+力=4”一）成立，则（1—2）〃+（1+力力=0,Va,力不平行，I—2=0,,p=l,・1+2=0,得A=-1,所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立.学生练习3（2011・安徽）设直线八y=hr+l,Z2=人-1,其中实数由，心满足4曲+2=

0.⑴证明/］与6相交;

（2）证明/i与/的交点在椭圆2M+）2=］上.2分析第

（1）问采用反证法，第

（2）问解人与/2的交点坐标，代入椭圆方程验证.［解答示范］证明

（1）假设6与/2不相交，则1\与，2平行或重合,有鬲=%（2分）代入跖0+2=0,得好+2=

0.（4分）y=h%+1,

（2）由方程组y=k2X~1，这与心为实数的事实相矛盾，从而心工心，即（与，2相交.（6分）/A解得交点「的坐标（、‘叫二山（9分）1Vkz-k\从而2*+丁=2（色）+（28+屈+后+2%必好+好+4屈+后一2h2后+度+4此即表明交点P（x,y）在椭圆24-/=I±.（12分）巩固作业只要证明（）.A.2ab-1—//WO B.cr+b1-1——z-W0m+〃）2D.（/一1）（力2一］）20C.—2——I-aWwo

1.要证a2+b2—1—crb2^O,

2.用反证法证明若整系数一元二次方程F+云+=03片0）有有理数根，那么〃、〃、c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（B）.A.假设〃、氏c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设、b、c至多有一个偶数D.假设“、b、c至多有两个偶数

3.在用反证法证明命题“已知a、b、c£（0,2）,正确求证a（2一方）、从2—c）、c（2—a）不可能都大于1时，反证时假的是（）设A.假设a（2-b）、从2—c）、c（2—力都小于1B.假设a（2—6）、b（2—）、c（2—a）都大于1C.假设a（2—）、〃（2-c）、c（2—a）都不大于1I）.以上都不对解析“不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.答案B

4.下列命题中的假命题是（）.A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间［a,句上的单调函数f（x）至多有一个零点D.设小旧,若是奇数，则a,中至少有一个为奇数解析为奇数Sa,中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.答案I）

5.命题“如果数列｛｝的前〃项和5=2〃2—3/7,那么数列｛｝一定是等差数列”是否成立（）.A.不成立B.成立C.不能断定D.能断定解析・・・$=2〃2—3〃，；・S°-i=2（/—1）2—3（〃一1）（〃22）,**•3n=Sn—Sn-1=4/—5（77=1时,=S=—1符合上式）.又•.,+i—a=4（〃21）,・•・｛｝是等差数列.答案B

6.要证明“镉+于＜2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.

①反证法，

②分析法，

③综合法.答案

②

7.已知｛所｝是正数组成的数列，3=1,且点丽，斯+|〃WN”在函数y=r+l的图象上.1求数列｛｝的通项公式；⑵若窥列⑸满足力=1,源•i=b“+2a〃，求证b*b/r+2bf/+

1.解I由已知得则«„+1—又0=1,所以数列｛〃”｝是以1为首项，1为公差的等差数列.故a,1=1+〃—1X1=n.2由1知，斯=〃，从而儿+［一＞=

2.bn=bn—bn-\+儿一I一儿一2H卜•一加+也=2n-l_|_2n-2_|_...+2+|1一2〃--------==2—11-2因为源瓦+2—居+1=2〃-12+2—]一2E一12=22w+2—2/,+2—2W+1—22/,+2—2-2,,+|+1=一20,所以bn-bn+2bl+\.。