第1章 数的整除全章复习与测试（教师版）

【知识梳理】正整数］整数，自然数零J

1.第章数的整除全章复习与测试1负整数.整除整数除以整数若除得的商是整数且余数为零,即称能被整除；或能整除2a b,a bb a.除数、被除数都是整数;商，三整一零.整除的条件:是整数且余数为零.L口」整除被除数、除数、商都是整数，且余数为零；整除与除尽的关系［除尽被除数、除数、商不一定是整数，没有余数.联系整除是除尽的特殊形式..因数与倍数整数能被整数整除，就叫的倍数，就叫的因数约数.3a b a bb a因数与倍数互相依存；因数与倍数的特征一个整数的因数中最小因数为最大因数为它本身一个整数1,的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.|偶数；否则是奇数2n2nT.能被整除的数42［特征个位上是0,2,4,6,

8.能整除的数的特征个位上数字是；50,5能同时被、整除的数个位上数字是

250.*能被整除的数一个整数的各个数位上数字之和能被整除，这个整数就能被整除.333*能同时被、和整除的数个位数是且各个数位上数字之和能被整除2350,3只有一个因数；

1.正整数素数只有和它本身两个因数；51合数除了和它本身以外还有别的因数.1’素因数每个合数都可写成几个素数积的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫这个合数的素因数；合数一分解素因数

6.分解素因数把一个合数用素因数相乘的形式表示.方法短除法；树枝分解法；口算法；机算法.所以是的倍数.183故答案为18,

3.【点评】本题考查了倍数，解题的关键是掌握倍数的定义并灵活运用.六.最小公倍数（共小题）3（秋•徐汇区校级期中）若则与的最大公因数是,最小公倍数是

24.2022A=2X3X5,B=2X3X7,A

86210.【分析】把两个数的公因数相乘即可得到最大公因数;把两个数的所有质因数相乘即可得到最小公倍数.【解答】解・・・则与的最大公因数是；A=2X3X5,B=2X3X7,A B2X3=6最小公倍数是2X3X5X7=

210.故答案为6,

210.【点评】本题考查的是最小公倍数，熟知最小公倍数是共有质因数和独有质因数的积是解题的关键.（秋•青浦区期中）则和的最小公倍数是

25.2022A=2X3X3,B=2X3X5,A

890.【分析】根据最小公倍数是共有质因数和独有质因数的积解答即可.【解答】解VA=2X3X3,B=2X3X5,和B的最小公倍数=AA2X3X3X5=

90.故答案为

90.【点评】本题考查的是最小公倍数，熟知最小公倍数是共有质因数和独有质因数的积是解题的关键.（秋•闵行区校级期中）已知〃如果和的最小公倍数是那么a=

26.2022A=2X3X7,B=3X5X

7.A8630,

3.【分析】根据最小公倍数的计算方法，结合题意，列方程并求解，即可得到答案.【解答】解・・・的最小公倍数是A,8630,A2X3X5X^X7=630,，加=3,・••故答案为

3.【点评】本题考查了一元一次方程和最小公倍数的知识；求解的关键是熟练掌握一元一次方程和最小公倍数的性质，从而完成求解.七.最小公倍数的应用（共小题）4（秋•松江区期中）一包糖果，不论平均分给个人还是个人，都能正好分完，这包糖果至少

27.202268_J4块.【分析】求和的最小公倍数即可.68【解答】解由题意，这包糖果的个数为和的公倍数.68・••这包糖果的个数的最小值为6和8的最小公倍数.・•・6=2X3,8=2X2X2,.-.2X2X2X3=44,・••这包糖果至少24块.故答案为

24.【点评】本题主要考查了最小公倍数的应用，确定两个数的最小公倍数是解题的关键.（秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长米，从一端起到另一端止每隔米插一面小

28.20221004红旗.现在要改成每隔米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？5【分析】分析题意可得，不动的小旗地点应该是和的公倍数所在的位置，找出以内有几个和4510045的公倍数，然后加上即可.1【解答】解:和的最小公倍数是5420,・・（面）.•100+20+1=5+1=6答有面小红旗不用移动.6【点评】本题考查最小公倍数的应用，明确不动的小旗即和的公倍数所在的位置，是解答此题的关键；45应注意，最后要加上第一面旗子.（秋•青浦区校级期中）一块草坪长宽要用这样相同大小的草坪铺成一个正方形花园，铺

29.202250cm,40cm,成的正方形花园的边长至少为多少厘米？至少要多少块这样的草坪？【分析】把和分别分解质因数，找到它们的最小公倍数，即为这个正方形地面的边长；求需要多少5040块这样的方砖，先根据正方形的面积公式求出正方形教室的面积，根据长方形的面积计算公式求出长方形瓷砖的面积，然后用教室面积除以长方形砖的面积即可【解答］解:50=5X2X5,40=2X2X5X2,、的最小公倍数50402X2X2X5X5=200,即边长是厘米，200需要（）（）200X2004-50X40（块）；=20答铺成的正方形花园的边长至少为厘米，至少要块这样的草坪.20020【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法，掌握求两个数的最小公倍数的方法是解题的关键.（秋•徐汇区校级月考）有一种长厘米，宽厘米的长方形塑料片，如果将这种塑料片拼成一个正

30.202264方形，最少需要多少块？这个正方形的面积是多少？【分析】由题意知拼成的正方形的边长是和的最小公倍数，先把和进行分解质因数，这两个数6446的公有质因数与独有质因数的连乘积是其最小公倍数；然后根据题意，分别求出长需要几个，宽需要几个，然后相乘即可.【解答】74=2X2,6=2X3,・・・和的最小公倍数为即正方形的边长是厘米，642X2X3=12,12（）（）12+6X12+4,=2X3,（个），=6则（平方厘米），12X12=144答至少需要块这样的硬纸板，这个正方形的面积是平方厘米.6144【点评】此题考查了最小公倍数的应用，求两个数的最小公倍数的方法两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数.八.质数（素数）（共小题）6（秋•宝山区期中）由式子义我们说和都是的（）

31.20226=23,236素数素因数互素公因数A.B.C.D.【分析】由义可得出和都是的因数，结合均为素数，即可得出和都是的素因数.6=23,2362,3236【解答】解・・・义6=23,和都是的因数;•••236又・・・2,3均为素数，・••我们说2和3都是6的素因数.故选B.【点评】本题考查了质数（素数）以及因数，牢记质因数（素因数）的定义是解题的关键.素数互素数素因数公因数A.B.C.D.（秋•普陀区期中）在等式义中，和都是（）

32.202215=353515【分析】分别根据素数，因数以及公因数的概念判断即可.【解答】解在等式义中，和都是素因数.15=353515故选C.【点评】本题考查了公因数和最大公因数，掌握相关概念是求解本题的关键.（秋•宝山区期中）如果两个素数的和是奇数，那么其中较小的素数是

33.

20222.【分析】素数又叫质数，质数是指在大于的自然数中，除了和它本身以外，不能被其他自然数整除的11数.最小的质数是它也是唯一的偶数质数，如果两个素数的和是奇数，而奇数+偶数=奇数，故其中较小的2,素数是

2.【解答】解如果两个素数的和是奇数，・•・那么其中较小的素数是

2.故答案为

2.【点评】本题主要考查素数的概念，解题的关键是掌握奇数+偶数=奇数.（秋•浦东新区校级期中）两个素数的差是则这两个素数的积是

34.202215,

34.【分析一】根据素数的定义及两个素数的差是可找出两个素数分别为和二者相乘即可得出结论.15,217,【解答】解・••17-2=15,，两个素数分别为2,17,・••这两个素数的积是2X17=

34.故答案为

34.【点评】本题考查了质数（素数），熟练掌握质数（素数）的定义是解题的关键.（秋•徐汇区校级期中）的所有因数中，互素的有对.

35.2022213【分析】先根据因数的概念确定的因数有然后再根据互质（素）数的概念确定互为素数的是；211,3,7,1,3；1,73,

7.【解答】解:的因数有211,3,7,互为素数的是；；共有对，1,31,73,7,3故答案为

3.【点评】本题考查了质数（素数）以及因数，理解掌握互素数的定义，能够准确找到的因数是解题的关21键.（秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组挛生素数.如和就是一

36.20221113组李生素数，（）请你举出除此之外的两组挛生素数；1（）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数（本题只2”.需直接写出答案）【分析】（）根据学生素数的定义直接写出两组符合条件的素数即可；1（）根据“三胞胎素数”的定义，直接写出即可.2【解答】解（）和是一组挛生素数，和是一组挛生素数；13557（）、、是“三胞胎素数”.2357【点评】本题考查素数的概念，熟练掌握素数和奇数的概念是解题的关键.九.合数（共小题）5（秋•宝山区期中）最小的合数是（）

37.2022A.2B.4C.6D.15【分析】由合数的定义，即可判断.【解答】解最小的合数是

4.故选B.【点评】本题考查合数的概念，关键是掌握合数的定义.（秋•奉贤区校级期中）一个正方形的边长是素数，则它的面积一定是（）

38.2022素数合数奇数偶数A.B.C.D.【分析】由合数的定义，即可判断.【解答】解•・•正方形的面积=边长X边长，・••正方形的面积等于两个质数的积，・•・正方形的面积除1和它本身外，还有别的因数，・•・这个正方形的面积是合数，故选B.【点评】本题考查合数的概念，关键是掌握合数的定义.（秋•浦东新区校级期中）在下列说法中，正确的是（）

39.2022/是素数A.是合数B.1既是素数又是合数C.1既不是素数也不是合数D.1【分析】由素数，合数的定义，即可判断.【解答】解即不是素数也不是合数，1故选D.【点评】本题考查素数，合数，关键是掌握素数，合数的定义.（秋•奉贤区校级期中）和是的（）

40.20224728因数素因数合数素数A.B.C.D.【分析】由因数，素数，合数的定义，即可判断.【解答】解和是的因数，4728故选A.【点评】本题考查因数，素数，合数，关键是掌握因数，素数，合数的定义.（秋•青浦区期中）下列说法正确的是（）

41.2022两个素数没有公因数A.两个合数一定不互素B.一个素数和一个合数一定互素C.两个不相等的素数一定互素D.【分析】由素数，合数，互素的定义，即可判断.【解答】解、两个素数有公因数故不符合题意；A1,A、两个合数有可能互素，故不符合题意；8B、一个素数和一个合数不一定互素，故不符合题意；C C、两个不相等的素数一定互素，正确，故符合题意.故选D.【点评】本题考查素数，合数，互素的概念，关键是掌握素数，合数，互素的定义.一十.分解质因数（分解素因数）（共小题）4（秋•杨浦区期末）分解素因数

42.202224=2X2X2X

3.【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解.【解答】解24=2X2X2X3故答案为2X2X2X

3.【点评】本题考查了分解质因数，熟练掌握分解素因数的方法是解题的关键.（秋•徐汇区期末）分解素因数

43.202218=2X3X3【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解.【解答】解；18=2X3X3故答案为2X3X

3.【点评】此题主要考查分解质因数的方法，要注意每个因数必须是质数，不能含有因数L（秋•松江区期末）分解素因数21=

44.20223X

7.【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个素因数连乘积的形式，一般先从较小的素因数开始分解.【解答］解:21=3X7,故答案为3X

7.【点评】此题考查有分解质因数，关键是根据分解素因数法则解答.（秋•徐汇区校级期中）把分解成因数

45.2022120120=2X2X2X3X

5.【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解.【解答】解120=2X2X2X3X

5.故答案为2X2X2X3X

5.【过关检测】【点评】本题考查了分解质因数，熟练掌握分解素因数的方法是解题的关键.

一、选择题（本大题共小题，每题分，满分分）6318全部因数共有（）

1.48个个个个A.9B.8C.10D.12【答案】C【分析】根据找一个数的因数的方法，进行列举即可.【详解】解的全部因数有、、、、、、、、、共个；4812346812162448,10故选C.【点睛】本题主要考查找一个数的因数的方法，解决本题的关键是要熟练掌握因数的概念，注意写因数时要两个两个的写防止遗漏.在二义中，和都是的（

2.14272714）素数互素数素因数公因数A.B.C.D.【答案】C【分析】根据因数，素数和合数的概念即可得出答案.【详解】14=2x7=1x14,的因数有其中既不是素数也不是合数，是合数，141,2,7,14,114・・・和都是的素因数.2714【点睛】本题主要考查素因数，掌握因数，素数的概念是解题的关键.对、和这三个数，下列说法中正确的是（）

3.1846能被整除能整除是的因数是的倍数A.184B.618C.418D.64【答案】B【分析】若、、均是整数，且则能被、整除，或者说、能整除；根据因数和倍数a+b=c,a bc bWO,a bc bc a的意义如果整数能被整数整除（）就叫做的倍数，就叫做的因数；据此判断即可.a bbWO,a bb a【详解】解、不能被整除，故说法错误；A184A、能整除故说法正确；B618,B、不是的因数，故说法错误；C418C、不是的倍数，故说法错误；D64D故选B.【点睛】此题主要考查了整除的性质的应用、因数与倍数的意义及其运用.在下列数中，表示数和的最大公约数和最小公倍数的积是（）

4.78A.7B.8C.1D.56【答案】D【分析】如果两个数是互质数，它们的最大公约数是最小公倍数是这两个数的乘积.1,【详解】解和是互质数，最大公约数是最小公倍数是781,7X8=56,7和的最大公约数和最小公倍数的积是81X56=

56.故选D.【点睛】此题主要考查求两个数的最大公约数和最小公倍数如果两个数是互质数，它们的最大公约数是最1,小公倍数是这两个数的乘积.在下列说法中，正确的是（）

5.是素数是合数A.1B.1既不是素数也不是合数既是素数又是合数D.1C.1【答案】D【分析】只有它本身一个因数，即不是素数，也不是合数.据此解答即可.1【详解】解只有它本身一个因数，即不是素数也不是合数，属于说法正确的是1D.故选D.【点睛】此题主要考查既不是素数也不是合数.1力的因数有（）

6.A=2x3x5,、、、、、、A.235B.

235610、、、、、、、、、、、、、C.123561015D.12356101530【答案】D【分析】根据因数的定义进行判断即可.【详解】因为A=2X3X5,所以A=1X30=2X15=3X10=5X6,所以的全部因数有A1,2,3,5,6,10,15,

30.故选D.【点睛】本题考查了因数，掌握因数的定义是解题的关键.

二、填空题（本大题共题，每题分，满分分）12224在能够被整除的两位数中，最小的是.

7.5【答案】10【分析】根据数的整除的性质分析，即可得到答案.【详解】能够被整除的数从小到大排列为50,5,10,15,20,...・••在能够被5整除的两位数中，最小的是10故答案为

10.【点睛】本题考查了整除的知识；解题的关键是熟练掌握整除的性质，从而完成求解.分解素因数

8.15=【答案】3x5【分析】利用树枝分解法分解素因数即可.【详解】由树枝分解法可得15=3X

5.15故答案为3X

5.【点睛】本题主要考查分解素因数的方法，对于能直接看出哪两个数相乘的数，一般采用树枝分解法.已知B=2x3x7,贝」的最小公倍数是,最大公因数是.

9.A=2x3x5,I8【答案】2106【分析】两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数.【详解】解已知A=2X3X5,B=2X3X7,那么和的最小公倍数是A B2X3X5X7=210,最大公因数是2X3=

6.故答案为、

2106.【点睛】考查了求两个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法，两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答.一堆苹果，个个数个个数和个个数都剩下一个，这堆苹果最少有个.

10.223355【答案】31【分析】余数相同，所以如果总个数减少个，那么总个数就是、、的公倍数，只要求出、、的最小1235235公倍数，然后再加上即可得解.1,【详解】解、、互为素数，、和的最小公倍数是（个），2352352x3x5=30,30+1=31所以这堆苹果最少有个.31故答案为

31.【点睛】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数.（填“能”或“不能”）说整除

11.

2.8+2=

1.4,

22.

8.【答案】不能【分析】整除只有当被除数、除数以及商都是整数，没有余数时才是整除.【详解】

2.8+2=

1.4,和都是小数，不符合整除的意义；

2.

81.4故答案为不能.【点睛】本题考查了整除的意义整除就是若整数除以大于的整数，商为整数，且余数为零，我们就“a”0“b”说能被整除（或说能整除）a bb a.定义:几个数公有的因数，叫这几个数的公因数；其中最大的公因数f最大公因数f一个叫这几个数的最大公因数；

7.求法枚举法；分解素因数法；短除法.互素指两个整数只有公因数这两个整数不一定是素数.L区别

8.素数只有和它本身两个因数；1定义几个整数的公有的倍数，叫它们的公倍数；其中最小的一个叫它们的最一般方法倍数一公倍数一最小公倍数;•公倍数-最小公倍数T9小公倍数；分解素因数法；

2.最小公倍数的求法短除法.

3..特殊情况两个数互素；两个连续的正整数.4若是匕的因数，则它们的最大公因数为最小公倍数为;若与人互素，则它们的最大公4,.重要结论:10因数为最小公倍数为必.1,【考点剖析】一-数的整除（共小题）7（秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）

1.2022A,和和和和2550B.423C.104D.

91.5【分析】根据整除的定义计算即可.【解答】解本选项符合题意；A,50+25=2,B,・」^，本选项不符合题意；342=14，，本选项不符合题意；C10=25D,二，本选项不符合题意；15+926故选A.【点评】本题主要考查整除的计算，理解整除的定义是解题关键.（秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（）

2.2022

①能被整除；324

②能被整除；

1.

50.5

③能整除；1313写出以内的所有素数,写出以内的所有合数.

12.2020【答案】2,3,5,7,11,13,17,19,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18【分析】一个自然数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做素数；一个自然数，除和它本身外，11还有其他因数，这样的数叫做合数.根据素数（质数）和合数的意义进行求解.【详解】解以内的素数有；202,3,5,7,11,13,17,19以内的合数有；204,6,8,9,10,12,14,15,16,18故答案为；2,3,5,7,11,13,17,194,6,8,9,10,12,14,15,16,

18.【点睛】本题主要考查的目的是理解素数（质数）和合数的意义，解决本题的关键是要熟练掌握素数和合数的意义.两个数的最小公倍数是最大公因数是则这两个数分别是.

13.72,12,【答案】和或和12722436【分析［首先要知道最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有质因数和独有质因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数得到两个数的独有质因数的乘积，从而求出结论.【详解】解:724-12=6而6=1X6=2X3则这两个数为和义或和1X12=12612=722X12=243X12=36故答案为和或和

12722436.【点睛】此题考查的是最大公因数和最小公倍数，解题关键是最小公倍数除以最大公因数得到两个数的独有质因数的乘积.的素因数有.

14.54【答案】2,3,3,3【分析】对进行分解素因数，常见的素数等.542,3,5,7,11,13【详解】54=2x3x3x3,故填2,3,3,

3.【点睛】本题考查素因数，熟记常见的素数是关键.〃是一个正整数，它的最小的因数是,最大的因数是,最小的倍数是.

15.【答案】1【分析】根据“一个数的约数的个数是有限的，最大的约数是它本身，最小的约数是；一个数的倍数的个数1是无限的，最小倍数是它本身”进行依次列举即可.【详解】解.由分析知一个数的最小因数是最大因数是最小倍数是；故答案为a1,a,a1,a,a.【点睛】解答此题的应根据因数和倍数的意义及特征进行解答.两个连续偶数的和是那么这两个数的最小公倍数是.

16.38,【答案】180【分析】先求出这两个偶数，然后再求最小公倍数即可.【详解】解:两个连续偶数的和是38,.*.38^2=19,所以这两个连续的偶数为18,

20.18=2X3X3,20=2X2X5,，这两个数的最小公倍数是2X3X3X2X5=

180.故答案为

180.【点睛】本题考查了学生求两个数的最小公倍数的方法.解题的关键是正确求出这两个连续偶数.在两个数和中，是的因数，是的倍数.

17.123【答案】3123【分析】根据因数和倍数的意义如果整数能被整数整除（）就叫做的倍数，就叫做的因a bbWO,a bba数即可得出结果.【详解】解因为・所以是的因数，是的倍数，123=4,312123故答案为；3,1212,3【点睛】本题主要考查的是因数和倍数的意义，应该明确因数和倍数的意义是解题的关键.是一个大于的偶数，那么与相邻的两个奇数分别是和.

18.d2a【答案】a—\+1【分析】根据偶数与相邻奇数之间的关系即可得到结果.【详解】因为偶数与相邻的奇数之间相差1,所以与相邻的两个奇数分别是和d d—1H+

1.故答案为a-1;a+L【点睛】本题考查了奇偶数，掌握相邻奇偶数之间的关系是解题的关键.

三、解答题（满分分）58写出下列各数所有的因数.

19.1112102【答案】的因数有和；的因数有、、、、、、和11111121021236173451102【分析】根据求一个数的因数的方法，进行列举即可；1由题意根据求一个数的因数的方法，进行列举即可.2【详解】解⑴的因数有和；11111的因数有、、、、、、和

21021236173451102.【点睛】本题考查的是求一个数因数的方法，注意掌握有顺序的写，做到不重复，不遗漏.用短除法分解素因数.

20.1122105【答案】短除法格式见解析；短除法格式见解析.112=2x2x3,2105=3x5x7,【分析】分解素因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解.【详解】解；短除法格式如下:112=2x2x3221dz3短除法格式如下3105=3x5x

7.3lj05位57【点睛】此题主要考查利用短除法进行分解素因数的方法.已知甲数=乙数=甲、乙两数的最大公因数是

21.2x2x5xA,2x3x7xA,

6.求甲、乙两数和小1求甲、乙两数的最小公倍数.2【答案】甲数为乙数为；最小公倍数为160,126,A=

321260.【分析】两个数的最大公因数等于两个数公有的质因数的乘积，据此解答即可；1根据两个数的最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积，结合⑴中求出的甲乙两数计算即可得2解.【详解】解因为甲、乙两数的最大公因数为124所以所以2A=6,A=3,所以甲数为乙数为；2x2x5x3=60,2x3x7x3=126所以最小公倍数为26x2x5x3x7=1260,

1260.【点睛】本题考查最大公因数与最小公倍数，解决此题需要明确两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数公有质因数与独有质因数的连乘积.用短除法求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数.

22.和

14263.和

2820.【答案】和；和1211262440【分析】根据最大公因数和最小公倍数的概念进行计算.【详解】和14263,3|42637142123所以和的最大公因数是42633X7=21,最小公倍数是；3X7X2X3=126和2820,21820241025所以和的最大公因数是义二820224,最小公倍数是2X2X2X5=

40.【点睛】本题主要考查了求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数.用、、这三个数按要求组成没有重复数字的三位数.

23.025使它既能被整除又能被整除；125使它能被整除，但不能被整除；225使它能被整除，但不能被整除.352【答案】既能被整除又能被整除的是和；能被整除，但不能被整除的是整;能被125250520225535整除，但不能被整除的是2205【分析既能被整除又能被整除的数末尾有即可得出结果；11250,⑵能被整除，但不能被整除的数末尾不能有和即可得出结果；2505,⑶使它能被整除，但不能被整除的数末尾不能是偶数，即可得出结果.52【详解】解用、、组成没有重复数字的三位数分别为、、、四个数.025250205520502⑴既能被整除又能被整除的是和；25250520⑵能被整除，但不能被整除的是；25502⑶能被整除，但不能被整除的是

52205.【点睛】本题主要考查的是能被和整除的数的特点，掌握能被和整除的数的特点是解题的关键.2525中秋节班里买来了个月饼和个苹果，平均分给班里的全体同学，刚好全部分完，问这个班最多有多

24.64160少人？【答案】人32【分析】根据题意，也就是求与的最大公因数，即是这个班小朋友的最多人数；先把和分别6416064160分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可.【详解】解因为苹果和月饼平均分给全体同学，所以人数是和的公因数.641602|64160_213280211640—「2820—21410—25和的最大公因数为所以这个班最多有人.641602x2x2x2x2=32,32【点睛】本题考查了最大公因数的计算，解答此题关键是利用求两个数最大公因数的方法，并用它解决生活中的实际问题.某学校学生做操，把学生分成人组，人一组，人一组，正好分完.并且知道这个学校学生的人数

25.1011418超过人，这个学校至少有多少个学生？1000【答案】1260【分析】求出的最小公倍数，再乘以就可求出这个学校有多少个学生.10,14,182【详解】解V10=2X5,14=2X7,18=2X9,所以、、的最小公倍数是1014182X5X7X9=

630.个.630X2=1260答这个学校至少有个学生.1260【点睛】本题主要是一道估算题，根据把同学们分成人一组，人一组，人一组，正好分完，101418可以判断学生人数是、、的倍数，根据题意，先求出三个数的最小公倍数，再根据学生的人数超过1014181000人进行估算.一间客厅长米，宽米，现要铺正方形的地砖，市场上地砖有

2226.

84.530x30cm2,40x40cm,50x50cm,四种规格.请问选择哪种规格的地砖能整块铺满，并计算出需要这样的地砖多少块？60x60cm2【答案】选规格，需要块50x50cm2144【分析】要想地砖能整块铺满，那么正方形地破的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，在四种尺寸中，边长是客厅的地面的长和宽的公因数，所以该选的正方形地砖；然后求出块数即可，据此解答.5050X50【详解】该选的正方形地砖；150X50地砖需要的块数块28m=800cm,

4.5m=450cm,800+50X450+50=16X9=144答该选的正方形地砖；需要块.50X50144【点睛】本题实际考查了灵活应用公因数问题解决实际问题，关键要从地砖整块铺满这个角度，找到符合要求的公因数.能整除；@05

⑤不能被整除；255不能整除©

0.

324.个个个个A.2B.3C.4D.5【分析】根据整除的定义逐一分析判断即司二【解答】解

①能被整除，说法正确；324

②不能被整除，说法错误；

1.

50.5

③能整除说法正确；1313,

④不能整除说法错误；5,

⑤能被整除，说法错误；255

⑥不能整除说法正确.

0.324,说法正确的有个.3故选B.【点评】本题考查了数的整除，若整数〃除以非零整数儿商为整数，且余数为零，我们就说能被人整Q除（或说〃能整除整除〃）整除，为被除数，匕为除数.（秋•徐汇区期末）既能被整除，又能被整除的最小正整数是

3.

20222510.【分析】根据能被整除的数的特征，可以得到最小正整数的个位不能是只能是因为是最小的正2,55,0,整数，所以十位上的数字是则可解答.1,【解答】解根据能被整除的数的特征可知，既能被整数，又能被整除的最小正整数是2,

52510.故答案为

10.【点评】本题主要考查整除的性质及应用，解答的关键是明确能被、整除的数的特征.25（秋•宝山区期中）在能够同时被和整除的所有两位数中，最大的是

4.

20222590.【分析】先确定能够同时被和整除的所有两位数，然后作出判断即可.25【解答】解能够同时被和整除的所有两位数是2510,20,30,40,50,60,70,80,

90.故最大的是

90.故答案为

90.【点评】本题考查了数的整除，若整数除以非零整数从商为整数，且余数为零，我们就说能被匕整Q除整除（或说能整除整除），为被除数，为除数.b6（秋•奉贤区校级期中）能同时被、整除的最大两位数是

5.

20222590.【分析】根据整除的含义，可得能同时被和整除的数的个位上是所以正整数中，能同时被和250,25整除的最大的两位数是

90.【解答】解因为能同时被和整除的数的个位上是250,所以正整数中，能同时被和整除的最大的两位数是

2590.故答案为

90.【点评】此题主要考查了整除的性质及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确能同时被和整除25的数的个位上是

0.（秋•宝山区校级月考）能整除的数有

6.2022161,2,4,8,

16.【分析】根据有理数除法的计算法则得出能被哪些数整除即可.16【解答】解716=1X16=2X8=4X4,能整除的数有J161,2,4,8,16,故答案为1,2,4,8,

16.【点评】本题考查整除的性质及应用，理解整除的意义是正确解答的关键.（秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

7.2022这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”.这道题目可以译为一个数除以余除以余除以余求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的32,53,72,“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题.表示的具体解法是先分别求出能被和整除而被除余573的数（）能被和整除而被除余的数（）能被和整除而被除余的数（）然后用被、170,375121,357115,

3、除所得的余数（即、、）分别去乘这三个数，再相加，也就是5723270X2+21X3+15X2=

233.最后从中减去、、的最小公倍数如果得出的差还是比大，就再减去一直到得数比233357105,105105,105小为止.这就是适合条件的最小的数.233-105X2=

23.同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以余除以余除以余求适合条件的最小自然数.53,64,71,【分析】先分别求出能被和整除而被除余的数（）能被和整除而被除余的数（）能6751126,5761175,被和整除而被除余的数（）然后用被、、除所得的余数（即、、）分别去乘这三个数，5671120,567341再相加，也就是最后从中减去、、的最小公倍数如果得出的差126X3+175X4+120X1=

1198.1198567210,还是比大，就再减去一直到得数比小为止.这就是适210210,2101198-210X5=

148.合条件的最小的数.【解答】解能被和整除而被除余的数（）6751126,能被和整除而被除余的数（）5761175,能被和整除而被除余的数（）5671120,126X3+175X4+120X1=378+700+120=

1198.1198-210X5=1198-1050=

148.答适合条件的最小自然数是

148.【点评】本题考查了数的整除，最小公倍数，关键是熟练掌握“中国剩余定理”.二.因数（共小题）7（秋•闵行区校级期中）的所有因数的和是

8.

20221631.【分析】先写出的所有因数，再求和.16【解答】解的因数有161,2,4,8,

16.所以1+2+4+8+16=31,故答案为

31.【点评】本题考查求一个数的因数，解题的关键是掌握因数的求法，如相乘法、短除法、配对法等.（秋•青浦区期中）的因数有

9.2022241,2,3,4,6,8,12,

24.【分析】两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数因数，根据定义直接写出即可.【解答】解的因数有241,2,3,4,6,8,12,

24.故答案为1,2,3,4,6,8,12,

24.【点评】本题考查了因数，解题的关键是掌握因数的定义.（秋•徐汇区校级期中）规定一种新运算对于不小于的正整数〃，（〃）表示不是〃的因数的最小正

10.20223整数，如的因数是和所以（）；再如（）的因数是、、和所以（）等等,请你在理解515,5=281248,8=3这种新运算的基础上，求（）（）

7.9+12=【分析】直接利用新定义得出（）（）进而得出答案.9=2,12=5,【解答】解对于不小于的正整数九，（〃）表示不是〃的因数的最小正整数，3・・・的因数有91,3,9,J9=2,的因数有♦121,2,3,4,6,12,・・•12=5,9+12=2+5=

7.故答案为

7.【点评】此题主要考查了一个数的因数的个数，正确理解题意是解题关键.秋•嘉定区期中的因数有、、、、、

11.

2022181236918.【分析】先写出的因数因此的因数有解答即可.1818=1X18,2X9,3X6181,2,3,6,9,18【解答】解:根据因数的定义，可得的因数有、、、、、

181236918.故答案为、、、、、

1236918.【点评】本题考查了因数，掌握找一个数因数的方法是解题的关键.秋•青浦区期中我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数我们把小于的正的因数叫做

12.2022m的真因数.如的正因数有、、、其中、、是的真因数.把一个自然数的所有真因数的和1012510,12510除以所得的商叫做的“完美指标”.所以，的“完美指标”是三.16-16―【分析】先确定的真因数，然后根据新定义求解即可.16【解答】解・的因数为161,2,4,8,16,的真因数为•••161,2,4,8,，的“完美指标”是161+2+4+84-16=—.16故答案为生.16【点评】本题考查了因数，解题的关键掌握因数的定义确定的因数.秋•杨浦区期中的因数有、、、

13.

202281248.【分析】先写出的因数义因此的因数有解答即可.88=1X8,2481,2,4,8【解答】解的因数有、、、

81248.故答案为、、、

1248.【点评】本题考查了因数，掌握找一个数因数的方法是解题的关键.秋•长宁区校级期中规定用表示数于的因数的个数，例如计算・

14.2021[A]

[4]=3,

[84]-

[51]+

[91]=2【分析】先求出的因数，分别确定、、的值，再计算即可.84,51,91

[84]

[51]

[91]【解答】解的因数的个数为84=1X84=2X42=3X28=4X21=6X14=7X12,8412,；/.

[84]=12的因数的个数为51=1X51=3X17,514,；A

[51]=4的因数的个数为91=1X91=13X7,914,；A

[91]=4・・（）•

[84]-

[51]4-

[91]（）=12-4-4=8+4=2,故答案为

2.【点评】此题考查了有理数的混合运算、新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键.三.最大公因数（共小题）4（秋•徐汇区期末）如果则和的最大公因数是

15.2022A=2X3X5,B=2X2X3,A

36.【分析】根据最大公约数的意义可知最大公约数是两个数的公有质因数的乘积，据此解答.【解答】解:/1=2X3X5,B=2X2X3,和公有的质因数是和A B23,所以和两个数的最大公因数是；A82X3=6故答案为

6.【点评】此题考查了求两个数的最大公因数的方法两个数公有质因数的乘积是它们的最大公约数，所以找准公有的质因数是关键.（秋•松江区期末）和的最大公因数是

16.

202218426.【分析】和的最大公因数是公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数.1842【解答】解的因数有、、、、；的因数有、、、、、、1812361842123672142,根据最大公因数的定义，可得和的最大公因数是

18426.故答案为

6.【点评】此题考查最大公因数，关键是根据最大公因数是公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数解答.（秋•杨浦区期末）求与的最大公因数为

17.

202218306.【分析】找两个数的最大公因数可用短除法或者分解质因数的办法.【解答】解18=3X6,30=5X6,根据最大公因数的定义，可得与的最大公因数是

18306.故答案为

6.【点评】本题考查了公因数和最大公因数，掌握最大公因数的定义是解答本题的关键.（秋•浦东新区校级期中）已知那么和的最大公因数是

18.2022A=2X3X5,B=2X3X3X7,A

86.【分析】两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，依此即可求解.【解答】解已知那么和的最大公因数是A=2X3X5,B=2X3X3X7,A32X3=

6.故答案为

6.【点评】本题考查了求两个数的最大公因数的方法的方法两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除法解答.四.最大公因数的应用（共小题）3（秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长米，米，米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没

19.2022365463有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？【分析】先求出的最大公因数，再求可以分成多少段.36,54,63【解答】736=2X3X2X3,54=2X3X3X3,63=3X3X7,的最大公因数是A36,54,639,4+6+7=17,答每根短绳最长可以是米，这样的短绳有根.917【点评】本题考查的是最大公因数的应用，理解题意是解题的关键.（秋•松江区期中）一张长厘米，宽厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没

20.20223620有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求和的最大公因数，求至少可以裁成多少个3620这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积.由此解答即可.【解答】解736=2X2X3X3,20=2X2X5,，、的最大公因数为36202X2=4,张,A36X204-4X4=7204-16=45答裁出的正方形纸片最少有张.45【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题是解题的关键.（秋•松江区校级月考）小明把一张长为厘米，宽为厘米的长方形纸片裁成大小相等的正方形纸

21.20227242片，而且没有剩余，请你帮助小明算一下，裁出的正方形纸片最少有多少张？【分析】根据题意，裁成的正方形边长最大是多少，是求和的最大公因数，求至少可以裁成多少个7242这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积.由此解答即可.【解答】解772=2X2X2X3X3,42=2X3X7,、的最大公因数为.\72422X3=6,（）（张），72X424-6X6=3024+36=84答裁出的正方形纸片最少有张.84【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数，能够根据求最大公因数的方法解决有关的实际问题是解题的关键.五.倍数（共小题）2（秋•青浦区期中）下列数中，既是的倍数，又是的因数的数是（）

22.2022360A.9B.15C.20D.45【分析】根据倍数和因数的定义解答即可.【解答】解小是的倍数，但不是的因数，故本选项不符合题意；

9360、是的倍数，也是的因数，故本选项符合题意；

815360、不是的倍数，是的因数，故本选项不符合题意；C20360是的倍数，但不是的因数，故本选项不符合题意.45360故选B.【点评】本题考查了因数和倍数，解题的关键是掌握因数和倍数的定义.一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数倍数.（秋•宝山区期中）在正整数、、中，是的倍数.

23.20221843183【分析】一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数倍数，根据倍数的概念判断即可.【解答】解在正整数、、中，是的倍，18431836。