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上海市高一开学分班考真题题专练集合与逻辑7003【考点剖析】
一、单选题•上海•高一开学考试设集合集合则等于
1.2020A={3,5,6,8},3={4,5,7,8},AcBA.{5,8}B.{3,,6}C.{4,7}D.{3,5,6,8}【答案】A【详解】集合集合又集合与集合中的公共元素为A={3,5,6,8},3={4,5,7,8},A B5,8,・・故选.AcB={5,8},A.秋•上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试设、、均为非空集合，且满足则下列各式中错误的
2.2020A8是A.QA B=U B.QA CUB=CUBC.AcC*=0D.QA C B=Uu【答案】D【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论.【详解】如下图所示，则GBlgA,〃选项正确，C A B=U,A仆一选项正确，CuB=CuB,3选项正确，AcCuB=0,手所以选项错误.GA CuB=CuA U,故选:D.【点睛】本题考查集合交、并、补计算，利用韦恩图是解题的关键，属于基础题.【分析】根据集合元素的性质可求实数的值.【详解】因为《故〃=或Q A,/—Q,若〃则储一〃〃与元素的互异性矛盾，舍；=0,==0,若〃，则或（舍），而，时，符合元素的互异性，Q=4=2Q=0=2故实数的值为2,故答案为
2.（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）若则整数户
22.2022{x+y,2y}={7,8},故答案为a—2（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）满足条件三{集合用的个数
25.2022{1,2,3}=123,4,5,6}是.【答案】8【分析】根据给定条件，分析集合中元素情况，进而确定集合的个数作答.M M【详解】集合“满足由知，又由“三{知，{1,2,3}qMa{1,2,3,4,5,6},{123}1M1,2,3,4,5,6}集合可以为共M{123},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,5,6},{1,2,3,4,5,6},8个，所以集合以的个数是
8.故答案为8【答案】{x|Y x-
226.2020・上海•高一开学考试设集合S={x|x—2},T={x\-4xl}则他ST=.9【分析】根据集合的补集运算，得到再由交集运算，得到答案.\s,【详解】因为集合=卜门—所以年{犬52}5=k_2},所以ScT={x|T x-2因为集合丁=卜|-入4441},故答案为{x|-44x4-2}【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题.
27.（2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）设集合A=[l,3],3=[m+l,2m+4],若4=3,则实数的取值范围是m【答案】【分析】根据子集的定义得出不等关系后求解.m+l11解得一广相2m+423’
0.故答案为.—1【点睛】查考集合包含关系，掌握子集的定义是解题关键.
28.（2022秋・上海•高一开学考试）若x«2,5］和或x4}都是假命题，则」的范围是【答案】［）1,2【分析】先由九武］和或都是假命题，求出的范围，取交集即可.2,5x4}x【详解】若］为假命题，则有或x«2,5x«x|xv2x5}若［或是假命题，则XE{X X1x4}所以的范围是x1X2即的范围是［）x1,2胡答案为［）1,2（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）若集合
29.2022A={x|f—5%+6=0},则使得成立的所有用的值组成的集合是.B={y\my^2=0}Au3=A9【答案】{『，告【分析】依题意可得首先求出集合再分类讨论分别计算可得；A,【详解】解因为=所以；A={x|x2—5x+6=0}={2,3},B={y\my+2=0},3=A
①当机时，符合题意；=08=0
②当即加解得加即；2+2=0=-1,3={2}
③当即解得加=—,即；36+2=03={3}综上可得e|故答案为卜，一，一,}1（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知集合人={如小，若
30.20221,2,3},2={1,加〃则非零实数加+〃的可能取值集合是3-£A+1£A,【答案】{2}\m=2m=0【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到八或c,即可得到答案.〃=0n=2【详解】因为〃所以〃或-加或3-ZEA,3-2=13=23-m=3,解得或或根m=2m=1=0,因为几所以〃或〃或〃++1GA,+1=1+1=21=3,解得〃或〃或〃=0=1=2,m=2[m=0又因为=也〃},所以八或即加+〃={1,
2.n=0\n=2故答案为:{2}秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试若集合〃中有且只
31.2022A={x|V—Q+2X+2-0,xwZ}有一个元素，则正实数的取值范围是12【答案】，勺【分析】把不等式转化为％+转化为结合二次函数与一次函/-2%+21,A={x[/xgx,x£Z},数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式_+—且12d2%+20Q0,x-2x+2ax-bl,令4%=%2—2x+2,gx=ax+l,所以A={x[/xgx,x£Z},所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线,y=/x而一次函数，图象是过一定点的动直线，y=gx-L作出函数和〃的图象，如图所示,“X=f—2x+2gx=x+D又因为结合图象，XEZM0,⑴〉g12a112可得〔解得g2w23a2要使得集合-中有且只有一个元素,A={x|x-a+2x+20,XGZ}故答案为:12―5—].^J
32.（2023春・上海青浦・高一统考开学考试）已知集合4={中＞3},集合3={小＞力，若命题〃是命题〃的充分不必要条件，则实数的取值范围是.“xeB【答案】3【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.【详解】因为命题〃〃是命题〃的充分不必要条件，xe4xe8所以集合真包含于集合A3,又集合小＞集合{中＞〃},A={3},8=所以a v
3.故答案为av3（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知
33.2022＜试用列举法表示集合A=^0,^GZLB={X|x=a+b,aeA,beA},3=;【答案】{2,3,4}【分析】解出不等式一三＜得到集合然后可得答案.0A,x-3【详解】因为言＜＜＜A={xl0,xwz}={x[0x3,xeZ}={l,2},所以〃3={x|jv=a+0,£A/£A}={2,3,4},故答案为:{2,3,4}
34.（2022秋・上海杨浦・高一复旦附中校考开学考试）若-2£{3,5,羽龙2+3w，则实数X=.【答案】-1【分析】讨论或解出了的值，由集合的互异性即可得出答案.x=—2X2+3%=—2,【详解】当％时，与互异性矛盾.=-2d+3x=-2,当时，解得工=-或（舍去）.f+3x=—211=-2当时符合题意，x=-l故答案为T.
35.（2023春・上海青浦,高一统考开学考试）已知集合4={2,3},集合5={3,4},则A B=.【答案】{3}【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合集合则A={2,3},B={3,4},Ac8={3}.故答案为⑶（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）将集合0/在如图中用阴影部分表示出来.
36.2022AI CI【分析】根据集合的交集与补集的运算，即可求得纵AI CIB【详解】由交集补集的运算可知，阴影部分如下图所示故答案为:（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知陈述句素数都是奇数，则的否定形式为.
37.2022【答案】见解析【分析】由题意，素数都是奇数是全称量词命题，其否定是存在量词命题，由此可写出答案.【详解】陈述句素数都是奇数，是全称量词命题，则〃的否定形式为存在一个素数不是奇数.故答案为存在一个素数不是奇数.
38.（2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）已知函数/（%）=（）-同＜若是的充分条件，则实数的取值范围为+
9.p:x£[-3,l],q:/X3,p qm【答案】（）0,3【分析】求出工£[-时，（）的范围，再求出为真时，的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得力3,1]/x4的范围.【详解】〃为真时，（）xe[-3,l],9—/£[o,9],/x e[0,3],为真时，|/（%）_机＜＜（）＜＜q3,m-3/A m+3,m-30〃是的充分条件，则./解得＜相＜q
3.〉42+33故答案为（）0,3,【点睛】本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系.
39.（2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）设全集U=｛（x,y）|x,y£R｝,集合那么（枷）（〃）c N=【答案】｛（）｝2,3【分析】分析出集合，的各自意义，进而可知疫的各自意义，从而可求出（枷）（〃）N M,N.【详解】解由匕可得即“表示直线丁=除去（）的点集,1=1y=x+l,xw2,%+12,3X L表示平面内不在直线＞=工+上的点集，则表示平面内在直线上的点集,N1A/N y=x+l必〃表示不在直线产工+上的点和点（）的集合，所以（疫）（）（）12,3M0N={2,3}.故答案为（）{2,3}.【点睛】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力.
40.（2020秋・上海宝山・高一上海交大附中校考开学考试）设4，出，3,4是4个互不相同的实数，且＜＜＜则集合，？，[x\x=a^a\z y4}={11,21,30,39,49},{q,%%}=.p【答案】{1,10,20,29}【分析】不妨设卬＜%＜生＜，集合＜，＜＜中至多有个数，确定勺中的最小和最大的%{x|%=4+%//4}64+数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解.【详解】不妨设卬＜＜＜，则在集合中，出最小,%+最大，即〃234{x|x=6+Q//4+4q+%=ll,3+4=49,第二小的数是〃，第二大的数是，即从而有a，4+32+44+4=21,2+4=39,4+%=%+3=3°由，可解得+tz=49,4+%=21,4+%=39,4+%=%+q=3q=l,%=10,46Z=20,%=29,3故答案为{1,10,20,29}【点睛】本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把《十%排列，再根据集合的定义得出结论后可求解.考查了逻辑推理能力，运算求解能力.
41.（2021秋・上海宝山,高一上海交大附中校考开学考试）设P为非空实数集满足对任意给定的犬、WP（%、可以相同），都有则称为幸运集.y x+ycP,x-yeP xy^P,P9
①集合）为幸运集；
②集合〃）为幸运集；P={-2,-1,0,1,2P={x\x=2,ne Z
③若集合々、尸为幸运集，则片鸟为幸运集；
④若集合尸为幸运集，则一定有；2U OwP其中正确结论的序号是【答案】
②④【解析】
①取判断；
②设％=《自判断；
③举例x=V=22j=2判断；
④由％、丁可以相同判断；6={x|x=2N%£Z},£={x|x=3N%£Z}【详解】
①当所以集合不是幸运集，故错误；x=y=2,x+y=4P,P
②设）勺则（占）（勺一％）勺•£所以集合是幸运集，=2iP,y=2£P,x+y=2+£A,x-y=22£A,xy=2A,P故正确；
③如集合尤工=左,左£工|工=左£为幸运集，但《不为幸运集，如尤=时，4={122},6={3%,2}11£2,y=3故错误；%+y=5@[ug,
④因为集合为幸运集，则当时，一定有£，故正确；P x-yeP,x=y x-y=O,故答案为
②④【点睛】关键点点睛读懂新定义的含义，结合“给定的、”尸（、可以相同），者有X Xy Rx+y£P,x-y^P,个£〃，灵活运用举例法.
42.（2022秋・上海徐汇,高一上海市南洋模范中学校考开学考试）已知集合4={虫3},B={x\x2],则40备3=.【答案】[2,3]【分析】根据集合的交集补集运算即可求解.【详解】因为3={x|x2},所以忖6*={X22}因此{小{小A-6*=3}c22}=[2,3].故答案为司[2,【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.
43.（2022秋・上海•高一开学考试）已知集合〃=卜,2+工_6=0},N={x\nvc-l=0]若NqM,则实数9加的取值构成的集合为【答案】°14【分析】先化简集合然后再根据求出〃的值，即可求解.M,NUM,2【详解】・.•集合M=门2+X_6=0,・••集合用={23},,:N jM,N={x|ir-l=0},或代={或三种情况,.N=02},4={-3}9当时，可得；N=0m=0当入={2}时,V N={X\IWC-}=0}••.x=—=29m当％={—，3}xm/.实数的取值构成的集合为m0,1,故答案为:0--，2I ND秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试设集合=集合
44.2022{1,2,3,L,2024,2025},A是的子集，且满足当时，则中元素最多有个.A1XEA15xeA,A【答案】1899【分析】分析可知，与只能有一个是集合的元素，又根据2可得当中X15X A202515=1,20251A元素最多时，一共有个元素.2025-135+9=1899【详解】根据题意，时,与只能有一个是集合的元素，15xeA,x15%A由于故当中元素最多时，202515=1,A集合的元素可以是共有个，A136,137,138,,20252025-135=1890又因为故当中元素最多时，13515=9,A集合的元素可以是共有个，A1,2,,3,,9,9以上两种情况加起来是1890+9=
1899.故答案为
1899.
45.2022秋・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试已知A={〃/,6/2,Q3,〃},B=；，且〃/其中若©},幻+且的所有元素之和为求{a,al42434,aiElZ z=l,2,3,4,AC5={42,3=0,56,613+24=.【答案】8【分析】先通过判断得〉，分类讨论%与生=的情况，得到卬=-，%=，A B=B,41再求的元素，进而得到%+解得故得答案.%=1,AU3=56,g=7,【详解】由得=-，所以如=4+%=043（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）下列命题中正确的是（）
3.2022空集没有子集A.空集是任何一个集合的真子集B.任何一个集合必有两个或两个以上的子集C.设集合那么，若则不任D.8g A,xeA,3【答案】D【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】选项，空集是其本身的子集，错；A A选项，空集是任一非空集合的真子集，错；B B选项，空集只有一个子集，即是空集本身；错；C C选项，若则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故正确.D3A A3D故选D.
4.（2022秋・上海杨浦・高一复旦附中校考开学考试）已知集合人=卜£用-1%5},3={0,1,2,3,4,5},则A、B间的关系为（）A.A=B B.A C.AeB D.B【答案】D【分析】求出集合即可得出结论.A,【详解】因为故A={xcN|—lvxv5}={0,123,4},故选D.
5.（2022秋・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试）下列关系中错误的是（）{（〃⑼仁{〃，A.0{0}B.{1,2}Z C.D.{0,1}o{1,0}【答案】C【分析】对于根据空集的性质判断，对于直接判断，对于由集合的特征判断，对于由子集的性质判A,B,C,D,断.【详解】对于因为空集是任何非空集合的真子集，所以所以正确，A,0{0},A对于因为表示的是整数集，所以所以正确，B,Z{1,2}Z,B对于因为{（）表示此集合中只有一个元素（力），而集合{力}表示集合中有个数〃力，所以两集C,4}2又因为（）即｛%%｝=｛〃；W，硝，所以生之,4B^B9（）若°，12因为〃所以外此时生工外，〃；=〃；，氏〃，2£Z,21,3故片右｛%，/｝,从而｛%〃｝｛「W｝，3=二）Q Q2,则%=W=，=[；,即=或，与〃矛盾；23132a3-a2所以（）若，22=则%〃，〃；%，即〃〃〉〃，所以々｝，3%=323，，显出，即％=,/A.nu{%/}={01}=0=/=q=4301,而？=与例矛盾，故，，23=14=-%=-1又，，故+；A B={q,,Q3Q,%}q+d+%+4=56,将々，代入，得到解得或（舍去）,所以4=-1,2=3=14+4=56,4=7%=-83+4=
8.故答案为
8.（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）用）表示非空集合中元素的个数，定义
46.2022CG4A喟二黑黑；黑）若｝小卜）（））且设实数的所有可能取值构成集合则A”A2,2+or f+or+2=0,A*B=1,S,（）s=.【答案】3【分析】由新定义得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程（A*3=l512+办）（尤以+）根的个数，即等价于研究两个方程/+以、/+盯+=根的个数.2+2==o2【详解】2等价于/+以=
①或3+orx+ax+2=0f+^+2=
02.由二｛｝且得集合可以是单元素集合，也可以是三元素集合.A1,2,A*8=l,5若集合是单元素集合，则方程
①有两相等实根，
②无实数根，可得=；B0若集合是三元素集合，则方程
①有两不相等实根，
②有两个相等且异于
①的实数根，即B[Q w0_八，解得4A2°a-±2\[2-综上所述，〃=或〃，所以（）=±2S=
3.【点睛】本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，对逻辑思A*38维能力要求较高.（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知九+可，若，
47.2022A={x|£+p1=0/£ACR+=则实数〃的取值范围是.【答案】（）-2,+00【详解】分析先根据条件得方程没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，f+px+l=0解得实数〃的取值范围详解=，13AcH+团方程没有正实数解，故集合有两种情况V+px+1=0A
①若，则一，则一〃；A=A=422
②若，则方程有两个非正数解，且不是其解，则有\P一解得Aw40,pN
2.综上所述，即实数〃的取值范围是（）P-2,-2,+s.点睛⑴认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.⑵注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足〃互异性〃而导致解题错误.⑶防范空集.在解决有关=等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知函数〃尤）冰（〉）集合
48.2022=f+2+80,（）（（））若则的取值范围为.A=[x\f x0}B=[x\f f x s\,A=Bw0,9【答案】[242A【解析】先根据利用求得的范围，再求出集合利用即可求解.AN0,AZO AB,A=B,【详解】解；A=3w0,即有解,/xW0J/xW8由知△〃一/x«0=22—4*8=4/3220,解得母或，a4-2aN2C又a0,，a2^2令〃%=%2+2ar+80,解得，片，-Q—―8X—Q+—8故，〃A=1x—a—J/—8x—a+da~-8/xW8,令〃=/x,BP/M8,又办/x=x+2+
8.易知⑼〃『+/=8J-2=-2Q2Q x_2a+8=8,a0,故-2a u0,!PB={x|-2^/x0,又A=B,故恒成立，/x-2a即〃％12a,又/=-~+%min=/-2a,-a+8=-48,+即，—cr+8N—2a即-cr—2840,解得-26Z4,又加，aN2/.a e2A/2,
4.故答案为[20,41【点睛】关键点点睛本题解题的关键是利用得出/力而了-.A=B
249.2022秋•上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试设={0,123,4,5,6,7,8,9},若BJCJU,则不同的有序集合组民的总数是.A【答案】105【分析】按中元素个数分类讨论，再定良中元素个数，最后由分类、分步计数原理可得结论.【详解】法一集合中有个元素时，不同的有序集合组有；,0皤个；C10A B,C C.
2.2当集合中有个元素时,不同的有序集合组有・个；9A,B,C G229•••当集合中有个元素时,不同的有序集合组有；・・个；0A B,c C2°2°团总数为£・210・2,0+品・
29.29+...+C2°・2°=C；・4%品-49+...+品=1+4,0=5,0法二如图，每个数字的位置都有个位置可供选择，所以共有宁种.5故答案为105秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试已知函数根，若对
50.2022/x=Y—©+3,gx=znr+5-2任意的/总存在可使/%=成立，则实数用的取值范围是«1,4],1,4],g【答案】--3]36,y【分析】根据对任意的百句总存在％使得/%=抵々，可得两个函数值域的包含关系,进而根据关1,4],«L4],于加的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为/X=__4X+3=X_22—1,所以函数的对称轴为/x x=2,对任意的看河记.记1,4],1,3]A=[—1,3].由题意知，当机时不成立，=0当相时，加在上是增函数，0gx=mx+5-2[1,4]所以记机,gx e[5-m,2m+5],8=[5-2m+5]-15-m所以解得m
6.2m+5由题意知，BE A当时，加在上是减函数,mvO gx=mir+5-2[1,4]所以记gx e[2m+5,5-m],C=[2zn+5,5—zn],由题意知，CoA2m+5-1所以，解得“一Q
73.5-m3综上所述，实数加的取值范围是f，-引[6,y.故答案为3]36,o【点睛】解决本题的关键是将问题转化为对任意的目总存在々使得可得两个函数值域的11,4],1,4],/a=gz,包含关系，进而分别求两个函数的值域.秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试用阈表示非空集合中元素的个数，定义
51.2022AI A—3,A2\B\.I/\/\MB=，若，={°」，=卜卜+以+卜则实数的所有可能\B-A B|A|+6X3=A*8=l,取值构成集合则.请用列举法表示S,5=【答案】卜点220}【分析】根据=可知要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程A={0,l},B卜办尤仆+的个数进行讨论，即可求得，的所有可能取值.2+2+3=【详解】由于国,+依，等价于双=
①或
②1++3=Y+o x2+ax+3=0又入={可知要么是单元素集合，要么是三元素集合,04},A*3=l,3当是单元素集合，则方程
①有两个相等的实根，方程
②无实根，此时=；180Q此时,解得a=±273△=/—12=0当是三元素集合，则方程
①有两个不相等的实根，方程
②有两个相等的实根,28实数〃的所有可能取值构成集合=卜}故答案为卜百526,22,26,0}【点睛】关键点点睛本题考查元素与集合的判断，解题的关键是对新定义的理解，考查学生的分析审题能力与分类讨论思想，属于中档题.
四、解答题
52.2020・上海•高一开学考试设集合A={X|%2+3%+2=0},B={x|x2+m+lx+m=0}；用列举法表示集合；1A若是的充分条件，求实数加的值.2xeB xeA【答案】一；或，篦14={-1,2}2m=1=2【分析】解方程求集合若是的充分条件，则,然后求解集合根据子集关系求参数.1A,2xeB xeA8=A【详解】1f+3x+2=0nx+lx+2=即或-1x=-2,；A={-1,-2}若是的充分条件，2xe A则BgA,2x+m+l%+m=0^x+l%-i-m=0解得工二-或无=一根，1当时，,满足2=1B=当时，,同样满足m=2B={-l-2}所以或2=172=
2.【点睛】本题考查集合和元素的基本关系，以及充分条件和子集的关系，属于基础题型.
53.（2020・上海•高一开学考试）已知A={x|f—3火+2〃0,40},3={尤|Y—x—620},若xeA是的必要不充分条件，求实数的取值范围.3【答案】0^/|【解析】先解出的范围，根据是的真子集求解范围即可B B A【详解】解出8=,A=^x\x a^x2cu a0}因为是的必要不充分条件，所以是的真子集.xeA xeB B Aa-23所以〃1243=0—203故答案为彳2【点睛】此题考查简易逻辑和集合，注意将条件通过充分必要条件翻译为集合的子集关系，属于简单题目（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知集合
54.20222A={x\kx-Sx+16=0,k eR,xe R}.（）若人只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合1k4（）若八至多有两个子集，试求实数的取值范围.2k【答案】（）（））1k=0,A={2};k=l,A={4}.2{0}J[1,-KX.【解析】（）当女时，易知符合题意，当左时，利用△=（）即可求出女的值；1=0wO（）由至多有两个子集，可知集合中元素个数最多个，再分攵和两种情况讨论，即可求出实数上2A A1=0的取值范围.【详解】⑴
①当攵时，方程化为解得=0-8x+16=0,X=2,此时集合人={满足题意；2},
②当攵时，J,方程版一有一个根，028-16=02:.A=―8—4^x16=0,解得k=l,止匕时方程为，解得d—8x+16=0X=4,，集合符合题意，A={4},综上所述，时集合；左二时集合；2=04={2}1A={4}至多有两个子集，，集合中元素个数最多个，2A A1
①当寸，一元二次方程依一最多有个实数根，ZW0H28%+16=01•,*/=-8—4k x16,,0,解得k..T,
②当左时，由可知，集合符合题意，=01A={2}综上所述，实数攵的取值范围为{0}[1,+
8.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，属于基础题.
55.2022秋・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试已知用为实数，卜+A={x f_m+1m=o},B=^x mx-l=
01.⑴当肘，求用的取值集合；⑵当时，求加的取值集合.Au3=A【答案】1{1}⑵{TO4}【分析】分析可知则〃根据可得出关于用的等式组，由此可解得实数〃的值;1AH0,20,2分析可知分机、〃两种情况讨论，在机=时，直接验证即可；在相时，根据集2=0200合的包含关系可得出关于实数加的等式，即可解得实数〃的值，综合可得结果.2【详解】解:因为〃卜且则加所以,1A={x]xTx-2=00,A=w0,,解得—=1,m m-\.由题意可知，m-1因此，实数机的取值集合为{1}.解则2QAUB=A,若…，则X\\=，解得加=-----±
1.mI帆当相时，合乎题意;=0B=综上所述，〃的取值集合为卜211}.
56.2020・上海•高一开学考试已知全集=区，集合A={x|、2—4x—5},B={x\2x4}.求；1AcCu5若集合〈〉满足求实数的取值范围.2C={x|a x4a,a0},CUA=A,CB=B,【答案】或；14x45}.2pla^j.【分析】求出以及加后可得1A8AcCuB.根据集合等式关系可得人故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数的取值范围.25q C1【详解】由题或1A={x|—lx5},GB={x|x2x4},ArC B={x\-lx2^4x5}.lJ ia-\由得贝解得2CUA=A CqA,ij45,40X.a2由得则解得C/5=B3=14Q2,a
0、团实数的取值范围为a{a【点睛】本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试已知〃，生必，“，或
57.2022S={A|4=44=〃对于〃，或表示和卜中相对应的元素不同的个数.1,i=l,2,-/}22,U,V£S U团令存在团个丫£工，使得力〃，/=写出的值;=0,0,0,0,0,2,m回令2若〃，求证；U,VES dU,W+dKW2dUW〃个0令，〃，若,求所有之和.0U=4%,3,…3V du,v【答案】（团）机=；（）见解析（）见解析10000【详解】试题分析本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实“中的元素就是一S”S个维的坐标，其中每个坐标都是或者也可以这样理解，就是一个位数字的数组，每个数字都只能是n01,n或第二个定义或，）.第一问，根据，且及（）的意义表示和中相应的元素不同的个1,VESS=2d U,V UV数，可知；；第二问，根据二或，分类讨论m=C q01,=1,2,q=0,2=0时，同+间=；当时，同+间何.一如当时，闻+间=问-用;当时，同+0=|q-bJ4=0,2=1=1=4=1,2=0=14=1,2=1例=习生.一旬；可证，同+同习生一修，再相加即可证明结论;第三问，结合第一问，得出使（〃,唳）=〃2=0d的以共有个，分别计算出力（小）和刃3,匕），再相加即C k=l k=l可.试题解析（回）《=10;（）证明令〃（，），（，也……）0=4,23……4U=4Z2”回《或或；=01,2=01当时，同+例旧—q=0,4=0=0=4|当％时，同+间.一片=o,2=1=i=k当％时,同+间.一=1,a=o=1=4a当々=时,同+同=q=l,1=22q故国+例小-4回（〃）（匕）=（%+%+〃+〃）（）d,w+d w3++4+a+4++b”二（同+|生|+|%|++|a）+屹|+怜）n2|+|4|++|2（、+出一々）（）24—b4+3-4|++_b”=d u,v（）解:易知〃中共有〃个元素，分别记为以（％=〃）0S212,2（也也……〃）u=4岫=的匕共有〃个，的共有〃一个.合间不存在包含关系，所以错误，2T4=1n2C对于和是两个相等的集合，所以所以正确，D,{0,1}{1,0}{0,1}7{1,0},D故选C（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知匕为实数,则〃心且心〃是
6.202223〃之〃的（）96充分非必要条件必要非充分条件A.B.充要条件非充分非必要条件C.D.【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.【详解】为实数,若且人则就之勖a,b23,26,取满足显然且不成立，1=1/=726,所以〃心且〃是〃而〃的充分非必要条件，正确，都不正确.22326A B,C,D故选A
7.（2020・上海•高一开学考试）已知命题P WX£R,X2—X+IO,则「p22A.HxeR,X-A:+10B.VXGR,A:-X+1022C.R,x-x+10D.VxeR,x-A:+10【答案】A【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题〃心£勺工一%+210,贝广〃Y_工+故选110,A.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8.（2020・上海•高一开学考试）已知集合人={回工-％0},若2£儿则的取值范围为（）（（））A.-co,-2]B.-00,2]C.[2,+oo D.[-2,4-oo【答案】C【分析】首先求出集合再根据元素与集合的关系求出参数的取值范围；A,【详解】解:因为集合
④},所以，，4={%1%-A={xE G又因为2£4,则・.2,即〃£[2,+oo）,故选C.回〃,也Hk=\二
①〃|生_|+〃〃|q—0|+2T|q-1|+212-14-1|++2/4—0|+2T|^-1|二〃.2T〃2回〃，匕=〃
2.2i.k=\法二根据知使的“共有个,0dQ,=c2”回23M=OC+1C+2C+.•+〃・£；k=\〃2£d3,匕=〃・c+5—1・C；「+5-2・c；＞2++0・C；A=1n2两式相加得2u,v=n-2Mk=1考点计数原理的应用.秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试已知命题关于的不等式〃的解集为
58.2022P1a-120A,且；命题，关于的方程+根=有两个不相等的正实数根.2^41V—2%0若命题〃为真命题，求实数小的范围；1若命题〃和命题中至少有一个是假命题，求实数加的范围.24【答案】＞加＜，或机1m-22/22【分析】根据不等式的解集且代入即可根据命题〃为真命题求得数加的范围.12e4先求得命题和命题都为真命题时的范围，根据补集思想即可求得命题和命题中至少有一个是假2P qm Pq命题时用的范围.【详解】命题关于的不等式〃吠-的解集为且1P x12042£A因为命题〃为真命题所以2m-120解得2命题/关于的方程有两个不相等的正实数根2x f—2x+m=0△＞=4-4m0当命题为真命题时%+々=机〉9J＞-x=202解得＜相＜011m-当命题和命题都为真命题,P920m1所以,m12所以若命题和命题中至少有一个是假命题P Q则〃,或加2c2/2所以实数用的范围为机或机2/【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征，复合命题真假的关系,属于中档题.B j3,x2+ax-\-a=户〃+1%—3,1}.求:
59.（2022秋・上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）已知Q,X£H,A={2,4,f—5x+9},（）使的，的值；12^3,3A Qx（）使的的值.
23、27【答案】（）—或—；（）〃或产1x=2,a=x=3,a=2x=-l,=-63,a=-234【分析】（）由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，/+分工+联立方程即可得出1+Q=2,%2_59=3,结果.x+or+=1⑵根据集合相等，集合中的元素相同，可得八（解方程即可得出结果,+x3=3【详解】（）因为吕，所以％以+〃12£2+=2又因为，所以解得或81A,£_5X+9=3,X=2X=32当时，解得=一§x=24+2Q+Q=2,当时，解得=—x=39+3Q+Q=2,4
一、27所:以，—二回=x=2,ci—x=3,ci~34所以，或x=-l,Q=-6Lx2+xO=3X,+aQ==-
21.2B=C,/J9【点睛】本题考查了集合的性质及元素与集合、集合与集合间的关系，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，I JC+Q+lx—3=属于中档题目.秋•上海•高一开学考试已知集合=卜,卜一=卜卜一
60.202242+1-0},52|1}.当，时、求1=2AuB;若求实数方的取值范围.2BgA,【答案】1[-1,32[3,+8【分析】可得出炉时求出集合然后进行并集的运算即可；1{x[lx3},U2A,根据即可得出集合众},进而可得出的取值范围.28a44=|-1I【详解[21A={x\x+l-f%-/0={x|x-Zx+10},B={x||^-2|1={x|lx3},当，时，=2A={X|X-2X+10}=[-1,2],・・.AU5=[-1,32,/Bc A,3={x[lx3}A-{x\-lxt},:.t3,・..实数[的取值范围[3,+8秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试定义若任意相〃可以相等，都6L2022m,有+恤则集合^,根,〃£称为集合的生成集；10,5=1%%=4]4[1+mn J⑴求集合的生成集；A={3,4}3若集合〃的生成集为的子集个数为个，求实数的值；2A={,2},A84⑶若集合的生成集为求证A=—LD,A A=B.3X7]【答案】⑴七万V3⑵或=]Q=±1⑶证明见解析【分析】根据新定义算出工的值即可求出；1B的子集个数为个，转化为中有个元素，然后列出等式即可求出的值；25432求出的范围即可证明出结论3B【详解】由题可知,13+33当加=〃时,解得=或（=舍去），所以=±或1=3±121x==—1+3x354+48证明当〃〃时,3Vm,/ie-l,l=A,22==4-----------x-=—1+4x417八m^n m+ln+l3+4_7当〃或〃时,3m=3,=4m=4,=3-------------------------+1=0,-l+3x41314-mn1+mn所以根+〃3=i—m—172—11=--0,1+mn1+mn2+24当加=〃时,21=2x==—根+〃口nn/11\1+2x25---------即—I1,3=—LIa+a2aI+mn\2121+Q-1+Q-2+4当机=〃或〃=々,〃时,.A,32,=2=2x=1+2又（）的子集个数为个，则中有个元素,A=-l,l,3432所以AgB,1+1+25所以A=B2（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知
62.20222〃A=|x|X+4A=01,B=42+2a+lx+2-I=o
1.⑴若是的子集，求实数的值；A5⑵若是的子集，求实数，的取值范围.BA【答案】⑴=1;A0【分析】（）由题得解卜（〃）即得解；1B=A={-4,0},4+0=-2+1—4x0=/_]（）由题得再对集合分三种情况讨论得解.2Bq A,8【详解】（）解由题得1A={T,0}.若是的子集，则A85=A={T0},A0所以（〃）・・〃14+0=-2+1,.=
1.2-4X0=^-1V.（）解若是的子集，则23A8=4
①若为空集，则（〃）（〃）解得；3A=4+l2—4—1=8Q+8V0,Q—1
②若为单元素集合,则伍+）（）〃解得=—3A=412—4/-1=8+8=0,
1.将〃=一代入方程（）〃1d+2Q+l X+2—l=0,得了即％=符合要求；2=0,0]={0},
③若为双元素集合，则3B=A={~4,0},=
1.综上所述，或〃a,-1=
1.（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）已知实数百,马，，不，满足
63.2022014⑴求证中至少有一个实数不小于；⑵设再，龙，工，尤，工这五个实数两两不等，集X,X,X,X,X1234512345合{石/，，，若且记（）是中所有元素之和，对所有的笈，求（）的平均值.4=2%3/4/}G38G3【答案】⑴证明见解析;80z・2—31【分析】利用反证法求解即可；1由于若玉〈在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现，分析即得解.2l i5£N8【详解】假设不々，了，，天全都小于，则%毛与题目矛盾，13X41+%+%3+%+5故国,工，不，%毛中至少有一个实数不小于
21.因为且2集合｛尤尤，工｝的所有非空子集数为个，4=42,04525-1=31由于时，中的元素和为因此计算所有的的和时，不妨把也计上，6=030,3,G33=0因为若七〈注在其中一个子集中出现，就必然存在另一个子集中不出现，15,MN3所以在个子集中一定有个包含%注另外个不包含32161W5,i£N,16x lz5,zeN,z故的平均值=、％+%+%也GB163+%4+=80秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试已知集｛根｝合，
64.2022A=x|2m+lx3+4｛邓｝若求实数〃的取值范围；6x7AuB,2【答案】7,—3X0,1]【分析】根据题意，对集合是否为空集进行讨论，列不等式组即可解得答案.A【详解】若集合则加+解得根—止匕时满足4=0,213/%+4,3,AuB,2m+l3m+4若集合由区可得〃解得工机Aw0,Au1W2z+1041,3m+47所以实数加的取值范围是，』].--30[
065.2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试给定的正整数〃“22,若集合满足・，则称为集合〃的〃元“好集〃.A=…,4+2++%=q%%A写出一个实数集的元〃好集〃；1R2证明不存在自然数集的元〃好集〃；2N2是否在自然数集的元〃好集〃？若存在，请求出所有自然数集的元〃好集〃；若不存在，请说明3N3N3理由.【答案】（）答案不唯一，具体见解析；（）证明见解析；（）存在，且自然数集的元〃好集〃只有123N3一个，且为｛｝
123.【分析】（）根据元〃好集〃的定义可写出实数集/上的一个元〃好集〃；122（）设八=｛勺/｝是自然数集上的一个元〃好集〃，设分与”两种情况讨论,在2N24=6£N时验证+=陷是否成立，在时可得出推出矛盾可得出结论成立；4=04224£N*4-1=,（）设｛外,%｝是自然数集上的一个元〃好集〃，设〃，分=与两种情况讨34=4,N34234qeN*论，在时验证的是否成立，在时推导出的可求得、%的值，代入1=04+%+4=4%4wN*23,6等式可求得%的值，进而可得出结论.4+%+/=4%%【详解】（）；=则｛；｝为实数集的一个元好集；1—l+-lxg,4=-1,R2（）设｛勺%｝是自然数集上的一个元〃好集〃，不妨设出.24=N24
①若则出则显然不成立；4=0,wN*,4+g=4%
②若由可得（）q GN*,4+2=4%4=a1021a l=%4-1,.a1-l=-9）Cl-a...axq、出£N”且4%,「・°—1,N,所以4-1二一不成立.见-a.综上所述，不存在自然数集的元〃好集〃；N2（）设｛，｝是自然数集上的元〃好集〃，不妨设34=4%,%N3
①若％则+%+=显然不成立；=0,43123
②若则++可得qwN*,4%%=42333,4%3,满足的正整数只能是代入a a可解得%=0a234=1,4=2,=\+%+
33.1因此，自然数集上的所有元〃好集〃为｛｝N
3123.【点睛】本题考查集合的新定义〃好集〃的应用，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
66.（2022秋・上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）若集合A具有以下性质，则称集合A是〃好集〃
①；
②若
九、则且时，Oe Ale A ywA,x-ywA,xwO-e A.x⑴分别判断集合｛｝有理数集是否是〃好集〃，并说明理由;3=-1,4,Q⑵设集合是〃好集〃，求证若尤、则；A y”,x+y⑶对任意的一个〃好集〃判断下面命题的真假，并说明理由；命题若％、则必有冲$A,yeA,A.【答案】⑴集合不是〃好集〃，有理数集是〃好集〃，理由见解析3⑵证明过程见解析⑶真，理由见解析【分析】（）由定义判断.1（）由可得—从而可得出2OEA,yl A,ywA,（）、中有时，易得结论，、中没有时，可得进而（）再由（）3x y0,1x y0,1x—1,—X X—1EA,2x-1X011的结论可得出得进而得（）从而得盯与进而耳^人，即得出dwA,/eA,x+y-£A,2EA,EA,冲£A.【详解】（）由一便可得出—从而得出集合不是〃好集〃.11£s1£51—1=—3有理数集是“好集〃，理由是对任意工£,丁£，者有尢一丁£，且时，B XW0-eQ.x故有理数集是，，好集〃.（）因为集合是〃好集〃，所以若、则―即所以％-（一丁）£人即2A OEA,X ywA,—yeA,x+y£A.故得证.（）若工、＞中有时，显然有冲30,1GA,111114z下设、中不存在由定义得％—所以「一二二-^^24,则%（%—）由（）x y0,1,1,---eA,716A,2X—1XXT xXyX-IJ得（）元,同理x x-l+=%2A Ve A.e若或时，显然（；X+y=0X+y=1X+»£A若或时，显然（可,得（『一/所以由（）得x+y wOx+y wl x+yp6A,2u=x+y-d6A,EA,2所以砂xy2xy2xy综上取wA.故若不、则必有个y^A,wA.
67.（2022秋・上海杨浦•高一复旦附中校考开学考试）已知集合5={加+小囱苏_3/=,〃wZ}.证明若则1QES,ES,—a2+J3证明若〃夕，则，并由此证明中的元素〃若满足〃，则212p+K^+L,S12+6p q匕=；2+6设试求满足百的所有的可能值.3cwS,2+Gc2+c【分析】⑴若则…石且疗-口=，得到:式方均满足集合的性质,31‘A【答案】证明见解析证明见解析123c=7+473进而得到结论.构造函数分析其单调性，进而得到中元素若满足则〃+百.2x=x+3x21,A12+6,=2X设结合中的结论，可得值.3ci A,12C【详解】证明若酒贝〃〃且层〃团14,lj=/n+G m2-3=1,m,Z,则工=------=3金=m-n6=m+一〃且〃於-3-〃2=1,m,-〃团Z,〃一ci m+n13m—3故」助，百，a m+nV3=2m-3n+2n-m则一⑹/TP此时22222m-3n-32/t-m=m-3n=l,故会,令于3则在上的单调递增，2=x+-xl,/x l,y x证明设口大V%，1则一/%=-----玉+——=X一%---/%2%2+21X%2团1xx,1211回々一玉1---------0,0,中2故/%—即，〃幻在上的单调递增/ao,%2ra,aempq f1=29,11；02p+-q+-p q令/=加+〃且加〃〃回62-32=1,,Z,01/2+V3,m班02/7+y-2+H1=,b2+V3022m4,则帆则/=；=2,H=1,2+6且〈3M4,2+G CK2+62,回袅财‘且康+石,由⑵得鼻二心1220c=2+62=7+46【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合、函数、不等式的综合应用,是中档题.
68.2022秋・上海•高一开学考试已知集合A为非空数集，定义S={x[x=Q+a/£A},T={x|x=a-b,a,b eAj.若集合直接写出集合、；14={L3},S T若集合入~不知玉,毛}，且求证玉+%=々+工；2T=A,3若集合屋记同为集合中元素的个数，求|川的最大值.3A{X|0WXW2021/£N},SCT=0,A【答案】；详见解析；1S={2,4,6},T={02}
231348.9【分析】根据题目定义，直接计算集合及；1S7根据两集合相等即可找到玉，巧，与，的关系；2Z通过假设集合，，〃，求出相应的及，通过建立不等关3A{m m+\,m+2,…2021,%,2021,meN S7ScT=0系求出相应的值.【详解】解根据题意，由集合计算集合；1A=U,3},5={2,4,6},7={0,2}由于集合玉，七,，w工，且2A={X,%4}X]3“4T—A,y所以中也只包含四个元素，即{，退-%，又-司},剩下的七一工二一七二工一%，所以玉+T7=x-x,21422l工尤；4=2+%3设从={%,%，•••%}满足题意，其中％…%，32【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题.
9.（2022秋・上海•高一开学考试）若X是一个集合，7是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足
（1）X属于属于一（）中任意两个元素的并集属于；（）「中任意两个元素的交集属于丁，7,2c r3则称「是集合上的一个拓扑，已知〃对于下面给出的四个集合一
①X X={a,,c},；
②）{々也；
③了={◎{〃},》},{〃,；
④「={凡，色},{，也7={0,c}}r={0,{},{c},{Z,c},c}}{a,c}}0,{66{4由.其中是集合*上的拓扑的集合「的序号是（）
②④②③①②④①③④A.B.C.D.【答案】A【分析】根据集合上的拓扑的集合丁的定义，逐个验证即可X【详解】对于
①，一{◎{〃},{},{仇书，而，任小所以
①不是集合上的拓扑的集合6{q34={a c}X对于
②，汇={印,卜},依凡{々也用,满足（）属于，属于丁；（）「中任意两个元素的并集属0,{1X72于「；（）「中任意两个元素的交集属于「，所以
②是集合上的拓扑的集合「；3X对于
③，〃〃〃}},而〃右乙所以
③不是集合上的拓扑的集合「；7={0,{},{,},{a,{a,Z}u{a,c}={a,,c}X对于
④，},%},{*{耳},满足（）属于属于一（）「中任意两个元素的并集7={0,{%1,1X〜02属于J（）中任意两个元素的交集属于所以
④是集合上的拓扑的集合377,X7;故选A【点睛】此题考查学生的理解能力，考查集合的有关新定义，是开放型的问题，属于基础题（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知集合
10.2022A=xl--0,^eZ,%-3J2则集合的子集个数为（）B={y\y=x+\,xeA},B个个个个A.5B.8C.3D.2【答案】B【分析】先化简集合再列举其子集求解.A,B,f—I]【详解】因为|幻口4=0,x£Z|={-所以8={yly=f+Lx£A}={125},贝ij2al vq+aa+q...a+a a1+atz+a...a_+4v2a,2x xk k3k k]k一.,\S\..2k-\,44a—a a—a^...a—a,/.|T\..k,2A3k x由容斥原理一ScT=0,IS T|=|S|+|T|..3k1,中最小的元素为最大的元素为S T0,2%,.,.|S T|„2a+1,k・效由•.3k-14+14043t GN*,・・•M1348,实际上当，时满足题意，4={674,675,676,…2021}证明如下设人={，2,m+1,m+2,…2021,me N,贝〃，，lJS={2z,2m4-1,2m+2,…4042},T={0,1,2,…2021-m,2依题意有即根〉2021—m2m,673—,故用的最小值为于是当根=时，中元素最多，674,674A即，时满足题意，4={674,675,676,…2021}综上所述，集合中元素的个数的最大值是A
1348.
69.2022春・上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考开学考试已知实数力,Gd不全为0,给定函数232记方程/幻=的解集为方程的解集为若fx=bx+cx+d,gx=ax+bx+cx+d.A,g/%=5,满足则称为一对〃太极函数〃.问:A=5w0,/x,gx⑴当〃=时，验证是否为一对〃太极函救〃；a=c=d=l,/x,gx⑵若，为一对“太极函数〃，求的值；/x gxd⑶已知为一对〃太极函数〃，若方程知存在正根加,求的取值范围用含有用的代数/%,gx=1,c0,x=0式表示.【答案】不是一对太极函救〃1⑵4=0⑶加夜]时，应方，血,+时，£0,c e0,—m£00c G0,4m.4-/n【分析】根据新定义检验;1利用新定义计算求解；2设=-£/+”，由新定义得关于，的方程/—无实根，记人⑺二^一上才+由二次函数3£/+c=o〜m m m性质求得，的范围，由可得的范围.【详解】若是否为一对〃太极函救〃，由得％1Rgx/x=x+l=O,=-1,所以户—不是的零点，g/-1=g0=1,1g/x所以，不是一对太极函救；/x gx设厂为方程的一个根，即，⑺由题设⑺2=0,g/=0,所以=;g0=g/Q=d因为由〃得=一二，所以/%=区一_£,工3d=O,Q=l,/2=2+5=2+5,m m2g/%=fx[fx-—/x+c],m由得％=或加,易得=，/x=00g/%据题意，的零点均为的零点，g//x故尸无实数根，x-9/x+c=0m设，=则产一，无实不艮，己人，=〃一—£d+s,£+c=0t91+mmm2
八一、？c mme me c crz97时，，~+-----？，c0t=x H—ht=r/+c=Q2m244m2m4m刖八/-.,/、221八々刀”日八mec,mc mc c16xn，即〈虚时，力〃斛得~~r-~-Ov/n%min=-^=~-+c0,0c^-,42m41644-m2即机时,2--T—0/z/=/z——=c——^0,0C4/
71.min42m2m4”16综上，血]时，根时，2”£0,CGO,7,£0,+8ce0,4m.4-m【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是正确理解新定义并能应用，由新定义判断，求值等，难点是第小问的范围问题，解题关键是引入变量仁-利用新定义确定关于，的方程/—£/+=无3c mm实根，记只要⑺讪即可得结论./d=/—4+c,/2m
70.2022秋・上海徐汇,高一上海市南洋模范中学校考开学考试设A是非空实数集，且若对于任意的％都有个则称集合具有性质片；若对于任意的都有*则称集合具A EA,A y有性质也.⑴写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合；A⑵若非空实数集具有性质外，求证集合具有性质片；A A⑶设全集=是否存在具有性质々的非空实数集使得集合电具有性质？若存在,写出这样{X|xwO,xeR},A,A6的一个集合；若不存在，说明理由.A【答案】⑴{—1,1}⑵证明见解析⑶不存在，理由见解析【分析】（）根据题意直接写出即可；1A={T1}（）根据性质鸟可知分别说明集合中元素为个、个、大于个时，集合中元素满足性质々即可.2IwA,A122（）由题意可知人且不是单元素集令，£人£板,£且，若则31£eA/A{1},CW1acsgA,,这与矛盾；EA若则,,这与矛盾，综上可得到结论.QCEA,c^—=ac^^A acsAa a【详解】（）由（）（）（）可得恰含有两个元素且具有性质的集合；1-lx-l=l,-l xl=-l,lxl=l,A={-3}（）若集合具有性质不妨设2A g,QEA,由非空数集具有性质尸有@=A2,1£A.a
①若易知此时集合具有性质儿A={1},A
②若实数集只含有两个元素，不妨设，A A={14},由=且弓解得此时集合具有性质4,1,4=7,A%
③若实数集含有两个以上的元素，不妨设不为的元素外，A14£A则有由于集合具有性质^eA,A一
1.所以有的+—=儿这说明集合具有性质片；4%£A q（）不存在具有性质耳的非空实数集使得集合丹具有性质鸟，3A,A由于非空实数集具有性质;，令集合A3=依题意不妨设》W8,A,因为集合具有性质所以89=163,b若八贝{1},-eA,a因为非空实数集具有性质故」=这与矛盾，A4,QX1£A,8={1}a故集合不是单元素集3{1},令且cwB,cwl,
①若双£儿可得丝即，这与矛盾；eB,3=C
②若由于所以因此」=这与矛盾,QEA,IcA,C+QC£3,qceA aa综上可得不存在具有性质々的非空实数集使得集合孰具有性质4A
8.【点睛】集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.所以集合的子集有共个,50,{1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5},8故选B（2022秋・上海杨浦・高一复旦附中校考开学考试）已知
1.R,使代数式的值为有理数的的集合是（）x使肝公的集合使的集合A.R B.Q C.£Q D.x+【答案】B【分析】根据分母有理化化简后的结果判断可得.【详解】X+VZ+1-rX+A/X+1故选B.（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）设所示有理数集，集合
12.2022x=[xx=Q+/五在下列集合中
①｛2｝与相同的集合,4,0£Q,xwo},{2X|X£X}x|xe%:x有（）
①②②③①②④①②③A.B.C.D.【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析
①②③④，即可得答案【详解】对于
①集合｛｝则（〃五）血,2X|XEX,2+b=p+4解得〃应即=日=是一一对于，所以与集合相同.=2=23,X对于
②集合｛言，，则黄萨也是一一对应，所以与集合相同.|XGX X对于
③集合｛臼，悬石=力+（一七］日一对应,，所以与集合相同.2x对于
④，但方程-无解，则｛｝与不相同.-l-V2eX1-a=/y|y=/,%wX X故选D（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）设是一个集合，是一个以的某些子集为元
13.2022X TX素的集合，且满足（）属于工，属于工；（）工中任意多个元素的并集属于口（）中任意多个元素1X23T的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.T TX已知集合乂=仞，｝,对于下面给出的四个集合亡b,
①；T={0,{a}9Q b}9{ay c}}
②；T={0,8},{c},{h9c},{a,b,c}}
③；T={0,{a,c},{/,c},{c},{a,b,c}}（）；4T={0,{a}9{c},{a,b,c}}其中是集合上的拓扑的集合的序号是（）X T
②①③②④②③A.B.C.D.【答案】D【分析】利用集合上的拓扑的个要求，依次判断即可X3【详解】
①中由于{/}{,}={,可右乙故
①不是集合上的一个拓扑；X
②中满足拓扑集合的个要求，故
②是集合上的一个拓扑；3X
③中满足拓扑集合的个要求，故
③是集合上的一个拓扑；3X
④中{可={，故
④不是集合上的一个拓扑；{a}L4e X因此集合上的拓扑的集合的序号是
②③X T故选D（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算二卜卜右且任用称为集
14.2022A-341合与集合的差集；定义集合运算（）（）称为集合与集合的对称差，有以下个命题A3AM=A-3U3-A A34
①②（）（）AAB=BAA AAB AC=AA BAC
③（）（）（）（）（）（）（）AI BAC=AI BA AIC4AU BAC=71UB A AUC则个命题中是真命题的是（）4
①②①②③①②④①②③④A.B.C.D.【答案】B【分析】利用题中定义可判断
①的正误；利用韦恩图法可判断
②④；利用题中定义与集合运算可判断
③的正误.［详解］对于
①，（）（）（）（）
①对；BAA=B-A A-B=A-BB-A=AAB9对于
②，且且（）（）A-5={x A xe5}={x xcAxeAc3}=A-Ac3,则儿（）（）（「）3-A=A B_A B,所以，（）（心）-（心）表示的集合如下图中的阴影部分区域所示:4W AC=I同理（）（）（）也表示如上图阴影部分区域所示,AA BAC=A BAC-A BAC故（）（）
②对；AABAC=TAA BAC,对于
③，（）（）（）（）A BAC=A B C-BC=A BC-A BC（）（）（）（）（）（）
③对；=A BA C-A BA C=A BAAC,对于
④，如下图所示所以，（）（）（）
④错.AU BACAUB AAUC,故选B.【点睛】关键点点睛本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.
二、多选题A.0o{O}B.一C.QoZ D.0e{O}£Q
15.（2020・上海•高一开学考试）下列关系中，正确的有（）【答案】AB【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的包含关系可判断各选项的正误.【详解】对于选项，选项正确；A0o{O},A对于选项，选项正确；B1eQ,B对于选项，选项错误；C ZoQ,C对于选项，而不是选项错误.D040},0£{0},D故选AB.
三、填空题
16.（2020・上海•高一开学考试）若〃x＞3〃是〃X〉〃的充分不必要条件，则实数的取值范围是.【答案】3【解析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.【详解】因为晨＞〃是〃尤的充分不必要条件，团3”
3.故答案为＜
3.【点睛】本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
17.（2020秋・上海宝山•高一上海交大附中校考开学考试）已知集合A={12；},集合2,则B=^y\y=x,xeA^A B=.【答案】{1}【分析】求出集合利用交集的定义可求得集合【详解】卜卜=；因此，A={l,2,g},3=={/4},AcB={l}.故答案为{1}.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
18.（2020秋・上海宝山,高一上海交大附中校考开学考试）设全集为R,集合A=（l,3）,则\A=【答案】，[3H【分析】直接根据补集的定义即可得结果.【详解】因为（）所以条）A=l,3,4=[3*,故答案为:（YO,1]【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题.（秋•上海•高一开学考试）设集合＜＜则
19.2022A={x]—14x2},B={x[0Wx4},AD3=.【答案】[7,4]【分析】直接根据并集的定义运算即可.【详解】因为＜《A={%|—1XW2},B={X|0XW4},所以AJ5=[-1,4],故答案为[-1,4].【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）由回+学所确定的实数集合是
20.2022a b【答案】{—2,0,2}【分析】根据、人的正负性分类讨论进行求解即可.【详解】当＞＞时，-+^=-+；0,01=2a ba b、“八zx cqI a|\b\a b7当时，—+—=；O/vO=0a ba b、“八八-八7I ci\\b\a b当＞时，---+—=——+—=；”0,00a ba b当力＜时，00t^+^=----=-2,ab ab故答案为{-2,0,2}（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）已知集合〃若敏人则实数2L2022A={/—,o},的值为.【答案】29【答案】或，3【分析】根据集合相等的条件，列出方程组，即可求解.,y=7[x+y=8【详解】因为由集合相等的条件，可得二或{x+2y}={7,8},12y9解得或；x=3x=.29故答案为或，乙3（秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考开学考试）若集合=卜产—
23.202242%+1=0},*2）则（用符号〃u〃〃=〃或〃=）〃连接）B=[x\x-1=0,AB.【答案】U【分析】先化简集合、再去判断集合、间的关系即可解决.AB,A3【详解】22）则」A={X|X-2X+1=0}={1},B={X|X-1=0={-1,1},AU故答案为u（秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试）若葭或〃是〃的必要不充分条件，
24.20222xN2则实数的取值范围是.【答案】2【分析】根据给定的条件，利用充分条件、必要条件的定义，借助集合的包含关系求解作答.【详解】令集合或,因〃或〃是〃的必要不充分条件，A={x|x—2xN2},B={x\xa}xN2则有因此3A,4―2,所以实数的取值范围是
2.。
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