2矩形基础知识讲义练习

矩形（基础）【学习目标】理解矩形的概念.驾驭矩形的性质定理及判定定理.

1.【要点梳理】

2.要点

一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释矩形定义的两个要素

①是平行四边形；

②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点

二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面矩形具有平行四边形的全部性质；.矩形的对角线相等；

1.矩形的四个角都是直角；

2.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

3.要点诠释（）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的随意直线可将矩形分4成完全全等的两部分.1（）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.2（）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的全部性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都3是直角；从对角线看，矩形的对角线相互平分且相等.要点

三、矩形的判定矩形的判定有三种方法定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.L有三个角是直角的四边形是矩形.

5.要点诠释在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形

6.是矩形.要点

四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论假如一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释（）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不行运用.1（）学过的直角三角形主要性质有

①直角三角形两锐角互余；

②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

③直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半.2（）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.30°【典型例题】3类型

一、矩形的性质、（•云南）如图，在矩形中，分别是的中点，是上的点，且C12023ABCD AB=4,AD=6,M,N AB,CD PAD（N）求证；PNB=3/CBN.求线段的长.1Z PNM=2N CBN2AP【思路点拨】（）由易得由已知N依据角的和差不难得出结论；（）连接依据矩形的轴对称性，可知由（）知1MNIIBC,NCBN=NMNB,PNB=3N CBN,由可知N所以N依据等角对等边得到2AN,NPAN=/CBN,1再用勾股定理列方程求出N PNM=2N CBN=2N PAN,ADII MN,PAN=N ANM,PAN=N PNA,【答案及解析】AP=PN,AP.解（）・・,四边形是矩形，分别是的中点，・・1ABCD M,N AB,CD・•MNII BC,・・•.Z CBN=N MNB,・；•Z PNB=3Z CBN,（）连接N•.Z PNM=2CBN依据2矩形的轴A对N,称性，可知・・NPAN=/CBN,・,MNII AD,由（）知•.Z PAN=N ANM,・・N1NPNM=2CBN,・•Z PAN=N PNA,,「分别为的中点，•.AP=PN,・AB=CD=4,M,N AB,CD设则•.DN=2,在中AP=x,PD=6-x,RtA PDN222（）PD DNPN+=,222解得二里X6-x+2=,3x所以【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等学问的综合运用，难度不大，依据角的倍差关系AP=ai得到发觉是解决问题的关键.举一反三NPAN=NPNA,AP=PN【高清课堂417081矩形例7】【变式】如图，中，点为边上任一点，过分别作于于则线段的最小值是.Rt^ABC ZC=90°,AC=3,BC=4,P ABP PEJLACE,PFJ_BC F,EF12【答案】—；5提示因为为矩形，所以有最小时是直角三角形斜边上的高.类型

二、矩形的判定ECFP EF=PC.PCC

2、•内江如图，将的边延长至点使连接交于点求证△；2023OABCD AB E,AB=BE,DE,EC,DE BCO.连接若求证四边形是矩形.1ABD2△BEC【2答案及B解D,析】NBOD=2NA,BECD证明在平行四边形中，贝又「1ABCD AD=BC,AB=CD,AB IICD,1J BEIICD.・AB=BE,・••.・B四E边=D形C,为平行四边形，BECD・•・在中，BD=EC.4ABD^A BEC・・；•△ABD2△BEC SSS由知，四边形为平行四边形，则・・・四边形为平行四边形，21BECD OD=OE,OC=OB.・・即NABCD又「•Z A=N BCD,A=N OCD.・Z BOD=2N A,Z BOD=N OCD+Z ODC,•.Z OCD=Z ODC,・即OC=OD,・••.・O平C行+O四B边=O形D+OE,为B矩C=形E.D,【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等学问点的综合运用，娴熟驾驭特殊几BECD何图形的性质及判定是解决问题的关键.举一反三【变式】如图，在中，为中点，四边形是平行四边形.求证四边形是矩形.AABC AB=AC,D BCABDE【答案】ADCE证明:四边形是平行四边形，・〃ABDE・为的中点，••AE BC,AB=DE,AE=BDD BC・〃ACD=BD・・•四边形是平行四边形.CD AE,CD=AEADCEVAB=AC・・・平行四边形是矩形.A AC=DE、如图所示，四个内角的角平分线分别交于点、、、ADCE求证四边形是矩形.C3QABCD EF GH.EFGH【思路点拨】、分别为、的角平分线，由于在中，,易得,不难得到,同理可得AE BE/BAD NABCOABCD ZBAD+ZABC=180°【答案及解析】NBAE+NABE=90°NHEF=90°NH=NF=90°.证明在中，〃QABCD ADBC,・、分别平分、.\ZBAD+ZABC=180°,••AE BENBAD ZABC,A ZBAE+ZABE=-ZBAD+-ZABC=90°.22同理.AZHEF=ZAEB=90°.・•・四边形是矩形.NH=NF=90【总结升华】（）利用角平分线、垂线得到的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定.（）EFGH本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形.i902类型

三、直角三角形斜边上的中线的性质C

4、（•佳木斯）如图，中，平分交于点点为的中点，连接则的周长为（）2023AABC AB=AC=10,BC=8,AD NBACBC D,E ACDE,4CDE【答案】；A.20B.12C.14D.13【解析】C解平分VAB=AC,AD NBAC,BC=8,2AAD±BC,CD=BD=-BC=4,・••点为的中点，1E AC2ADE=CE=-AC=5,的周长=）・【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，ACDE CD+I E+CE=4+5+5=14熟记性质并精确识图是解题的关键.举一反三.【变式】如图所示，已知平行四边形、相交于点是平行四边形外一点，且.求证平行四边形是矩形.ABCD,AC BD0,P ABCD【答案】NAPC=NBPD=90°ABCD解连接•・•四边形是平行四边形.0P.ABCDA0=C0,B0=10,11VZAPC=ZBPD=90°,・・22•OP=-AC,OP=-BD,・・•・四边形是矩形.\AC=BD.ABCD【巩固练习】一.选择题（春•宜兴市校级期中）下列说法中正确的是（）对角线相等的四边形是矩形

1.2023A.对角线相互垂直的四边形是菱形平行四边形的对角线平分一组对角B.矩形的对角线相等且相互平分C.若矩形对角线相交所成钝角为，短边长%,则对角线的长为（）D.6cm2cm8cm

2.

1203.

6.矩形邻边之比对角线长为则周长为（）.A.

3.B.

7.C.

1.D.

14.4cmcm cm cmcm

3.34,A.14B.28C.20D.22已知为矩形的对角线，则图中及确定不相等的是（）

4.AC ABCDN1N2在数学活动课上，老师和同学们推断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的位同学A.B.C.D.拟定的方案，其中正确的是（）

5.4测量对角线是否相互平分测量两组对边是否分别相等测量一组对角是否都为直角测量其中三角形是否都为直角A.B.如图，中，的垂直平分线分别交、于点、交的延长线于点已知C.D.则四边形的面积是（）

6.AABC ACAC AB D F,BEJ_DF DFE,NA=30°,BC=2,AF=BF,BCDE二.填空题A AA.2/3B.3/3C.4D.473矩形中，对角线、相交于则cm,cm.在中，则边上的中线

7.ABCD ACBD0,ZA0B=60°,AC=10cm,AB=BC=如图，矩形纸片中，按如图方式折叠，使点及点重合,折痕为

8.AABC ZC=90°,AC=5,BC=3,AB CD=贝cm.

9.ABCD AD=4cm,AB=10cm,BDEF,ij DE=（•重庆模拟）如图，在矩形中，为的中点，且N，则的长为.

10.2023ABCD EBC AED=90AD=10,AB如图，）的顶点在矩形的边上，点及点、不重合，若的面积为则图中阴影部分两个三角形的面积和为.

11.OABCI BAEFC EFBEF△ACD3,如图，中，是斜边上随意一点，作于于则矩形的周长是,三.解答题

12.RtZSABC ZC=90°,AC=BC=6,E ABEFLAC F,.如图，矩形的对角线相交于点EGLBC G,CFEG13ABCD0,0F±BC,CE±BD,0E BE=13,0F=4,求的度数和的长.NADB BD.如图，在矩形中，是边上的一点，的延长线交的延长线于于且依据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.14ABCD F BC AFDC G,DELAG E,DE=DC,（•通州区一模）已知菱形的对角线及相交于点点在的延长线上，且连接点是中点，连接求证四边形是矩形.

15.2023ABCD ACBD E,FBC【答案及解析】CF=BC,DF,G DFCG,ECGD一.选择题.【答案】；【解析】•・•对角线相等的平行四边形是矩形，不正确；1D•・・对角线相互垂直的四边形不愿定是菱形，・・・不正确；A•・・平行四边形的对角线相互平分，菱形的对角线平分一组对角，・・・不正确；B•・,矩形的对角线相互平分且相等，・・.正确；C.【答案】；D【解析】直角三角形中，所对的边等于斜边的一半.2B.【答案】；30°【解析】由勾股定理，可算得邻边长为机和根，则周长为”.3B.【答案】；6c8284D【解析】.【答案】；Z2Z

1..【答案】；5D6【解析】先证A之则为中位线，再证明四边形是矩形，可求面积.二.填空题4ADF ABEF,DF AABCBCDE BE=JJ,；.【答案】5可,证5V3为等边三角形，7【解析】用AAOB AB=AO=CO=BO.丁；.【答案】由勾股定理算得斜边』228AB=J2,CD=AB=£^.【解析】；

5.

8.【答案】【解析】设则.在中，由勾股定理可得9DE=x,AE即=AB—（BE=AB—DE解=1得0—x Rt^ADE

222.【答案】；AD+AE=DE,42+10—=%2,x=

5.

8.【解析】•・,矩形中，是的中点,・可证得△合△105ABCD EBC•.AB=CD,BE=CE,Z B=Z C=90°,ABE DCESAS,・・/.AE=DE,・.Z AED=90°,/.Z DAE=45°,・•.Z BAE=90°-Z DAE=45°,・」•.Z BEA=Z BAE=45°,22•.AB=BE AD=1xlO=

5..【答案】；【解析】依据平行四边形的性质求出证之推出的面积是113求出即可求出阴影部分的面积.AD=BC,DC=AB,AADC ZXCBA,AABC3,.【答案】；ACXAE=6,【解析】推出四边形是矩形，得出〃〃求出推出1212同理求出矩形的周长是代入求出即可.FCGE FC=EG,FE=CG,EF CG,EG CA,NBEG=ZB,三.解答题EG=BG,AF=EF,CFEG CF+EF+EG+CG=AC+BC,【解析】由矩形的性质可知解:

13.又由可知是的中点.OD=OC.又因为依据三线合一可知即即是等边三角形，故.0E BE=13E0D所以.CE_L0D,0C=CD,0C=CD=0D,△0CD NCDB=60又因为NADB=30即CD=20F=8,【解析】BD=20D=2CD=

16.证明:四边形是矩形，

14.ABCD AAD/7BC,DC=AB.AZDAE=ZAFB.VDE=DC,A DE=AB.V DEXAG,.\ZDEA=ZABF=90°..【解析】AAABF^ADEA.证明「15・・点是中点，CF=BC,・・・点是中点，.C BF・・是△中位线，G DF・・，•CG DBF•四边CG形II BD,CG是=,B菱D形，v ABCD2AC_LBD,DE=—gjj,・/.Z DEC=90°,CG=DE,•・・四边形是矩形./CGII BD,ECGD。