2第二章群论自测练习

其次章群论自测练习

一、概念说明置换群的方程定义群的公理化定义群的阶.循环群群的指数

1.

2.

34.

56.

二、推断题对于群的随意两个兀来说，方程依和人都在中有解

1.G=b ya=G任何一个子群都同一个变换群同构

2.设区均为群的子群，则“也也为的子群

3.a，G〜G群的不变子群的不变子群未必是的不变子群

4.G NM G的置换乃23是一个一循环置换

5.S’42143,群中元素的逆元存在，但不愿定唯

一三、选择题

6.G a下面是交换半群，但不是群的是

1.其中是非零整数集合A.N,+B.0,+C.Z*,+,D.C+设是群的单位元，/是的两个元素，则

2.e G a Gaby1=a bab~2=a~2b~2若贝ab=baA.B.C./=e,|j_-D.a a.精确到同构，阶群有个34A.1B.2C.3D.4以下结论正确的是

4.o于是有cT+cab=c-1+abc=0,同理有1-bca1+ba=l-bca+ba-bcaba=l-b[c-l+cab]a=l1+ba1-bca=

1.SP一是的逆元1bca1+ba不能作成群，因为所给运算不满足结合律，例取

8.A2fz=O,O,Z=O,O,c=O,l则3aobo=a c=0,0o0,-l=0,10,00,1=0,-1Caobocw®boc即结合律不成立，不能作成群对此乘法作成一个群、证由乘法表可知，对所给乘法封闭,

9.G1G是单位元，又/=b,『=a,即每个元素在中都有逆元,因此要证e/=e,G G是一个群，只要再证结合律成立刻可任取％,则明显有exy=xey=xy=xyexxx=xxx其yeG,次令乂{a.b}且七则由乘法表知:=yx=ey£w y3xr==9可知结合律成立.非零实数集对运算〃匕=|闻不能作成群因为火，但方程10R1,-16%=一11,即在中无解，由群的定义知对所给代数运算，不能作成群W=T R R不能作成群，因为对所给运算来说没有单位元若有单位元

11.R RR贝由于由所给运算有即单位元％=X,J OeH,％°0=2x+0=2l+0=2w0,而但0,leR,这及％=是单位元冲突lo0=2l+0=2^0,

0.设是群的单位元，则明显满足方程另外设且/=〃，12e G e acG,则有即即只有满足方程尤=尤a=e,e

20.若中除单位元外其余元素的阶均是无限，则结论已对；若中非13G G单位元素的阶都/若〃是合数，即〃=%%,修则中随意的兀素有G a,|a|=〃这及易知冲突，所以〃必是素数2W〃,.假设群是两个非平凡子群儿的并，即由于从是是14G K G=uK K G两个非平凡子群，故有使得匕任K,又由于所以有a/wG,G=〃DK,QGH力又因为故必有必w”,abeK0若abH,则由于”是wK,wG=uK,G是子群，故冲突，若abeK,则由于是是子群，故a=曲b=/£K G人e K冲突，因此

15.§3={1,12,13,23,123,132},=m,12},K=则当然不行能是的子群，因为{⑴,13},〃K={⑴,12,13,132},S31327=123eHK群是有限群当且仅当只有有限个子群

16.G G证明若群是有限群，则的子集的个数是有限的，从而其子群的个G G数当然是有限的；反之，只有有限个子群，则中明显不能有无限G G阶元素，因为无限循环群有无限个子群，这样中每个元素的阶都是G有限的，任取贝！］是的一个有限子群，再取出于是%q eG,%G66\%,又是的一个异于%有限子群，但只有有限子群，故这种过程不能G G无限地持续下去，从而存在正整数使得,而每个s,G=1=1生都是有限的，于是群是有限群G如整数加群除单位元外，每个元的阶都无限

17.1G如全体非零有理数对一般乘法作成一个群，满足题设条件,除单位2元的阶是外，T的阶是而其余各元素的阶都是无限112,设〃〃=cac~[n—canc~{-e,反之若cac”=e,有canc~x

18.e,-e an=e即及cac有相同的阶因故存在整数、，，使得这样有

19.r,〃=1,s m+m=1,Vam e G,=”加+加=侬屋”「=优，故他是的一个生成元，从而S G G=.由于=//晨，的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积，

20.10eeC;因而仍是的一个元；一个换位子的逆仍是一个换位子，所以的一C C个元的逆仍是的一个元，这样是的一个子群；对于aeG,ceC,acaxC C G=aca-lc-l C,所以是的一个不变子群.CE CGa,b bay[cib=a~]b~ab=c C,由止匕得2G a/C即=baC,aCbC=bCaC,因而是交换群.G/因为是交换群,所以对的任何两个元和3G/N Gb,aN0N=,由此得这样含有一切换位子,因而含SN3Ao WTab=a-%-%bwN,N N有C..设由于~是等价关系，故即21H=[e],6~6,ewH;则因而由题设可得小，a〜e,b〜e ae〜be〜bL,e〜e〜O——10分;由对称性及传递性得a-lab-x-a-le,再由题设得川即a〜1,a〜e Lc”,那么及的单位元等价的元所作成的集合的一个子群G eG由于浦优=优，从而是可换群

22.VaMeG,4=3+，=G=a.充分性，由定理知，明显成立23Lagrange必要性，因为所以存在设则但是由|G|1,aeG,awe H=a,H w⑻，”qG,假设，若则是的非平凡子群，及假设而突；H=G;|a|=oo,G若〃是合数，即〃=nn,n则|ani|=n,从而I a1=1,n1a[2{22是的非平凡子群及假设冲突因此为素数阶循环群G G设{e.n},，有ana~]N,必有anax-n,否贝!ana~}=

24.N=X/a£G JGe，便得的冲突，从而anax=e,另外明显故口n=e an=na,ae=ea,N CG.先证非空，其次证是子群；最终证的不变性、25ker°ker ker°2只证夕是单射即可.取而则由定理知，其中则小的阶是26a eG a we,Lagrange|a|=p,a p,所以=是的一个阶子群a*G p.设卜=则当根w〃时，a,a,于是映射

①就是到整数278,a f/n G=a加群的一个---------------映射又暧,优=产”fm+n,故

①是到Z G Z的同构映射即二及整数加群同构G aZ整数加群及偶数加群同态；整数环不能及偶数环同态

28.Z2Z Z2ZN Gn aNbN=aNbN=abNN=abNN=abNRa,b・

29.eG;充分性，使得X/a/wGJcwG,所以故MQ-%N,NvG令A=[hH^K\heH},B={xK\xeK},易知

30.1”是从到的映射,又因若4K=hK,4也eH,则始0/zHcKiK,V/i£A32九^长，从而九£有九故从至的单射，从而4-c K,HcKQ/^HcK,A|4区|即5|,[H:HcK]K[G:K];若当有限时,设则由上知是双射,故对随意的2[G:K][H:HcK]=[G:K],必有秩”，使得xexK=hK=HK,从而G^HK,故反之，XEG,G=HK;若G=HK,则任取左陪集％令x=hkQisH,keK,则K%eG,xK=/zQK从而从到的双射，故[H:HrK]=[G:K]o=/zK,A B.设乃是到%的自然映射，则/及的万合成是到%满同态,/N/N31G G并且以N=N}ker^={x£G|x=N}={x£G|/x=N}={x£G|/x二因此由同态基本定理知，并且夕二={XEGX£N}N,NvG全体非零整数对一般乘法作成一个群A.全体奇数对一般加法作成一个群B.实数域上全体阶矩阵对一般乘法作成一个群C.n、实数域上行列式等于的全体阶矩阵对一般乘法作成D.1n一个群若分别是群的阶，阶子群，则是群的（）

5.H,KG20232023G o阶子群阶子群A.1B.2023阶子群阶子群C.2023D.2023x2023以下结论正确的是（）

6.o无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限A.无限群中至少有一个无限阶元B.有限群中阶大于的元的个数确定是偶数C.2有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元D.

7.在4次对称群之中，阶等于2的元的个数是（）0A.2B.3C.6D.9设是群的不变子群，以下结论不正确的是（）

8.N Go、若是交换群，则是交换群、若是非交换群，则是非A G G/N BG G/N交换群、若是循环群，则是循环群、若中元的阶都有限，则中CG G/N DG G/N元的阶都有限

四、填空题设群中元素的阶为〃，假如那么加及〃存在整除关系为

1.G2a=e,凯莱定理说任一个子群都同一个同构

2.设（）是循环群，则及整数加群同构的一个充要条件

3.G=a G是O设是整数加群，是的子群，则商群的阶

4.Z2Z={2n|nwZ}Z Z/2Z模的剩余类加群到模的剩余类加群的同态映射有

5.12Z18Z1218个（是素数）阶群的子群有个

6.p p在全体非零复数对一般乘法作成的群中，由士亘生成的子

7.C*2群的全部元素是O若是次对称群丛的阶子群，则商群的阶是

8.N412SJN在同构的意义下，（是素数）阶群共有个

9.p p在实数域上全体阶可逆矩阵对一般乘法作成的群中，由

10.2T］生成的子群的全部元素是A=10_---------------.模的剩余类加群乙的单位元是.11122已知群中元素的阶为则/的阶等于.

12.G a6,整数加群的全部生成元是.

13.Z〃次对称群“的阶是.

14.S

五、计算题.设是由有理数域上全体阶满秩方阵对方阵一般乘法作成的群,1G2试求中下列各元素的阶年“IGab.、56将分解成不相连循环置换的乘积;求的阶;

123、423456789设次置换

3.90,537618942,2,6将表成互不相交的轮换乘积;1将表示成形式为对换的乘积;2求出的逆及的阶3

六、解答及证明题.请举一个幺半群其中有一个元素的左逆元不愿定是右逆元，右逆元1也不愿定是左逆元.设是由以下四个二阶方阵作成的集合2G、\、、丁口口「小七状钻n o,1―10/—ioMEa=

八、力=,d=，证明对方阵的一般乘c=GI I-1J I-V IV法作成一个交换群，并给出乘法表.假设是〃阶群，则包含有阶元素；假如〃是奇数并且是3G2G2G群，则只有一个阶元素Abel G2证明.实数集对运算=〃+切能否作成群，并说明理由4R,

2.设二是循环群，证明当时=〃时，及次单位根群5G a G=a n同构.设是整数环上行列式等于或的全体阶方阵作成集合,证明6GZ1-1n对于方阵的一般乘法作成一个群G.设是一个有单位元的环，证明假如〃在中有逆元，7R1Q/GR,1+R则在火中也有逆元1+%设氏为全部实数对%，丁作成的集合，对运算a,bo,d=a+

8.2cc,b-d,此能否构成群，说明理由.令且有如下乘法9G={e,a/},Ge a be e a baabeb bea证明对此乘法作成一个群G.非零实数集对运算》=|她能否作成群，说明理由10R实数集对运算力=份能否作成群，并说明理由

11.R,2〃+.证明在群中只有单位元满足方程％12G2=%设是一个阶大于的群，证明若中除单位元外其余元素的阶

13.G1G都相同，则这个相同的阶不是无限就是一个素数.证明任何群都不能是两个非平凡子群的并14两个子群的乘积不愿定是子群

15..证明群是有限群当且仅当只有有限个子群16G G.试举出满足以下条件的群17是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限1G是无限群，中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素2G G.证明在随意群中，及同阶18G qcacT“,c eG.假定群的阶为八，且证明能，这里厂，八=19G G=a.G=

1.一个群的可以写成小人碗形式的元叫做换位子,证明

20.G全部有限个换位子的乘积组成的集合是的一个不变子群,称1G为的导群或换位子群；G是交换群；2G/若是的一个不变子群，并且是交换群，那么3N G G/N NnC..假定是一个群的元间的一个等价关系，并且对于21〜G G的随意三个兀来说，有a,%,y ax〜ay n%〜y证明及的单位元等价的元所作成的集合是的一个子群GeG设循环群〃是可换群.

22.G=设是一个阶大于的群,证明只有平凡子群当且仅当为素数

23.G1G G阶循环群.假定群的不变子群的阶是证明:的中心包含24G N2,G CG N..假定和是两个群,并且是到的同态满射25G GGG证明是群的正规子群；证明夕是同构映射当且仅当

1.ker°G

2.ker={e}.证明阶是的群确定包含一个阶是〃的子群，其中帆p是素26G wZ+,数..设是循环群，证明当时=8时，及整数加群同构27G=aG=a.整数加群是否及偶数加群同态？整数环是否及偶数环同28Z2Z Z2Z态？请简要陈述理由..设证明的充要条件是的随意两个左陪集的乘积是左29NWG,NvG N陪集设乩是群的子群，证明

30.KG[H:HrK][G:K]；1当有限时,贝当且仅当2[G:K]U[H:〃cK]=[G:K]G=K.设/是群到群的同态满射，NG,N=『N,证明:31GG自测练习参考答案

一、概念说明参见课本

二、推断题

1.V,

2.V,

3.X,

4.V,

5.X,

6.X

三、选择题

1.A

2.C

3.B

4.D

5.A

6.C

7.D

8.B

四、填空题ab-x变换群包疗⑷=小卫

1.

2.

3.16zhoo

4.

25.

66.

27.1,『

8.

29.

110.[°T],

111.

[0]

12.

13.1,-1

五、计算题的单位兀为e=a—a2—

1.GI1J11oj1ojar=f011-1oj

3、、i nA/_11i nA,11又/=-岫=对随意的整数/=1°1〃=1nI UU ojI1J I1J、〃、\/i1i nAaby==w即的阶为的阶为的a4,b3,ab、01J I1J I1阶为无限的阶为

2.1b=134256；23;3=143265,2=d=143265CF

3.1b=152379468,2b=1529272348463er-1=159732864,1er|=12

六、解答及证明题.设是正整数集合，M={f\f:A则是一个幺半群做变换fn1A.A},M=n+l,XfnA,/是一个单射但不是满射，屈〃=八-之81=11/2,\/〃且是一个满射但不是单射,并且有但是於则是/的左逆元不€4,gff W1A，g是右逆元，同样/•是的右逆元不是左逆元g由题设可列乘法表

2.abeda abedbb ad c由此表可知方阵一般乘法是的代表运算，是的单位元,又由GaG于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素中都有G逆元，结合率明显成立故对方阵一般乘法作成一个交换群G由于是一个偶数阶群，则中阶等于的元素的个数确定是奇

3.1GG2数，所以群包含确定有阶元素；假设有两个不同的阶元素又G22G2由于是群，则易知仇用}是的一个阶子群，于是由G Abel{CM,G4Lagrange定理知，〃，进而但这于〃是奇数冲突,所以只有一个阶元4|22|“，G2素不能作成群，因为对所给运算来说没有单位元若有单位元

4.RRR贝由于由所给运算有％即单位元％X,OwR,0=21+0=21+0=20,=而但0,IwR,这及％=是单位元冲突10=21+0=20,

0.设的阶为，则易看出映射

①:储是二到次单位根5acG=a ne，Gan群々为次原根的一个同构映射，故6={1,/,.1}09G=a=e明显非空，又任取则网同=±于是是整数方阵，且

6.G A,BeG,=±1,1,AB目=网.网故即对乘法封闭结合律明显成立，且是=±1,A5eG,G EG单位元又同=±故篦即也是整数方阵，即中每一个元1,A*=±A*,G又设由于是整数方阵，故的伴随矩阵也是整数方阵;AeG,A AA*在中都有逆元，从而证得作成一个群GG.令是的逆元，则有或:7c1+ab c1+ab=l+ab c=l。