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专题十一概率与统计随机事件、古典概型基础扁考点一随机事件的概率考向一事件的关系及运算（届山东潍坊五县联考,）已知是一次随机试验中的两个事件,若满足
1.20234A,8尸（A）=尸（出=|,则（）事件互斥A.事件相互独立B.事件不互斥C.4,B事件不相互独立答案D.C（福建南平三模）抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面
2.2022,5朝上”互为对立的是（）至多一枚硬币正面朝上A.只有一枚硬币正面朝上B.两枚硬币反面朝上C.两枚硬币正面朝上D.答案C（河北邯郸月模拟,）袋内有个白球和个黑球,从中有放回地摸球,用表示
3.20223632A“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为“第二次摸得黑球”记为那么事8,C,件与与间的关系是（）43,4与民与均相互独立A.A AC与相互独立,与互斥B.A BA与与均互斥C.A5A与互斥,与相互独立D.A3A答案A
4.（多选）（2023届吉林省吉林市调研，11）抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件8=第二枚出现偶数点，事件=”两枚骰子出现点数和为8”，事件D=两枚骰子出现点数和为，则（）9”与互斥与互斥A.A8B.C与独立与独立C.A D.B C答案BC考向二频率与概率（课标文,分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为既用现金支付也
1.2018m5,
50.45,用非现金支付的概率为则不用现金支付的概率为（）
0.15,.
3.
4.
6.7答案B（课标分）位同学各自在周
六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周
六、
2.2014I,5,54周日都有同学参加公益活动的概率为（）A.-B.-C.-D.-1357答案8D888（课标分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文
3.2019HI,3,5学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位,阅读过《红楼10090梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位,则该校阅8060读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）.
5.
6.
7.8答案C（海南海口质量检测，）已知小张每次射击命中十环的概率都为现采用随机
4.20221340%,模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生到之间取整数09值的随机数,指定表示命中十环,表示未命中十环,再以每三个随机数2,4,6,80,1,3,5,7,9为一组，代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下组随机数20:321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为.答案.3（课标文，分）某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品（单位:件）按标
5.2020I17,12准分为四个等级.加工业务约定:对于级品、级品、级品，厂家每件分别收A,B,C,D A B C取加工费元,元,元;对于级品，厂家每件要赔偿原料损失费元该厂有甲、乙905020D50两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为元/件，乙分厂加工成本费为元/件.2520厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了件这种产品，并统计了100这些产品的等级，整理如下甲分厂产品等级的频数分布表等级A BC D频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A BC D频数28173421⑴分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率;A⑵分别求甲、乙两分厂加工出来的件产品的平均利润，以平均利润为依据,厂家应100选哪个分厂承接加工业务？解析
（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为黑A=
0.4;乙分厂加工出来的一件产品为级品的概率的估计值为芸A=
0.
28.100⑵由数据知甲分厂加工出来的件产品利润的频数分布表为100100利润6525-5-75频数40202020因此甲分厂加工出来的件产品的平均利润为元）.由数据知乙分厂加工出来的1001000G件产品利润的频数分布表为利润70300-70频数28173421因此乙分厂加工出来的因件产品的平均利润为元）.0比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.考点二古典概型（届广东东莞四中月考）已知在多项选择题的四个选项、、、中，有至少两
1.2023,6A BC D项且至多三项符合题目要求.规定:全部选对得分,部分选对得分,有选错得分.520若某题的正确答案是某考生随机选了至少一个选项且至多三个选项,则该考生能得分的CD,概率为（）答案c
2.（2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,5）同时掷两枚骰子，向上的点数之和是的倍数的概率是（）3A—B.—C.-D.-51A13D r1答案36c1834（新高考分）从至的个整数中随机取个不同的数,则这个数互质
3.2022I,5,528722的概率为（）答案D（全国甲文,分）从分别写有的张卡片中无放回随机抽取张,
4.20226,51,2,3,4,5,662则抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的概率为24A.-C.-答案5C5（届长沙雅礼实验中学入学考）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天
5.2023,5实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁名航天员开展实验,其中天和4核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人,则甲乙两人安排在同一个舱内的21概率为DA.--答案i6A
6.（2021全国甲理，10,5分）将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为A.-D.-4答案3c
57.（2020课标I文,4,5分）设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的点共线的概率为3Ai D.-4答案A5考法古典概型概率的求法考向一古典概型的综合应用（届浙江嘉兴基础测试,）从圆内接正八边形的个顶点中任取个顶点构成三
1.2023483角形,则所得的三角形是直角三角形的概率是答案D（课标理分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一重卦”
2.2019I,6,5由从下到上排列的个爻组成，爻分为阳爻“一一”和阴爻“——，如图所示的图形是6A.—B.—C.—D.—1111答案321616A32一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有个阳爻的概率是（）3（课标文分）生物实验室有只兔子,其中只有只测量过某项指标.若从
3.2019II,4,553A・|B,|D.-这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为（）532答案B（课标理分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的
4.2018n,8,5成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如230=7+
23.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数,其和等于的概率是（）3030A.—B.—C.—D.—答案12C141518（届河北唐山海港中学开学检测，）已知函数,若b分别是从
5.202374中任取的一个数,则函数有两个极值点的概率为（）1,2,3/W答案C
6.（2023届江苏常州一中检测，15）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去人，则恰好有名大学生分配到甲校的概率为.12答案|
7.（2022全国甲理，15,5分）从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.答案卷（全国乙，理文分）从甲、乙等名同学中随机选名参加社区服务工作,则
8.202213,14,553甲、乙都入选的概率为.答案卷
9.（2022南京一中期初测试，17）某校高一年级1000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组情况如表.组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50,60[60,70[70,80[80,90[90,100]（）求生物成绩在［）内的人数；150,60（）若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，根据频率分布直方图，估计这名学21000生生物成绩的平均分；⑶现有名同学,其中人的成绩在第三组内，人的成绩在第四组内，从这名同学中随5325机抽取名，求这名同学来自不同组的概率.22解析
（1）由题意,知生物成绩在［50,60）内的频率为1一（0・01X10+
0.02x10+
0.03x10+
0.035x10）=
0.05,所以生物成绩在［50,60）内的人数为
0.05x1000=
50.⑵由⑴及频率分布直方图，知分数在［）内的频率为在［）内的频率为50,
600.05,60,
700.35,在［）内的频率为在［）内的频率为在［］内的频率为所以70,
800.3,80,
900.2,90,
1000.1,估计这名学生生物成绩的平均分为100055x
0.05+65x
0.35+75x
0.3+85x
0.2+95x
0.1=
74.
5.⑶设“这名同学来自不同组”为事件人设第三组的名同学为〃第四组的名同学为23,4c,2羽则样本空间为X={〃，〃，、，,x事件3c,x,tz,y,S,c,/,y,c,x,c,y,x,y},A={〃,x,〃,y,4x,4y,c,x,c,y},所以尸A=《=|.JLUJ考向二求复杂的互斥事件的概率江苏百校联考一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中,它
1.2022,6们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测,恰好三次检测出两件次品的概率为A=B.-C.-D.—1123答案5D4510江苏如东中学等三校阶段考在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一
2.2022,5个高度为毫米的零件次时,所得数据如下750测量值毫米毫米毫米毫米毫米
6.
86.
97.
07.
17.2次数51510155根据此数据推测，假如再用游标卡尺测量该零件次,则次测得的平均值为毫米的概
227.1率为.
04.
11.
13.26答案C多选江苏新高考月考一，从甲袋中摸出一个红球的概率是小从乙袋中摸出一
3.202210个红球的概率是去从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是个球都是红球的概率为:6个球中恰有个红球的概率为19至少有个红球的概率为C.136个球不都是红球的概率为9答案AB江苏,分从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务,则选出
4.20196,5322的名同学中至少有名女同学的概率是.21答案七
5.（2023届江苏泰州中学调研，14）老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中篇才能及格.某位同学只能背出其中的篇，则该同学能及格的概率24是.答案
26.（2023届辽宁丹东阶段测，16）现有分别写有数字2至8的7张卡片，将写有质数的卡片放入箱中，将写有合数的卡片放入箱中，从箱中随机抽取一张卡片放入箱中,再ABA8从B箱中随机抽取两张卡片,抽取的两张卡片上的数字互质的概率为.答案!。
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