第十二届华杯赛决赛试题及解答

第十二届华杯赛决赛试题及解答

一、填空，

1.“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”将华杯赛”的编码取为244041993088,如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如0变9,1变8等，那么“华杯赛新的编码是.

20.75+f

3.74-211*9—*

41.

752.计算:I

2253.如图所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米，点E在线段CD上，且CEVDE,线段CF=5厘米，则五边形ABCFG的面积等于平方厘米.13121••••4,将

250、

40、

0.

523、

0523、52从小到大排列，第三个数是,

5.下图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度（为12厘米，将水瓶倒置后，如下图b,瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于立方厘米.TT=

3.14,水瓶壁厚不计）

6.一列数是按以下条件确定的:第一个是3,第二个是6,第三个是18,以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于从这列数的第个数开始，每个都大于

2007.

7.一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111,这个自然数是.

8.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a,从正面看这个立体，如下图b,则这个立体的表面积最多是图（从上向下看）图（从正面看）a b.

二、简答下列各题（要求写出简要过程）

9.如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且NABC=NACB、ZADC=ZDAC,ZDAB=21°,求NABC的度数；并回答图中哪些三角形是锐角三角形.

10.李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒已知货车车厢长

15.8米，车厢间距

1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？

11.下图是一个9x9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫’格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由.

7531612974591842935376926775844139812.某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分是95分，没有得优的同学的平均分是80分，已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少？

三、详答下列各题（写出详细过程）

13.如图，连接一个正六边形的各顶点，问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？

14.圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1,2,3,4,5,6,7小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，……放置了第k—1枚白色棋子后，小明依顺时针方向数了k—1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子，随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子，请回答每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？答案

一、填空15解偶数位自左至右依次为

4、

0、

1、

9、

0、8,它们关于9的补码自左至右依次为

5、

9、

8、

0、

9、1,所以“华杯赛”新的编码是2549489039812516解原式=[

20.75+

1.24x248]-

41.75=[

20.75+

0.125]-

41.75=

20.875-

41.75=

0.517解CF=5,又CD和DF都是整数，根据勾股定理可知CE=3,DF=4,CD=7,4J+72+-43X X所以五边形ABCFG的面积为2=16+49+6=71平方厘米——

0.520,5230,523——•18解250=o,524,40=

0.525,所以25040,第三小的数是

0.52319解如果将瓶中的液体取出一部分，使正立时高度为11厘米，则倒立时高度为15厘米，这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半，所以瓶的容积相当于一个高22厘米底面积不变的圆柱的体积，即瓶的容积是图2014x\Vx22=1727立方厘米21解这列数的第一个是3,第二个是6,第三个是18,第四个是3+6+18x2=54,第五个是3+6+18+54x2=162,第六个是3+6+18+54+162x2=486设这列数的第一个为a,则第二个为2a,第三个为6a=2x3xa,第四个为18a=2x3,xa,第五个为542=第六个为162a=2xxa,第n个为2x3*7xa,因为a=3,所以第n个数也可写作2x3”,即从第三个数起，每个数是前一个数的3倍2007-4863,而

2007.39,可知从第8个数起，每个数都大于

2007.22解因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的2,设这个次大约数为a,则最大约数为2a,a+2a=111,求得a=37,2a=74,即所求数为

74.8•解根据所给视图，可画出这个立体的直观图如下:可知，上下面积为8x2=16（平方厘米），前后面积为8x2=16（平方厘米），左右面积为8x2=16（平方厘米），此立体的表面积共48平方厘米.

二、简答下列各题9,解V ZDAC+ZADC+ZC=,而NDAC=NADC=NB+21,ZB=ZC,A3xZB+21°=180°,A ZB=46°ZDAC=46°+21°=67°,ZBAC=67°+21°=88°△.••ABC和AADC都是锐角三角形.60x1000xl

810.解客车速度为60千米/小时，18秒钟通过的路程为3600=300（米）货车长为（

15.8+

1.2）x30+10=520（米）18秒钟货车通过的距离为520—300=220（米）220x3600货车速度为1000X18=44（千米/小时）

11.解:753161297475918429635387692967758441398用（a,b）表示第a行第b列的方格，第4列已有数字

1、

2、

3、

4、5,第6行已有数字

6、

7、9,所以方格（6,4）=8；第3行和第5行都有数字9,所以（7,4）=9；正中的“小九宫”中已有数字7,所以只能是（3,4）=7；此时，第4列中只余（5,4）,这一列只有数字6未填，所以（5,4）=6所以，第4列的数字从上向下写成的9位数是

327468951.

12.解为使全班同学的平均分达到90分，需将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为一组，即得优的同学至少应为没得优同学的22倍，才能确保全班同学的平均分不低于90分，所以得优同学占全班同学的比例至少是

3.

三、详答下列各题

13.解:首先按是否是等边三角形分类，图a、图b、图c中有3类等边三角形，红色的有6个，蓝色的有6个，黄色的有2个，共14个等边三角形图d中有3类非等边的等腰三角形，绿色的有6个，紫色的有6个，棕色的有12个，共24个所以共有等腰三角形（包括等边三角形）为38个.；；；

14.解:依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号，则1号盒子可有的号数为

1、

8、

15、…7k+12号盒子可有的号数为

2、

9、

16、…7k+2…7号盒子可有的号数为

7、

14、

21、…7k+7（k为整数）根据规则，小明将第1枚棋子放入1号盒子，将第2枚棋子放入3号盒子，将第3枚棋子放入6号盒子，将第4枚棋子放入10号即3号盒子，将第5枚棋子放入15号即1号盒子，将第6枚棋子放入21号即7号盒子，将第7枚棋子放入28号即7号盒子，按照这个规律，从第8枚棋子开始，将重复上述棋子放入的盒子，即第8枚放入1号盒子，第9枚放入3号盒子，…，也就是每7枚棋子为一个周期并且这7枚棋子有2枚放入1号盒子，有2枚放入3号盒子，有2枚放入7号盒子，有1枚放入6号盒子，

2、

4、5号盒子未放入棋子各盒子中的白子数目如下表200=7x28+4,经过28次循环后，第197枚棋子放入1号盒子，第198枚棋子放入3号盒子，第199枚棋子放入6号盒子，第200枚棋子放入3号盒子在小青逆时针放子时，我们依逆时针方向给盒子不间断编号，同样地每7枚棋子为一个周期，300=7x42+6,可以求出各盒子中的红子数目如下表盒子编1234567号白子57058002956红子86854300860总数143851010011556。