普通高等学校招生全国统一考试数 学

学普通高等学校招生全国统一考试数本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页满分150分考试用时120分钟考生注意

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效参考公式柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高若事件45互斥，则锥体的体积公式若事件4笈相互独立，则其中表示锥体的底面积，表示锥体的高若事件A在一次试验中发生的概率是p,则〃次球的表面积公式独立重复试验中事件力恰好发生々次的概率P“k=/1-p严k=0,l,2,・・・,n球的体积公式台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高其中表示球的半径选择题部分共分40

一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则A.B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解因为全集，，所以根据补集的定义得,B由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角,学科.网由B]C]=技A]B]=2也A©=电1得cosZC[A]B]=[,siMC]A]B]=忑,所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二（I）如图，以AC的中点为原点，分别以射线3,0为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系-孙z.7由题意知各点坐标如下AQ-祗0）,B（l,0,0）,Ai（0,-4）耳（1,,2）1（0,祗1）,因此品L（1,祗2）人自=（1,祗-2）内乙=（0,2祗-3）,由得.由得.所以平面.II设直线与平面所成的角为.由I可知A^i=0,26,1,配=1,/,0上口1=02,设平面的法向量.由即可取./

一、属-n|J39所以sin=|cosAC n|=-z-------=——.13lACJ-lnl13因此，直线与平面所成的角的正弦值是.点睛利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

20.已知等比数列｛m｝的公比且3+〃4+5=28,44+2是〃3，5的等差中项.数列｛瓦｝满足数列｛5+1-为〃｝的前几项和为2层+〃.I求q的值；II求数列｛为｝的通项公式.【答案】III【解析】分析I根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，II先根据数列前〃项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.详解I由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.II设，数列前〃项和为.由解得.由I可知，所以bn+1-bn=4n-1”故bn-bn.1=4n-5•1n\n2,bn-bl=bn-bn.l+bn-l-bn.2+，，，+b3-b2+b2-bl=4n-5,-n-2+4n-9,-n-3H—4-7,-+

3.、口11111111-n99n设1=3+

7.5+]].£2+—+4]

1.

5.5・2,22,-T=3-7--2+-+4n-9--+4n-5•-11-1011n所以”口=3+4,Q+4•£2+…+4,_n2_4n-5,-nI1因此Tn=14・4n+3・qn■\n2,又，所以.点睛用错位相减法求和应注意的问题

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；⑵在写出“与“的表达式时应特别注意将两式“错项对齐,，以便下一步准确写出“,，的表达式；⑶在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

21.如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C J©上存在不同的两点A,3满足R1,尸3的中点均在上.（I）设AB中点为M,证明PM垂直于y轴；（II）若尸是半椭圆/+=1

（10）上的动点，求面积的取值范围.【答案】（I）见解析（）II（）（），【解析】分析I设的纵坐标为y.y y，根据中点坐标公式得PA.PB的中点坐标，代入抛物线方程P2（））可得打+y=2yo,即得结论，II由（I可得PAB面积为3PMi卜1-丫2|,利用根与系数的关系可表示|PM|.2，廿1-丫2|为y0的函数根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范详解（I）设，，.因为，的中点在抛物线上，所以，为方程即的两个不同的实数根.所以.因此，垂直于轴.（n）由（I）可知所以西|=；任；+丫1）-间=1-3%.因此，的面积s AP.=i|PM||-y|=苧4-4x）2-Y120因为，所以y-4xo=-4XQ-4XQ+4G[4,5].因此，面积的取值范围是.点睛求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式,复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.

22.已知函数人¥尸Tnx.（I）若二）在X2（xirX2）处导数相等，证明兀ri）切％2）8-81n2；（II）若tz3-41n2,证明对于任意k0,直线产丘+〃与曲线产/（x）有唯一公共点.【答案】（I）见解析（II）见解析【解析】分析（I）先求导数，根据条件解得如，X2关系，再化简1》）+於2）为，利用基本不等式求得取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（II）一方面利用零点存在定理证明函数有零点，另一方面，利用导数证明函数在上单调递减，即至多一个零点.两者综合即得结论.详解（I）函数/（X）的导函数，由得，因为，所以.由基本不等式得-后[=丙+行224区.因为，所以.由题意得f（xj+f（X2）=屈-InXi+网-lnx=-y/xix2-ln（x x）.212设，则，所以X0,161616,+oo+0—2-41n2所以g x在[256,4-00上单调递增,故gx]X2g256=8-81n2,即.II令m=,n-y则f加-km-a\a\+k-k-a0,f n-kn-a0,所以，存在xo£m,n使/xo=kxo+a,所以，对于任意的Q£R及%£0,+8,直线广辰+〃与曲线产f x有公共点.由/x得.设hx二,Inx-——-1+a则hx=2-gx-1+a,22X X其中g x=.由I可知g xg16,又〃S3-41n2,故-g x-l+QS-g16-l+〃=-3+41n2+QS0,所以〃x0,即函数0x在0,+oo上单调递减，因此方程/X-卮-4=0至多1个实根.综上，当4s3-41n2时;对于任意攵0,直线产丘+与曲线x有唯一公共点.点睛利用导数证明不等式常见类型及解题策略1构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.2根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.故选c.点睛若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.

2.双曲线的焦点坐标是A.-,0,,0B.-2,0,2,0C.0,-,0,D.0,-2,0,2【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为c2=a+b2=3+1=4,c=2，所以焦点坐标为，选B.点睛由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.

3.某几何体的三视图如图所示单位cm,则该几何体的体积单位cm3是A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2,底面为直角梯形，上下底分别为1,2,梯形的高为2,因此几何体的体积为选C.点睛先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.

4.复数i为虚数单位的共规复数是A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轨复数的定义确定结果.详解，，共规复数为，选B.点睛本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如a+bic+di=ac-bd+ad+bciabc,d€R.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共甄复数为.

5.函数产sin2x的图象可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解令，因为x GR,f（-x）=2nsin2（-x）=-2因sin2x=-f（x）,所以为奇函数,排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C,选D.点睛有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路

（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置,由函数的值域，判断图象的上、下位置；

（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复.

6.已知平面a,直线加，〃满足加a,则“〃2〃〃”是am//a的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛充分、必要条件的三种判断方法

（1）定义法直接判断“若则”、若则的真假.并注意和图示相结合，例如为真，则是的充分条件.

（2）等价法利用=与非=非，,与非=非，=与非=非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

（3）集合法若G则是的充分条件或是的必要条件；若=,则是的充要条件.

7.设0pl,随机变量4的分布列是012P则当p在（0,1）内增大时，A.D1）减小B.D（

①增大C.D（

①先减小后增大D.D（

①先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.」+2〃=+LP详解:21-p111199•••D©=+zC1-p--+-p+p+]・••先增后减，因此选D.点睛E0=£密声@=2（片任@丘=^2p E2©.i=l i=l i=lXi r

8.已知四棱锥s-A3co的底面是正方形，侧棱长均相等，£是线段A3上的点（不含端点），设SE与8C所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2,二面角S-A8-C的平面角为仇，则A.9E6W仇B.仇SO2soi C.£短仇D.0i030\【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解设为正方形A3CZ）的中心，M为A5中点，过£作3C的平行线ER交C于凡过作ON垂直EF于N,连接SO,SN,OM,则SO垂直于底面ABCD,OM垂直于AB,因此乙SEN=%/SEO=

9.ZSMO=9VSN SNSO SO从tflJ tan*—=tan0=—,tan=593EN OM2EO3OM因为，所以即，选D.点睛线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.

9.已知访b,e是平面向量，是单位向量.若非零向量Q与e的夹角为，向量b满足2—4e.A+3=0,贝1||〃-力|的最小值是A.-1B.+l C.2D.2-【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解设a=x,y,e=1,0,b=m,n,【答案】⑴.

82.11【解析】分析:将z代入解方程组可得X,，值.x+y=195x+3y=73点睛实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口.

12.若满足约束条件则的最小值是7T则由得a,e=|a|,|e|+y2,・・・y=士亚COS-X31,因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.点睛以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系,是解决这类问题的一般方法.

10.已知成等比数列，且21+2+23+4=卜21+叱+%.若,则A.B.C.D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解令则，令得，所以当时，，当时，，因此fxfl=0,・・・x21nx+l,若公比,则a1+22+%+%21+@2+23111a+a+a,不合题意；23若公比，则a1+a+a+a=a^l+ql+q20,234但lna]+a+a=Infall+q+q2]Ina10,23即a1+@2+23+3440vlna]+a2+a‘,不合题意；因此，・•・a1a[q2=a aa q2=a0,选B.35224点睛构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如exx+l exx2+lx

0.3非选择题部分共分110

二、填空题本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分

11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三,值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，J x=8详解v z=81y=n【答案】1,-2⑵.8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点42,2时取最大值8,过点84,-2时取最小值2点睛线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三,一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.

13.在△A3C中，角A,B,所对的边分别为a,b,c.若昕，b=2,A=60，贝U sinB=,c=・【答案】

1.

2.3【解析】分析:根据正弦定理得sin氏根据余弦定理解出c详解由正弦定理得，所以由余弦定理得a=b+c2-ZbccosA,二7=4+c2-2c”.c=3负值舍去.点睛解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

14.二项式的展开式的常数项是______________.【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第什1项，再根据项的次数为零解得匕代入即得结果.8-4r详解二项式的展开式的通项公式为T[+]=/烟*L*丁，令得，故所求的常数项为点睛求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略⑴求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.⑵已知展开式的某项，求特定项的系数,可由某项得出参数的值，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出特定项的系数.

15.已知2£R,函数“X）二，当加2时，不等式式幻＜0的解集是_______________.若函数7U）恰有2个零点，则2的取值范围是_____________.【答案】

（1）.（1,4）

（2）.【解析分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解•，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应I确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解由题意得或，所以或，即，不等式式x）＜0的解集是当人＞4时，f（x）=x-4＞0,此时f（x）=X2-4X+3=0,x=1,

3.即在（-8,入）上有两个零点；当（入54时，f（x）=x-4=0,x=4,由f x）=2-4X+3在（-8,入）上只能有一个零点得1v入，

3.X缥上，入的取值范围为（（）1,31U4,+co.点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路⑴直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；⑵分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；⑶数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

16.从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）【答案】1260【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有C；C；A+C；C；A；A=1260个没有重复数字的四位数.点睛求解排列、组合问题常用的解题方法

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；

（2）元素相间的排列问题——“插空法”；

（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；

（4）带有“含与不含”至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

17.已知点P（0,1）,椭圆+、2=加（加＞1）上两点A,B满足=2,则当〃2=时，点3横坐标的绝对值最大.【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A乃坐标间的关系，代入椭圆方程解得3的纵坐标，即得8的横坐标关于机的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解设，|±I W-X1=2\,1-71=2y-l A-y=2y-3,22,12因为A乃在椭圆上，所以22A4x2x23m・・・丁+2丫2-3~=m,・・・彳+@2-5一=了3XXI]与对应相减得丫2=—-—,x=-露112Tom+94,当且仅当时取最大值.点睛解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个或者多个变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

三、解答题本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18.已知角的顶点与原点重合，始边与九轴的非负半轴重合，它的终边过点P.I求sin Q+兀的值；II若角4满足sin a+夕=,求cos用的值.【答案】I,H或【解析】分析I先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，II先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.详解I由角的终边过点得，所以.II由角的终边过点得，由得.由得cosp=cosa+pcosa+sina+0sina,所以或.点睛三角函数求值的两种类型⑴给角求值关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.⑵给值求值关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

19.如图，已知多面体A8C431C1,AiA,BiB,GC均垂直于平面ABC,ZABC=120°4A=4,CIC=1,AB=BC=BIB=

2.9B（I）证明ABi,平面A/iCi；（ID求直线AG与平面所成的角的正弦值.【答案】（I）见解析（）II【解析】分析:方法一（I）通过计算，根据勾股定理得，再根据线面垂直的判定定理得结论，（II）找出直线AG与平面所成的角，再在直角三角形中求解.方法二（I）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为得此再根据线面垂直的判定定理得结论，（H）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解方法一（I）由AB=2,AA]=4%=2,AA11AB%1AB得，所以.故.由，得，由四=6=2,乙\3=120得，由，得，所以，故.因此平面.（II）如图，过点作，交直线于点，连结.由得m2+n2-4m+3=0,m-22+n2。