高中圆锥曲线知识点总结全面经典

高中圆锥曲线知识点总结全面经典高中数学椭圆的知识总结椭圆的定义椭圆是平面内一个动点到两个定点的P F1,F2距离之和等于常数时，动点的轨迹这两个PFl+PF2=2aFlF2P定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距需要注意的是，若则动点的轨迹为线段；若PF1+PF2=F1F2,P F1F2则动点的轨迹无图形PF1+PF2F1F2,P椭圆的参数方程当焦点在轴上时，椭圆的参数方程为x其中为参数；当焦点在轴上时，椭圆{x=a*cos0y=b*sinO,yo的参数方程为{x=a*sin y=b*cos0}o椭圆的几何性质椭圆的范围为；椭圆1-agxga-bgySb2的焦点为两个焦点土；椭圆具有对称性，有两条对称轴c,03一个对称中心四个顶点其中长轴长为x=O,y=O,0,0,ia,0,0,ib,短轴长为；椭圆的离心率为椭圆的形状由离心率2a,2b4e=c/a,e决定，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁e e$\lambdaA2=\frac{aA2}{a-cA2-aA2\frac{nA2}{mA2}}=\frac{mA2}{mA2-nA2}$o例已知椭圆$\八什@~丫八上的点16^{*2}{16}+\2}{9}=1$到直线的距离的最小值为多少？$l x+y-9=0$解设椭圆上的点为$入乂_丫_则直线的法线为0,0$,$1$其中$\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}-c=0$,因为在椭圆上，所以$c=\frac{9}{\sqrt{2}}$$P$o$\frac{x_0A2}{16}+\frac{y_0A2}{9}=l$$P$到$1$的距离为o$\frac{|\frac{x_0}{\sqrt{2}}-\frac{y_0}{\sqrt{2}}-c|}{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}}=\frac{|x_O-y_O-因此，问题转化为求9\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$$|x_O-y_O-o的最小值将9\sqrt{2}|$$\frac{x_0A2}{16}+\frac{y_0A2}{9}二1$改写为$y_O=\pm\frac{3}{4}\sqrt{16-x_0A2$,代入$|x_O-y_O-9\sqrt{2}|$,得$|x_O\pm\frac{3}{4}\sqrt{16-x_0A2}-9\sqrt{2}|$因为$x_0八2\leq16$,所$|x_O\pm\frac{3}{4}\sqrt{16-x_0A2}-9\sqrt{2}|\geq当9\sqrt{2}-\frac{3}{4}\sqrt{16}=9\sqrt{2}-3$0时,因此最小值为$x_0=0$$|x_0-y_0-9\sqrt{2}|=9\sqrt{2}$,$9\sqrt{2}-3$o例已知椭圆$\八八的左右焦点分别2frac{x2}{2}+y2=1$为」和若过点及的直线交椭圆$F O,1$$F_20,-l$,$Pl,-2$$F_1$于、两点，求$\论呼拒的面积$A$$B$0ABF_2$解:设$人解_丫_则直线」$的方程为1,1$,$Bx_2,y_2$,$PF即将$y-1=-\frac{1}{2}x-0$,$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$代入椭圆的方程，得$*八$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$2+2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}A2=2xA2-2x+1$0因为$A$、$B$在椭圆上，所以$x」A2+2y_l八2=2$,$x_2A2+2y_2A2=2$因为$\triangleo的面积为所以因F_1PF_2$$1$,$\frac{1}{2}|_1-x_2|=l$Xo此,$x_l=\frac{l}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}$,$x_2=\frac{l}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}$,$y_l=\frac{1}{2}\sqrt{2-x_lA2}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{7}}$,$y_2=\frac{1}{2}\sqrt{2-x_2A2}=\frac{l}{2}\sqrt{2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{7}}$0因此，的面积为$\年{$\triangle ABF_2$61}{2}|x_l-x_2|\sqrt{2-y_lA2}\sqrt{2-y_2A2}=\frac{1}{2}\sqrt{7}$0例当为何值时，直线与椭圆1$m$$y=x+m$八相交相切？相离$\frac{xA2}{16}+\frac{y2}{9}=1$解设直线的方程为将和分别代入$y=x+m$$y=x+m$,$x$$y$椭圆的方程,得$\代{*八价『即62}{16}+\a:{*+1112}{9}=1$,$25xA2+144mx+l44mA2-l296=0$因为直线$y=x+m$与椭圆相交，所以方程有实根，即$\上@=八01441112-25S101144m+25A2\cdot4\geq0$解得$-\firac{5}{12}\leq m\leqo当时，方程有重根，即直线与\frac{5}{12}$$\Delta=0$$y=x+m$0椭圆相切，即$或$当$m=\frac{5}{12}111=-\frac{5}{12}$0时，方程无实根,即直线与椭圆相离$\Delta0$$y=x+m$例若直线与椭圆2$y=kx+lk\in R$八八恒有公共点，求实$\frac{x2}{5}+\frac{y2}{m}=1m0$数的取值范围$m$解设直线与椭圆$y=kx+l$人八的交点为$\frac{x2}{5}+\frac{y2}{m}=1$$Px_0,y_0$,则$x_0$和$y_0$满足$\frac{x_0A2}{5}+\frac{kx_O+lA2}{m}=l$,EP$5+5kA2x_0A.第一段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为1“椭圆才与直线相交于、两点,点$m X”+n2=1$$x+y=l$$A$$B$是的中点已知的斜率为求椭$C$$AB$$AB=2\sqrt{2}$,$2^$$2$,圆的方程”.第二段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为2“设」$、为椭圆$*八才的两焦点，在椭圆$F$F_2$2/4+2=1$$P$上若的面积为$求的$\triangle F_1PF_2$1$,$PF_1\cdot PF_2$值”.第三段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为3“椭圆八的一条弦被平分，求这条弦所$x^2/36+y2/9=1$$A4,2$在的直线方程”.第四段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为4“设」$、为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，已知$F$F_2$$P$求此椭圆的$\angle PF_lF_2:\angle PF_2F_l:\angle F_1PF_2=1:2:3$,离心率”.第五段话已经没有明显的格式错误，可以直接改写为5“在平面直角坐标系中，椭圆的焦$xA2/aA2+yA2/bA2=lab0$距为以为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切$2c$,$0$$a$$c,0$线互相垂直，则离心率$e二$$\sqrt{cA2-a八2}/c$”.第一行应该是“定义平面内与两个定点的6$F_1$,$F_2$距离的差的绝对值是常数小于的点的轨迹叫做双曲线$F_1F_2$这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距双曲线的标准方程为$x^2/a八2-yA2/bA2=la0,b0$或者$yA2/aA2-xA2/bA2=1a0,b0$□双曲线是一种二次曲线，其标准方程为胡已八八$\62}{22}-\frac{yA2}{bA2}=l$,其中$a$和$b$分别为实轴长和虚轴长，中心点为原点焦点为」-和其中$0,0$,$F c,0$$F_2c,0$,$c=\sqrt{aA2+bA2}$为焦距双曲线的离心率为$e=\frac{c}{a}$,渐近线为两条互相垂直的直线$y=\pm\frac{b}{a}x$例点到焦点和的距离之差为1$P$$F_l0,5$$F_20,-5$$6$,求点所在的双曲线方程设点的坐标为$P$$P$$x,y$,则由双曲线的定义可得$依八丫-八411{*2+52}-\sqrt{x八2+y+5八2}=6$,移项并平方得到$yA2-\frac{9}{16}x八2二因此选项正确1$,$\textbf{B}$例双曲线的标准方程为八八2$\6^^2}{22}-\frac{yA2}{k}=l$,其中离心率$e=\sqrt{1+\frac{bA2}{a八2}}$,因此当离心率所以的范围为因此选项$eO$,$k$$0k3aA2$,正确$\textbf{B}$例设双曲线的标准方程为$\比{*八伽八362}2}-\frac{yA2}{bA2}=l$,则双曲线的两条渐近线方程分别为由于渐近线互相垂直，因此$y=\pm\frac{b}{a}x$o$\frac{bA2}{aA2}=l$,即$b=a$又因为离心率$e=\sqrt{1+\frac{bA2}{aA2}}=\sqrt{2}$,所以选项$\textbf{A}$正确例设双曲线的标准方程为$\僦卜八八462}{@2}-\frac{y八八则点到焦点和的距2}{b2}=1$,$P$$F_15,0$$F_2-5,0$离之差为$2b$,即$\sqrt{x-5A2+yA2}-\sqrt{x+5A2+yA2}=2b$又o因为所以$PF_1\perp PF_2$,」为等腰直角三角形，即$\trianglePF F_2$因此到轴的距离为$F_1P=F_2P=\frac{\sqrt{2}}{2}a$,$P$$x$又因为的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}a-b$$\trianglePF_1F_2$$1$,o解得Sib$\frac{1}{2}\cdot2b\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}a=1$,}$代入八$b=\frac{a}{\sqrt{2}$\sqrt{x-52+y2}-\sqrt{x+5A2+yA2}=2b$得$*八2-丫八2=23aA2$,因此选项正确$\textbf{A}$高考新课标文等轴双曲线的中心在原点,焦点

1.

[201210]C在轴上，与抛物线的准线交于两点，；x Cy2=16x A,B AB=43则的实轴长为CA2B22CdD8解析由于等轴双曲线的中心在原点，所以双曲线的方程为.因为焦点在轴上，所以.又因为与抛物x2/a2-y2/b2=l xb2=a2-16线的准线交于两点，所以抛物线的焦点为y2=16x A,B AB=43,8,0,则.将代入双曲线的方程中,得到所以实轴长为p=8p a=34,2a=2也选项为4,B【高考山东文】已知双曲线的离

2.201211C x2/2-y2/l=l心率为.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2p0C12,则抛,物线的方程为C2解析双曲线的离心率为所以即2,c=da2+b2=2a,.又因为双曲线的渐近线为所以双曲线b=Yc2-a2=46y=±l/42x,的右焦点为抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距242,0C2C1离为所以抛物线的焦点为加,±将焦点和代入抛物2,C222p线的标准方程，得到抛物线的方程为C2y2=16xo【高考全国文】已知、为双曲线的左、

3.201210Fl F2C:x-y=2右焦点，点在上，二则二P C|PF1|2|PF2|,NF1PF2COSA1/4B3/345C4D5解析双曲线的方程为即.又因为、C x-y2/2-l=l,x-y2=6Fl分别为』和所以的中心为设点的坐标为F2G13,1,C1,1P x,y,则的距离为巾的距离为农PF1x+l2+y-l2],PF2x-32+y-l2]0根据题意可得二即巾巾|PF1|2|PF2|,x+l2+y-l2]=2x-32+y-l2],化简得.由于3x-4y+7=

0、和在同一直线上，所以,Fl F2P NF1PF2=9O ZF1PF2=0,COS选项为E年高考湖南卷文科】设双曲线的

4.120H6x2/a2-y2/9=la0渐近线方程为则的值为3x±2y=0,aA.

4.B.

3.C.

2.D.1解析双曲线的渐近线方程为所以选项为3x±2y=0,a=3,B高考江苏分在平面直角坐标系中,若双曲

5.

[20128]5xOy线的离心率为则的值为.x2/m2-y2/m2-4=15,m解析双曲线的离心率为所以又因为双曲线的方5,c=5a程为所以二.将和代入x2/a2-y2/b2=l,b2a2-4c=5a b2=a2-4得到所以尸选项为c2=a2+b2,a=29,m=4a2+b2[45,E抛物线与直线的位置关系直线与抛物线相交于两点，则是的准线1C1C直线与抛物线相切于一点，则是的切线1C1C直线与抛物线没有交点，贝也是的外公切线1C C直线与抛物线平行，贝也与没有交点1C C线C当时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点;当k=01C时，根据联立方程法，直线与抛物线相交，有两个不同kRO1C交点；当时，直线与抛物线相切，有一个切点;当A=01C AV0时，直线与抛物线相离，无公共点1C并不一定若直线与抛物线只有一个公共点，可能是相切,也可能是相交于抛物线的顶点因此，需要进一步的分析和计算抛物线是平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的F1点的轨迹其中，点被称为抛物线的焦点，直线被称为抛物F1线的准线抛物线具有对称性，其顶点位于抛物线的对称轴上抛物线的方程有多种形式,如yA2=2px、xA2=2py、y=-x”/2p等其中表示焦点到准线的距离，离心率准线与焦点位于顶点p e=l,两侧且到顶点的距离相等点与椭圆的位置关系点在椭圆外部当且仅1Px,y当a2+b2l.直线与圆锥曲线的位置关系当时，直线与椭圆相1A0交；当时，直线与椭圆相切；当时,直线与椭圆2A=03A0相离例如，直线与椭圆恒有公共点，当且y-kx-l=O5x2+m2=l仅当m2s5/l+k2焦点三角形椭圆上的一点与两个焦点所构成的三角形弦长公式若直线与圆锥曲线相交于两点、且y=kx+b A B,分别为、的横坐标，则；若分xl,x2A BAB=«l+k2xl-x22yl,y2别为、的纵坐标，则；若弦所在直线A BAB=dl+yl-y22/k2AB方程设为x=ky+b,则AB=«1+k2y1-y22o圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解在椭圆中，以为中点的弦所在a2+b2=l Px,y直线的斜率k=-b2x/a2y抛物线的顶点到准线的距离为焦点到准线的距离也为p/2,焦半径为对于抛物线上的任意一点其到焦点的距p/2,p Axl,yl,离AF和到准线的距离AF满足AFA2=2p*AF抛物线上的任意一o条焦点弦其长度为以为直径的圆必与准线相切若AB,2p,AB的倾斜角为则抛物线的切线方程为AB a,AB=p/2sinacosa yy-2px或xx-2py需要注意的是，文章中存在大量的格式错误和明显有问题的段落，需要进行修改和删除同时，文章中的表述可以更加简洁明了，例如可以将焦点弦的几条性质合并到一起进行讲解,提高文章的可读性.如果椭圆弦被点平分，那么这条1R2/36+yA2/9=1A4,2弦所在的直线方程是；解析设弦的中点为过作椭圆的两条直径，分别交椭M,M圆于点、则弦的两端点、必定在上因为弦被点P Q,A BPQ A平分，所以的坐标为又因为在直线上，所以可以M4,2M PQ列出直线的方程，即过点和的直线方程为.PQ0,04,2y=x/2因此，这条弦所在的直线方程为y=x/

2.

2.已知直线y=-x+l与椭圆xA2/aA2+yA2/bA2=lab0相交于、两点，且线段的中点在直线上，则此椭A BAB Lx-2y=0圆的离心率为;解析因为线段的中点在直线上，所以AB Lx-2y=0AB的中点坐标为其中为常数又因为直线与椭圆相2k k,k y=-x+l交于、两点，所以可以列出方程组A BxA2/aA2+yA2/bA2=13=-x+1解得A、B两点坐标为2a八2/aA2+b八2-2ab/aA2+bA2+l和-2aA2/a+b八22ab/aA2+bA2+l由于线段AB的中点为2ko所以可以列出方程k,2aA2/aA2+bA2-2kA2+-2ab/aA2+bA2+l-kA2二2aA2/aA2+bA2+2kA2+2ab/aA2+bA2+l-kA2化简得到二八又因为椭圆的离心率为其中为k a2/b c/a,c焦距长，所以根据勾股定理可得八二八代入得到离心c2aO-b2,率为〈aA2-bA2/a

3.试确定m的取值范围，使得椭圆yA2/4+3xA2=1上有不同的两点关于直线对称；y=4x+m解析设椭圆上的两点分别为和且关于直Pxl.yl Qx

2.y2,线对称，则有以下两个方程y=4x+myl+y2=8x+2mxl+x2=8-3mA2又因为、在椭圆上，所以有以下两个方程P QylA2/4+3xlA2=1y2A2/4+3x2A2=1由于要求椭圆上有不同的两点关于直线对称，所以y=4x+m、不能重合，即.将和用和表示，代入P Qxx2,yl#y2yl y2xl x2方程组中，化简得到以下不等式0m43/4因此，的取值范围为m0W3/4特别提醒因为判断椭圆上是否有对称点需要用到关于直线的对称性，所以在列方程时要注意直线是否垂直于坐标轴共焦点的椭圆方程可设为frac{xA2}{aA2+m}+\frac{yA2}{bA2+m}=lm-bA2$,此类问题常用待定系数法求解判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据x y

①若把曲线方程中的换成方程不变，则曲线关于轴x$-x$,y对称；

②若把曲线方程中的换成方程不变，则曲线关于轴y$-y$,x对称；

③若把曲线方程中的、同时换成$/$、方程不变，则x y$-y$,曲线关于原点对称如何求解与焦点三角形△」$为椭圆上的点有PF$F$_2$P关的计算问题？思路分析与焦点三角形△有关的计算问题时，PF$_1$F$_2$常考虑到用椭圆的定义及余弦定理或勾股定理、三角形面积公式$S_\Delta PF_1F_2=\frac{1}{2}PF_l\cdot PF_2\cdot\sin\angle相结合的方法进行计算解题将有关线段」$、F_1PF_2$PF$、有关角PF$_2$F$_1$F$_2$,$\angle F_1PF_2$$\angle F_1结合起来，建立、PF_2\leq\angle F_1BF_2$PF$_1$+PF$_2$之间的关系PF$_l\cdot PF_2$如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化离心率$e=\frac{c}{a}$$Ocb$,用$a$、$b$表示为$—1-\frac{bA2}{aA2}$o显然当$\£献出}伯}$越小时,越大，椭圆形状$e$$0el$越扁；当$\£^出}但}$越大,越小,椭圆形状越趋近于$e$$0el$圆题型椭圆定义的运用1例.已知为椭圆1F$_l-3,0$,F$_23,0$,人比{「的两个焦点,过」$的直$\frac{x2}{25}+\62}{9}=1$F$线交椭圆于、两点若则A BF$_1$A+F$_2$B=12,AB=例.如果方程八表示焦点在轴的椭圆，那么2$x^2+ky2=2$x实数的取值范围是.$k$例

3.已知$P$为椭圆$\frac{xA2}{25}+\frac{yA2}{16}=l$上的一点，分别为圆八丫和圆$M,N$$6+32+A2=1$$x-八丫八上的点，则的最小值为32+2=4$$PM+PN$题型求椭圆的标准方程例、求满足下列各条件的椭圆21的标准方程.经过两点；1$A3,-2,B-2/3,l$经过点且与椭圆具有共同的焦点；2$2,-3$$9x”+4yA2=36$一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴3上较近的端点距离为$2\sqrt{2}-4$.例1已知三角形ABC中,$\angle A=30A\circ$,$AB=2$,若以、为焦点的椭圆经过点则椭圆的离心$S_{ABC}=3$,A BC,率为多少？解根据椭圆的定义，以、为焦点的椭圆的离心率为A B其中为焦距,为长轴的一半因为以、为$\frac{c}{a}$,$c$$a$A B焦点的椭圆经过点所以点在椭圆上，即又因C,C$AC+BC=2a$o为所以由海伦公式,得$\angle A=305circ$,$AC=\frac{AB}{2}=l$o$因此,BC=\sqrt{3}$$2a=AC+BC=1+\sqrt{3}$,$a=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$,$c=\sqrt{aA2-bA2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}A2-l}=\frac{\sqrt{3}}{2}$所以，椭圆的离心率为0$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}/\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\sqrt{3}+3$o例2过椭圆$\frac{xA2}{mA2}+\frac{yA2}{nA2}=l$的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于若为等腰F1P,$\triangle F1PF2$直角三角形，则椭圆的离心率为多少？解设椭圆的长轴为贝•］焦距为其$2a$,$c=\sqrt{aA2-bA2}$,中$b=\sqrt{aA2-\frac{nA2}{mA2}aA2}=\sqrt{aA2l-\frac{nA2}{mA2}}$因为$\triangle F1PF2$为等腰直角三角形,所o以$PF1=PF2=\sqrt{2}a$,EP$m-aA2+nA2/4=2aA2$联立以上两式，oA#$a=\frac{m}{\sqrt{2}}$,$b=\frac{n}{\sqrt{2}}$,$c=\frac{m}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{nA2}{mA2}}$因此，椭圆的离o心率为$\frac{c}{a}=\sqrt{2l-\frac{nA2}{mA2}}$例已知实数满足1:$x,y$$\frac{xA2}{4}+\frac{yA2}{2}=l$,则$xA2+y”-x$的范围是多少？解将$*八丫八改写为$欣-\尸丫八2+2-$6^{1}{2}2+2-因为所以\frac{l}{4}$$\frac{xA2}{4}+\frac{yA2}{2}=l$,$x-o\frac{l}{2}A2+\frac{yA2}{2}=\frac{5}{4}$因此，$O\leq x-0\frac{l}{2}A2+yA2-\frac{1}{4}\frac{5}{4}$,即$-\frac{1}{4}xA2+yA2-x\frac{1}{4}$例已知点、是椭圆2AB$\frac{xA2}{mA2}+\frac{y八2}{n八2}二1$上两点，且贝国等于多少$AO=\lambda B0$,lambda$解:设椭圆的焦距为$©$,则$2a=2m$,$c=\sqrt{aA2-bA2}=\sqrt{mA2-nA2}$$A=x_l,y_l$,$B=x_2,y_2$,则o$\frac{x_lA2}{mA2}+\frac{y_lA2}{nA2}=l$,$\frac{x_2A2}{mA2}+\frac{y_2A2}{n八2}二1$,$AO=\lambda B0$,即$依」-411{6cA2+y_lA2}=\lambda\sqrt{x_2+cA2+y_2A2}$将$x_l八2$和$x_2o八2$相减，得$x_l-x_2x_l+x_2=cA2\lambdaA2$因为$A$、在椭圆上，所以」,和满足$B$$x y_l$$x_2,y_2$$\frac{x_lA2}{mA2}+\frac{y_lA2}{nA2}=l$,$\frac{x_2A2}{mA2}+\frac{y_2A2}{nA2}=l$,以及$x_2cA2+y_lA2=aA2$,$x_2+cA2+y_2A2=aA2$将$x_l$和$x_2$表示成o$丫」$和$丫_的函数，代入以上三式，可得2$。