第05讲万有引力定律与天体运动（原卷版）

年强基计划物理专题讲解核心素养提升2020第讲万有引力定律与天体运动5知识精讲.万有引力1-万有引力定律的两个推论⑴质量为加、半径为的均匀球壳对距球心为八质量为〃的质点的万有引力为R220r/、b=1Gm\m/223Rt、，Gm贮n2Pm\R其中m\r=R3〈厂F=2质量为加、半x径R为R的均匀球体对距球心为八质量为〃22的质点的万有引力为-万有引力定律的应用

①天体表面的重力加速度g设天体质量为M且均匀分布，天体为圆球体且半径为R,物体质量为加,则Mm M故mg=G-^g=G~^K K

②关于天体质量和平均密度的计算设质量为力的行星绕质量为的恒星作匀速圆周运动的公转，公转的M半径为周期为由牛顿定律，恒星对行星的万有引力就是行星绕恒星作匀速圆周运动的向心力，故有r,T,厂4Mm乃2G------=mrr2T2由此可得恒星的质量为4/3厂GT2设恒星的球半径为则它的平均密度为R,412/M GT3兀/p——~—V4GFR71K3这个公式也适用于卫星绕行星作圆周运动的情况如设近地人造卫星的周期为因有上式就可以写成T,兀3这就很容易求出地球的平均密度了.天体的运动2

（一）开普勒三定律开普勒根据前人积累的行星运动观察资料总结出关于行星运动的三定律——开普勒三定律第一定律行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上第二定律行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积下面举一个例子详加说明为用数学式子表述第二定律，设径矢厂在时间内扫过的面积为则面积速度为由图可知，4AA,AA/A/,AA=—rArsin^2AA11故面积速度为——=常量-rsin9——=-rvsin9=At2At2式中为行星运动的线速度，为径矢〃与速度方向之间的夹角当行星位于椭圆轨道的近日点或远日点u u时，速度口的方向与径矢厂的方向垂直，即，故9=90AA11耳=年口近二不加了远5T2第三定律各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即」=k a开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动也适用于卫星绕行星的运动当半长轴与半短轴相等时，椭圆成为圆由开普勒第二定律可知，圆轨道运动必为匀速圆周运动,万有8引力提供向心力

（二）万有引力势能:质量为阳、半径为的均匀球壳对距球心为“〉）、质量为利的质点，相互作用的引力R R势能为昂=一色产r7o对放置在球内的质点，相互作用的引力势能为一常量，等于质点放置在球面时的势能，即场=一驾也（）就像mR,球体质量全部集中在球心一样

（三）宇宙速度对于绕地球作半径为厂的匀速圆周运动的卫星，由牛顿第二定律和万有引力定律可得GM mv2---------=m一r2rmg=GR2根据地球表面物体重力与引力的关系为地球半径卫星速率为R对于贴着地球表面运行的卫星r=Rv=y[Rg=J.9hv/s这就是第一宇宙速度，也就是发射卫星必须具有的最小速度利用能量关系，可求出从地球表面发射的宇宙飞般，为能挣脱地球引力的束缚，其发射速度必须满足典型例题题型一万有引力定律的计算例（华约自主招生）如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如

1.只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度（）一直增大A.一直减小B.先增大后减小C先减小后增大D.变式（清华大学自主招生）如图所示，半径为的均质球质量为球心在点，现在被内切的挖去了一个

1.R半径为R/2的球形空腔（球心在0，）在

0、，的连线上距离点为d的地方放有一个很小的、质量为根的物体，试求这两个物体之间的万有引力题型二万有引力定律的理解与应用例（浙江大学自主招生）假定地球为均匀球体，其半径为在地球表面测

2.Ro,得重力加速度为设为离开地球表面的高度达时的重力加速度当比小得多时，和可能的变化go,g hh Rog go关系近似式为（有数学近似公式当时，1-\~nxo一箭a g=Q-D g=g•变式（“北约”自主招生）两质量均为〃的小球，放在劲度系数为攵，原长为/的弹簧两端，自由静止释放

2.2设两个小球中心与整个弹簧都始终在一条直线上，小球半径r«/o⑴问仅在两球间万有引力的作用下，弹簧的最大压缩量为多大？⑵若体系整体绕中心以角速度外旋转，要求弹簧保持原长，口应为多大？题型三卫星的运行与变轨例.（华约自主招生）.已知地球的半径为地球附近的重力加速度为一天的时间为一已知在万有引力作用3R,g.下的势能公式为与二刃//，其中为地球的质量，〃为卫星到地心的距离.-GM M（）求同步卫星环绕地球的飞行速度；1（）求从地球表面发射同步轨道卫星时的速度至少为多少.2w变式（届预赛）宇航员从空间站（绕地球运行）上释放了一颗质量的探测卫星.该卫星通过

3.28m=500kg一条柔软的细轻绳与空间站连接，稳定时卫星始终在空间站的正下方，到空间站的距离已知空间站的轨l=20km,道为圆形，周期（分）.T=92min忽略卫星拉力对空间站轨道的影响，求卫星所受轻绳拉力的大小.i..假设某一时刻卫星突然脱离轻绳.试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点到地面的高度和ii卫星运行周期.取地球半径（）地球同步卫星到地面的高度为（）地球自转周期小R=

6.400xl3km,Ho=

3.6000x14,To=24时.题型四卫星的追及、相遇问题例.［多选］（.全国卷）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动当地球恰好运行42014I到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”据报道，年各行星2014冲日时间分别是月日木星冲日；月日火星冲日；月日土星冲日；月日海王星冲日；月日1649511829108天王星冲日已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（）地球火星木星土星天王星海王星轨道半径（AU）

1.

01.

55.

29.51930各地外行星每年都会出现冲日现象A.在年内一定会出现木星冲日B.2015天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半C.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短D.变式（“北约”自主招生）设一天的时间为地面上的重力加速度为地球半径为

4.7,g,Ro⑴试求地球同步卫星的轨道半径P RP⑵赤道城市的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星A P

①设的运动方向突然偏北转过，试分析判断当地居民一天内有多少次机会可看到掠过城市的上空

②P45P取消

①问中偏转，设从原来的运动方向突然偏西北转过，再分析判断当地居民一天能有多少次机会可看P105到尸掠过城市上空⑶另一个赤道城市的居民，平均每三天有四次机会可看到某卫星自东向西掠过该城市上空，试求的轨道B Q半径RQ题型五天体运动中的能量综合问题例（清华大学自主招生）卫星携带一探测器在半径为（为地球半径）的圆轨道上绕地球飞行在点，卫

5.3R R星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点距地心的距离为〃略小于）求卫星与探b3,测器的质量比（质量分别为、加的两个质点相距为〃时的引力势能为/外式中为引力常量）M-GMm G变式（届预赛）当质量为的质点距离一个质量为〃、半径为的质量均匀分布的致密天体中心的距离为

5.17m R厂（厂之R）时，其引力势能为与=-GM〃z/r,其中G=

6.67xl0f N・m

2.kg—2为万有引力常量.设致密天体是中子星，其半径R=10km,质量M=

1.5Mo（1M=

2.（）X1030kg,为太阳的质量）.O

17.7自转轴

（1）.IKg的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少？

（2）.在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为机，则反应中的质量亏损为

0.0072m,问1kg的原料通过核聚变提供的能量与第问中所释放的引力势能之比是多少？1接收器

（3）.天文学家认为脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图预所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉17-7冲星的电磁辐射试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限.变式（届预赛）一质量为的人造卫星在离地面的高度为的高空绕地球作圆周运

6.29m=3000kg H=180km动，那里的重力加速度由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降g=

9.3m.s-

2.已知物体在密度为的流体中以速度运动时受到的阻力可表示为工式中是=

0.50km.p vF F=pACv2,A2物体的最大横截面积，是拖曳系数，与物体的形状有关.当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系c数C=L取卫星的最大横截面积A=

6.0m

2.已知地球的半径为Ro=64OOkm.试由以上数据估算卫星所在处的大气密度.。