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集合的基本关系能在教材实例中了解集合的基本表示.（数学抽象）
1.能通过具体的例子掌握子集.真子集的表示方法.（逻辑推理）
2.,掌握与子集.真子集有关的参数的值的问题的解法.（数学运算）3为基础认知自主学习《•子集是如何定义的？一个集合中的元素与另一个集合之间有怎样的关系？
1.e田子集与真子集有什么区别？p心、
2.子集与真子集的概念与表示
1.子集真子集一般地,对于两个集合力与用如果集合力中的任对于两个集合4与用如果力胃B,并定何一个元素都是集合中的元素,即若忘则我84且好旦我们就说集合A是集合的6义们就说集合/包含于集合B,或集合包含集合44真子集集合A是集合B的子集.符号或B^A力崔夕（或B^A）.表示图Venn思考，（）若非空集合满足AJB,则两个集合元素个数有什么关系？1提示若非空集合满足八口,则/中的元素个数小于或等于中的元素个数.8⑵集合的包含关系与实数的大小关系有什么相似性？提示由集合与集合之间的包含关系，容易联想实数与实数的大小关系，可以类比学习.实数集合夕或力/=30/9=3【解析】选因为口则〃的值满足〃所以〃的最D.{2019,2020}{x£N|22020,小值为
2020.已知集合/=则集合力的非空真子集的个数为.
4.{2,0,1,9},【解析】由于集合/有个元素，故集合/的非空真子集的个数为42—2=
14.答案14教材练习改编集合必={引/一工一才+的子集的个数为.
5.32=0,d£R}【解析】因为A=9—42—3=1+430,所以才+有两个不相等的实数根，V—3x—2=0所以物恒有个元素，所以〃的子集共有个.24答案4设/是整数集的一个非空子集，对于口,如果任/且任那么是/的一个“孤立元，4A—14+144给定由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几S={1,2,3,4,5,6,7},S3个？【解析】由于/是整数集的一个非空子集，对于放如果任/且任那么是/的一44—14+144个“孤立元”，给定由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”S={1,2,3,4,5,6,7},S3的集合为共有个.{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7,5心且卫且力6=6467804=6b c—7^c/三夕且3W dW相等集合
2.对于两个集合力与反如果集合/中的任何一个元素都是集合中的元素,同时集合夕中的任何一F个元素都是集合力中的元素,这时，我们就说集合力与集合夕相等.记作力=笈思考，两个相等集合的包含关系是什么？提示两个集合相等，本质上就是说两个集合互为子集关系，即/=夕力且夕证明两个134集合相等时，可以转化为证明这两个集合互为子集即可.子集与真子集的性质
3.⑴子集的性质
①任何一个集合是它本身的子集，即力小7
②空集是任何集合的子集，即小
③传递性若BJC,则/qC⑵真子集的性质
①空集是任何非空集合的真子集，即若0,则小02
②任何一个集合都不是它本身的真子集；
③传递性若/聂反雇C,则力基C思考，如何表示空集与｛｝的关系？0提示元素与集合｛｝的关系为｛｝空集与非空集合｛｝的关系为｛｝000£0,000^
0.户基础小测..J辨析记忆对的打“，错的打
1.J”“X”若则/口14=84V提示因为集合满足力所以若力=反则力「笈74⑵若仁8则4=2X提示若则力或［笈=69⑶空集是任何集合的真子集.X提示空集是任何非空集合的真子集.⑷若力是任何集合的子集，则［=
0.V提示因为空集是任何集合的子集，所以若/是任何集合的子集，则4=
0.设力〉B={x\xa\,且/口氏则实数的取值范围为
2.={x|x l},a水alA.1B.aWl C.D.【解析】选如图，根据/之夕，在数轴上表示集合B,则B.4aWl.B A•---------------A067--------------1X教材例题改编已知集合[=B=C={x\x8,用适当的符号填空
3.{x|V—5x+6=0},{2,3},x£N},B.C.1224C.C.3{2}42【解析】集合力为方程的解集，即而水V—5x+6=02={2,3},C={x|8,x£N}={0,1,2,3,4,5,6,
7.故；频；⑶⑵基；1/=82/C C42£C答案⑵⑶建1=24e.能力形成■合作探究《类型一子集、真子集的判断逻辑推理、直观想象【典例】.已知集合则下列选项正确的是14={x|V—3x+2=o},力之力A.3£B.2e/C.{1}D.{1}£/【思路导引】集合力是方程的解构成的集合，故首先求解集合然后根据选项V—3x+2=04逐个判断即可.【解析】选由题意，集合/『—才+可得选项、、都不正确,根据集C.={x|32=0}={1,2},A BD合间的包含关系，可得是正确的.{1}=2指出下列各对集合之间的关系
2.B=x=l}.1/4={—1,1},{%^Z|2/={—1,1},8={—1,-1,-1,1,1,-1,1,
1.是等边三角形},是等腰三角形}.3/={x|x5={x|xB={x\44={x[—lx4},%—50}.【思路导引】根据集合中元素之间的关系判断两个集合之间的包含关系.【解析】用列举法表示集合夕={-故/=△11,1},⑵集合力的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，故/与之间无包含关系.86⑶等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故力之反⑷集合夕用数轴表示集合B,如图所示，由图可知/旦夕={x|x5},4-145解题策略判断两集合关系的关键及方法（）关键明确集合中的元素或其属性.1⑵方法
①列举法将集合中的元素一一列举出来.
②元素分析法从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，看是否是同一类元素.
③直观图表法利用数轴或图直观判断.Venn提醒注意与的区别.{0}0D跟踪训练\已知集合/=〈B—{x\则（）
1.{x|—l x2},0%1},A=B A窿B府A AjBA.B.C.D.【解析】选如图，利用数轴可看出任意但时，在£不一定成立，如故方建C.x=0,44~B~-1012xn1I i,p,1一“f已知集合M=\x\%=///+-,{x\x=-〃P=\x\x=--\--
2.,A-,£Z},则肌N,尸的关系为（）M=N（^P MJN=PA.B.C.M三NJP NJPJMD.【解析】选因为B.,,12;77,11M=\x\626^=ZZ7+r=—+T,zz/EZf,J,n底1/—11^=^1^=---=—+-,Zj,p=-x\）所以仁力.0gz,类型二子集、真子集的个数（逻辑推理）【典例】.同时满足
①〃）；
②且的集合物有（）1={1,2,3,4,56—个个个个A.9B.8C.7D.6【思路导引】由条件
②，先将集合中的元素分为组；然后根据集合物中所含元素的组数进行分{1,2,3,4,5}3类讨论，依次写出对应的集合即可.【解析】选因为
①〃{；C.1,2,3,4,5
②金物且当时，一肱363=163=5£当时，％当女=时，a=M.H=26—H=4£136—3E因为科至少有一个元素，所以满足题意的集合必有共有个集合满足条件.{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
7.设写出集合力的子集，并指出其中哪些是它的真子集.【思路导引】2/={x|V-16V+5x+4=0},根据子集中所含元素的个数进行分类，分别写出子集、真子集.【解析】由得则方程的根为或或x=
4.V-16x+5x+4=0,x—4x+1x+42=0,x=-4x=-1故集合力={-4,-1,4,由个元素构成的子集为
00.由个元素构成的子集为1{-4},{—1},{4}.由个元素构成的子集为2{—4,-1],{-4,4},{-1,4}.由个元素构成的子集为3{—4,-1,4}.因此集合/的子集为0,{—4},{—1},{4},{-4,—1},{-4,4},{-1,4},{—4,—L4}.真子集为0,{—4},{-1},{4},{-4,—1},{-4,4},{-1,4}.解题策略与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合/中含有〃个元素，则有力的子集的个数有个.12的非空子集的个数有个.202-1力的真子集的个数有〃一个.321力的非空真子集的个数有〃一个.422口跟踪训练“适合条件的集合力的个数是{1}£42{1,2,3,4,5}A.15B.16C.31D.32【解析】选由题意集合/就是集合的所有真子集加入元素因此其个数为4A.{2,3,4,5}1,2-1=
15.【补偿训练】三个非零且互不相等的实数b,若满足则称b,是等差的；若满足
1.a,c,a+c=26,a,119-+/=-，则称b,是调和的，若集合〃中元素/b,既是等差的，又是调和的，a bc则称集合P为“和谐集”，若集合M=一集合P={a,b,c\屋帐32020WxW2020,x£Z},则“和谐集”〃的个数为.【解析】三个非零且互不相等的实数b,c,满足满足,；由,；a,a+c=2b,+=-,+a bc ab/口2ab
八、、2ab2=一得代入a-\-c—2b,得a^~~T7nr,=26,c a-r ba-v b整理得，a-\-ab~2b2—Q,即因为所以c—4b.a+26a—b=0,a=—2b,因为M={x\~2P=[a,b,c\M,所以一020xW2020,x£Z},C2020W45W2020,得一由于b,是调和的，故505W5W505,a,c5W
0.所以整数的个数为,即“和谐集”〃的个数为62X505=
10101010.答案1010如何确定集合，桀，，劣}的子集？共有多少个子集？
2./={2,4…【解析】利用归纳法，猜想集合/西而…，为}的子集力=防}的子集为瓜},={a,0,共有2=24;A—的子集为:{囱},{包}，9共有2=个；{a,a}0,,{4/}24力={◎,次,为}的子集为{愈},{},，改,0,{4},E4},{a,},{@2,a},{8,续},共有个；按此规律，所以，，的子集共有个.2=84={a,,4…a}2类型三子集的证明与应用数学抽象、逻辑推理角度…子集的证明问题【典例】设集合〃〃求证A=BA={x|x=2n—1,n£Z},8={x|x=2+l,£Z},【思路导引】要证明力=氏只要证明/口昆且【证明】任取即〃〃〃金1x=2-1=2-1+1,Z.因为〃所以〃一所以王£区所以区£Z,1£Z,47任取即〃〃2x=2+l=2+l—L/eZ.因为〃金所以〃+所以所以夕口Z,l£Z,4由可知A=B.12角度…子集与参数问题2【典例】已知集合力=加工+君一勿+才+且/之氏求实{x|V—22=0},8={x|V—32=0},数力的取值范围.【思路导引】
①包括力建或A=B；33
②集合中的元素个数可以是40,1,
2.先用列举法表示集合昆然后分别就集合A中元素的个数转化为实数m的方程或不等式求解.【解析】由于集合工+仁凡可分以下三种情况4={x|f—32=0}={1,2],若此时有△之一〃—加勿-解得勿14=0,=44/2+2=48V0,
2.⑵若力基〃，且则/=⑴或/=⑵，此时所以勿4W0,A=4/77—8=0,=
2.代入方程解得符合题意，所以/={2},=
2.若此时/34=8={1,2},即是加勿的两个根，1,2V—2x+/—+2=0由根与系数的关系得且加2%=3,2—+2=
2.此时力不存在.综上所述，{勿为所求.I/2}变式探究♦若本例中集合/与不变，将集合换为夕才+如何求实数的取值范围？85={x|V—68=0},【解析】由于夕/=夕可分以下三种情况=3V—6x+8=0}={2,4},若力此时有△仞之一%加一解得加1=0,=4%2—4+2=480,V
2.⑵若/崔夕，且则/=⑵或/=⑷，止匕时一所以勿4W0,A=4/8=0,=
2.代入方程解得力=符合题意，所以勿{2},=
2.若，止匕时即是勿病一勿的两个根，由根与系数的关系得34=8/={2,4}.2,4/-2x++2=02%=6,且/〃,此时勿,综上所述，{/〃|勿或/〃为所求.2—/+2=8=3W2=3}解题策略证明两集合相等的方法
1.当集合A中的元素都属于集合B,且集合中的元素也都属于集合A时有A=B.8由集合间的关系求参数的思路与注意事项
2.⑴思路
①若集合中的元素可以一一列举出来，此时依据集合间的关系转化为已知方程或方程组的解，代入后求有关参数的值.
②若集合表示的是不等式的解集，常借助于数轴表示出已知集合，然后对含参数的解集在数轴上举例表示，确定参数的取值.⑵注意事项
①已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.
②在有关不等式的解集的参数问题中，特别要注意端点值能否取到.提醒因为故在解答含有字母的子集关系时，注意对集合的讨论.014D题组训练\设集合=〃一〃〃一〃贝
1.{x|x=21,£Z},/V={x|x=41,£Z},ljM^N rM M^N MA.B.A eC.D.yVc【解析】选对于弘当〃时，x=\k~\^N,当n=2k—l,kGD.=2A,A£Z x=4A—1时，x=4k—3£x=4k—3色N,所以集合机的关系为Z N已知集合力夕={是否存在实数使得是/的子集？若存在，求出集合B；
2.={1,3,-/},1,x+2},x,64若不存在，请说明理由.【解析】因为即夕的任意一个元素必是力的元素.若则符合题设；1x+2=3,x=l,⑵若x-\-2=—x,则x得得+%+2=0,f+1+%+1=0,x+14—x+1+x+1=0,x+1f—x+2所以或/一刀+无实数根，得此时与集合元素互异性矛盾.=0,x+l=0,2=0x=—l,x+2=1,综上可知，当时，B={1x=l/={1,-1,3},3}.9已知集合/=B={x\.
3.{x|1WxW2},若力基求的取值范围.18H⑵若〃求》的取值范围.=4【解析】⑴若力聂用由图可知a
2.--------——~—►02a x⑵若夕晨由图可知，〈4l aW
2.01〃2x,设集合物若加=则所有满足条件的的取值集合为.1={x|V—2x—3=0},N={x|ax—1=0},a【解析】由八二物，必={x|V—2x—3=0}={-1,3},N={x ax=\},得八—或后{—或代⑶.当八—{—时，由一得a01}1}=—1,a=-
1.™11当八，时，无解，即.当川=⑶时，由-得.故满足条件的a=0ax—1=0a=0=3,a3的取值集合为一，10,0答案-1,0,1设集合/=〃，/，〃夕=，p,q^Z},求证A=B.
2.{x|x=12/+8£Z},{x|x=200+16【证明】⑴任取Xi^A,即〃〃.当m,n同奇或同偶时，用=〃xi=12/7/4-8/7,/£Z,£Z20/+Ul~\~当加，〃一奇一偶时，（）77—5^1=20777—2+16X.乙因为，〃所以〒（〃同奇或同偶），£Z,eZ//7,乙L11—小+5/.g\且-----5£Z（力，〃一奇一偶）.乙所以名=p,所以为£夕，所以/墨笈200+160q£Z,（）任取用金昆即矛小pRZ,22=202+16q£Z.所以火（夕）因为夕q《Z,所以所以也=〃，m,2L,所以彭£所2=12,+8+2Q,£Z,A+2q£Z,12/+84以由（）（）可知A=B.
12.学情诊断,课堂测评《^―给出下列关系式
①/；
②（）；
③；
④，其中正确关系式的
1.e Q{1,2}={1,2}2£{1,2}{0}1{12},个数是（）A.0B.1C.2D.3【解析】选为无理数，故
①不正确；B./是以为元素的集合，（）可以看成是以点（）为元素的集合，故两集合不相{1,2}1,2{1,2}1,2等，所以
②不正确；由元素与集合的关系知正确，故
③正确；集合包含了一个元素26{1,2}{0}而集合，包含了元素所以故
④不正确.若集合々{）则，与0,{12}1,2,{0}/{1,2},
2.x|x2},^={y|yl,的关系为（）QJPA.g0B.P=Q以上都不正确C.D.【解析】选因为々Q=[y\yl}={x\x\],用数轴表示如下B.{x[x2},一P._1►12x所以QJP.若集合〃则〃的值满足（）
3.{2019,2020}[{x£N|xW},最大值为最大值为A.2019B.2020最小值为最小值为C.2019D.2020。
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