充分条件与必要条件练习题及答案

例1已知pX],X2是方程x+5x—6=0的两根，qX]+x2=-5,则p是q的[]A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换.解X J,X2是方程x+5x—6=0的两根，.,.X],X2的值分别为的—6,•・x]+x2=16=5•说明p=q.但事实上只要取】=-叼=-作为反例即可说明这一点.qRp,x2,3因此选A.说明判断命题为假命题可以通过举反例.例2p是q的充要条件的是[1A.p3x+25,q—2x—3—5B.pa2,b2,qabC.p四边形的两条对角线互相垂直平分，q四边形是正方形D.paWO,q关于x的方程ax=1有惟一解分析逐个验证命题是否等价.解对A.pxl,qxl,所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B.p=q但qRp,p是q的充分非必要条件；对C-p专q且q=p,p是q的必要非充分条件；对且即是的充要条件.选D.pnq q=p,poq,p qD.说明当a=0时，ax=0有无数个解.例3若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[]A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析通过B、C作为桥梁联系A、D.解YA是B的充分条件，，A=B

①TD是C成立的必要条件，・・・C=D

②,「是成立的充要条件，，

③C BCoB由

①③得A=C

④由

②④得A=D.・・・D是A成立的必要条件.选B.说明要注意利用推出符号的传递性.例4设命题甲为0VxV5,命题乙为|x—2|V3,那么甲是乙的[]A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解解不等式|x—2|3得一lx

5.V0x5=-lx5,但一1VxV5专0VxV5，甲是乙的充分不必要条件，选A.说明一般情况下，如果条件甲为x£A,条件乙为x£B.当且仅当A qB时，甲为乙的充分条件；当且仅当A=B时，甲为乙的必要条件；当且仅当A=B时，甲为乙的充要条件.例5设A、B、C三个集合，为使A,BUC,条件A星B是[]A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析.请同学们自己画图.解:A至B而B UC,AA^BUC.但是，当B=N,C=R,A=Z时，显然AgBUC,但A^B不成立，综上所述:“A吴B”=A^BUC”，而星午“A BUC”即“A$B”是“A$BUC”的充分条件不必要.选A.说明画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况.例6给出下列各组条件lpab=O,qa2+b2=0；2pxy20,q|x|+|y|=|x+y|；3pm0,q方程x2—x—m=0有实根；4p|x—1|2,qx—

1.其中p是q的充要条件的有[]A・1组B.2组C.3组D.4组分析使用方程理论和不等式性质.解（Dp是q的必要条件

（2）p是q充要条件

（3）p是q的充分条件

（4）p是q的必要条件.选A.说明ab=O指其中至少有一个为零，而a2+b2=0指两个都为零.x.3x.+x6_________条件.9是八x3避292分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系.解XI3且X23n X]+x26且X|X29,但当取X]=10,x2=2时,I x,+x6I x,3一9\成立，而c不成立（X2=2与X23矛盾），所以填“充分不[X X9623J243Xj—30说明:=x—30X239必要”.X,—3+x—30X1—3—30X22=X]+6X2这一等价变形方法有时会用得上.XjX—3X++90J X22例8已知真命题“a2b=cd”和“a〈b=eWf，则“cWd”是“eWf”的条件.分析・..a》bncd（原命题），•••cWdnaVb（逆否命题）.而a〈b=eWf,.•・cWd=eWf即cWd是eWf的充分条件.答填写“充分”.说明充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.例9ax2+2x+l=0至少有一个负实根的充要条件是[1A.0a^l B.alC.aWl D.OVaWl或a0分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息、，用排除法解之.当a=l时，方程有负根x=-1,当a=0时，x=故排除A、B、D选C.解常规方法当a=O时，X———当aWO时—2—/4—4aA

1.a0,则ax2+2x+l=0至少有一个负实根o02a0-00a

1.—2+/4—4a

2.a0,贝Mx2+2x+l=0至少有一个负实根0--------------02a=22q2=l—aloaV

0.综上所述a〈L即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a

1.说明特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.例10已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件,那么s,r,p分别是q的什么条件？分析画出关系图1—21,观察求解.xjP八！图1-21解s是q的充要条件；s=r=q,q=sr是q的充要条件；r=q,q=s=rp是q的必要条件；q=s=r=p说明图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系.例11关于x的不等式02|x—与x2—3a+lx+23a+lW的解集依次为A与B,问“AqB”是rWaW3或a=—1”的充要条件吗？分析化简A和B,结合数轴，构造不等式组，求出a.解A={x|2a^x^a2+1},B={x|x-2[x-3a+1]^0}当2W3a+1即a》a时，B={x|2WxW3a+l}.[2aN2A uB o〈olWaW39—[a2+lW3a+l当23a+l即a；时，B={x|3a+lWx2}f2a^3a+lA uB==a=T.一[a2+12综上所述A=B=a=—l或1WaW

3.“AqB”是“1，W3或a=—1”的充要条件.说明集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要理清思路，表达准确，推理无误.例12xy,xy0是V的必要条件还是充分条件，还是充x y要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系.解

1.当工〈4时，可得L—，0即匕^0x yx yxyy—x

0、y—x0或《xy0一[xy0,日「JxVy fxy即V八或八[xy0[xy0,11[xy故—一不能推得xy且xy0（有可能得到）,即xy且xyx y[xy00并非的必要条件.x yxyxy

2.当xy且xy0则分成两种情况讨论x0或x0y0y0X.不论哪一种情况均可化为x y，xy且xy0是,—的充分条件.x y说明分类讨论要做到不重不漏.例13设a,8是方程x2—ax+b=0的两个实根，试分析a2且bl是两根a,B均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p与结论q分别指什么.然后再验证是p=q还是q=p还是poq-|a2解据韦达定理得a=a+8,b=a B,判定的条件是p（1blVa1结论是qI〉]（还要注意条件p中，a,b需要满足大前提A=a2—4b20a11由《得@=a+82,b=a B1,B1・・・q=p.为了证明专可以举出反例取它满足2p q,Q=4,B=J.a=乙，〉但不成立.乙乙•+8=4+52,b=aB=45=2l,q上述讨论可知a2,bl是al,B1的必要但不充分条件.说明本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.例141991年全国高考题设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么[A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1由丙=乙二甲且乙专丙，即丙是甲的充分不必要条件.分析2画图观察之.答选A.说明抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。