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文本内容:
正弦、余弦定理一.教学内容正弦、余弦定理二.教学重、难点
1.重点正弦、余弦定理
2.难点运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题考点集结
一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a2=b2+c2-2Zcecos A,b2=c2sin Asin Bsin C+a2-lac cos B,c2=a2+b2-labcos C.变形形
①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;.b2+c2-a2cos A=;2bc式a bc a2+c2-b2cos B=;nlea
②sinA=-----,sinB=-----,sinC=------;「a2+b2-c2cos C=.2R2R2Rlab
③a:b:c二sinA:sinB:sinC;a+b+c a
④----------------------------=---------sin A+sinB+sin Csin A解决
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
①已知三边，求各角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他
②已知两角和它们的夹角，求的问题第三边和其他两个角两角a h注在A ABC中,sinAsinB是AB的充要条件V sinAsinB=^-------Oab OAB2R2R
二、应用举例
1、实际问题中的常用角1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角如图
①【试题答案】l.C
2.D
3.A
4.C
5.D
6.B
7.C
8.C
9.D
10.A二.
2.等腰三角形
3.45°4,30°三.
1.解:cosC=cos[zr-A+B]=-cosA+B=AB2=AC2・•・C=120°1+BC2-2AC-BC-cosC=b2+a2+ab=a+bf-ab=10a+b=2V3q=-a-bsmC=—3a-b=2a、人是x2_2j!x+2=0的两个根2a_c
2.解sin AsinC_csin A_10-sin45°=10V2sinC sin30°b_c.•布=B=180°—A+C=105°・I./=20sinl05°=5V6+V2cosA0cosB0cosC
03.解AABC为锐角A且lx522+32-20x213X32+X2-220X2x25+22-320Jx5,,V5xV131x54,解•/sin2A=sin2B+sin2C
1.=b2+c2J AANC为R/A且ZA=90・•・B+C=90°,B=900-C JsinB=cosCsin2B=—9由sin A=2sinB-cosC1=2sin B2sin B=——•8为锐角•••2J5=45°J C=45°•••是等腰直角三角形
（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图
②）注仰角、俯角、方位角的区别是三者的参照不同仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的
（3）方向角相对于某一正方向的水平角（如图
③）
①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向;
②北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似
（4）坡度坡面与水平面所成的二面角的度数（如图
④，角为坡角）坡比坡面的铅直高度与水平长度之比（如图
④，，为坡比）
2、A ABC的面积公式
（1）S=工・4（仅,表示边上的高）；111nhcL
（2）------------------------------------------------------------S=—absin C=—acsinB=—bcsinA=（R为外接圆半径）；22247
（3）S=gr（a+Z+c）（r为内切圆半径）【典型例题】［例1］已知在AA8C中，ZA=45°,a=2,=后解此三角形练习不解三角形，判断下列三角形解的个数
（1）a=5,b=4,A=120°
（2）7,b=14,A=150
（3）a=9,Z=10,A=60°
（4）c=50,b=72,C=135°正弦定理余弦定理的应用:例2:在AABC中，角所对的.边分ahc.若QCOsA=〃sinB,则sin Acos A+cos B=A.-B.-C.-1D.122练习在中，sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则/的取值范围是A0,-]B[-^C0,-]D l-./r6633利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围［例3］若4ABC的三个内角满足sin A:sin B:sin C=5:11:13则△ABCA.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.练习
1、在锐角△ABC中，BC=1,B=2A,则F的值等于，AC的取值范围为淅；/［=
2、在△ABC中，内角A,B,的对边分别为“，b,c,,VCV犯£=⑴判断△ABC的性状；
3、在△A5C中，cos25，3，b,c分别为角A,B,的对边，则△ABC的形状为=~2c^A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形⑵若|比［+83=2,求比i・3心的取值范围.利用正余弦定理求三角形面积例民k432009浙江文在AABC中，角A,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos-=—,25ABAC=
3.I求AA5C的面积;II若c=l,求的值.练习在AA5C中，角A3,所对的边分别为a,b,c，且满足$4=拽，AB AC=
3.25（I）求AABC的面积；（II）若b+c=6,求〃的值.正余弦定理实际应用问题//工伤!]53（本小题满分12分）如图，A,8是海面上位于东西方向相距//B D5（3+小）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，3点北偏西60的点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距2M海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达点需要多长时间？已知在AA3C中，ZA=45°,a=2,=痛解此三角形解由余弦定理得/+（逐了_2j在・cos45°=4•b2-2y[3b+2=0•h=43±l••••又
（6）2=〃+2—22A C...C°SC=±2,/=60或/=120°X COS/8=75或/5=15I.b=6+1,ZC=60°,NB=75或人=6―1,ZC=120°,ZB=15°[例4]已知〃、b、c是AABC中，NA、/B、/C的对边，s是的面积，若〃=4,b=5,S=56,求c的长度解S=—absmC=573=4,b=5,
2.「V3sinC——・•・
2.•・C=60或12/.当C=60°时，c2=a2+b2-ab=21/.c-V21当C=120°时，+〃2+〃〃=61c=即（〃+）
244.•・〃+cV2又a+cl la+c2［例6］在AA3C中，已知力=（百T）,C=30°,求、BoA43_a2+b2-c2cosC=cos30°=lab由余弦定理，2］24-25-/=®26—Q+2c=WL=a42c2=2-后/解V3—1〃_-1_6a由正弦定理sin AsinB sin30°sin B=V2sin30°=2V ab.AB.B为锐角，5=45°J A=\80°—45°+30°=105°［例7］已知AA5c中，2j5sin2A_sin2c=〃_〃sin5,外接圆半径为J51求/c2求AA8C面积的最大值解⑴由A-sin=a-/sin32夜£—=一切r-D・•・4R24斤2R JR=j2/.a-c=ab-b/.a+h—c—ab「a2+b2-c21cos C=-----------------=—lab2又0°C180°J C=60°i icS=—absmC=—x——ab=2遍sin Asin B2222=2百sin A-sin120°-A=273sin Asin120°cosA-cos120°sin A=3sin AcosA+V3sin2A=—sin2A-^-cos2A+^-222=73sin2A-30°+^y3V3c3-・•・当2A=120即A=60时，max21+sin23y=［例8］在AA5c中，角、B、C所对的边分别为a、b、c依次成等比数列，求sinB+cosBA的取值范围解•/b2-ac22222a+c—b ci+c-ac lac11cos B-==——I———lac2ac2c a22710B-31+sin25sinB+cos
32.大.f兀、y==----------------=smB+cosB=72smB+—sinB+cosB sinB+cosB471717/
2.71A一B——7i sinBT—W1•1yV2•••••4412•••24［例9］在AABC中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角解设=左一1,b=k,c=k+},k eN+旦k\「a2+b2-c2k—4cos C==0n•C是钝角，2ab2Z—1解得1女4k eN，k=2或3当％=2时，cosC=-l舍去J、cosC=——c=arccose——当％=3时，4J4/
1、arccos--/.最大角为4【模拟试题】（答题时间:60分钟）一.选择题
1.在AA8C中，一定成立的等式是（）A.asmA=bsinB.acosA=bcosBBC.asmB=bsh\A.acosB=bcosADcosA_b
2.在AABC中，若cosB a,则AABC是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形
3.已知AABC中，AB=1,BC=2,则/C的取值范围是（）兀TC T[TC兀TC（0,—]（0,—）（一,—]A.6B.2C,62D.
634.AABC中，若有〃=26出4，则8为（）7171712715一一——71——11A.3B.6C.3或3D,6或
65.AA5c的三边满足（+匕+）3+人_）=3次，则/C等于（）A.15°B,30°c,45°D,60°
6.在AA3C中，AB=3,BC=JB,AC=4,则边AC上的高为（）3V2373A.2B.2c,2,3百D
7.AABC中，sinA=sin8”是“二B”的（）条件AA.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
8.AABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则等于（）AA.30°,60°c.12（r.15CTBD
9.AABC中，B=30°,b=5°6c=150,则这个三角形是（）A.等边三角形B.Rr三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形a bc]____———k
10.在AA5C中，sin AsinB sinC,贝ij左二£A.2R B.R C.4R D.2R二.填空「13C OSO=—
1.在AABC中，已知〃=7,b=8,14,则最大角的余弦值为
02.在AABC中，sinA=2cosBsinC,则三角形为
03.在AABC中，ab:c=C+l2,则最小角为鼠=-^i=b2+c2-a24•若4V3，则A=o三.解答题
1.在AABC中，=，AC=b,,b是％一26%+2=°的两个根，且2cosA+3=1,BCa求1角C的度数2AB的长3AABC的面积
2.在AABC中，c=10,A=45°,C=30°,求、匕和
33.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，求工的范围
4.在AA5C中，若sin A=2sin3cosC,sin2A=sin2B+sin2C,试判断AABC形状。
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