全面天津大学《最优化方法》复习题含答案

天津大学最优化方法复习题含答案第一章概述包括凸规划判断与填空题max Jn1arg fx=arg1n［一/x1・7xeRn xeRn2max{/%:无£O屋R〃}=一min1/%:x£O=R〃}.x3没卜D=R〃—R.假设££R〃，对于一切XEH〃恒有/X*W/X,那么称£为最min优化问题的全局最优解.火/xxeD，4没f.D^R〃TR.假设£E存在x*的某邻域N,£,使得对一切恒有///次,那么称/为最优化问题而口的严格局部x ENKX*/XxeD最优解.X给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.5V非空集合D为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D.6c J非空集合D屋为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于7R J任意两个凸集的并集为凸集.8x函数为凸集上的凸函数当且仅当—/为上的凹函数.9V设了:屋为凸集上的可微凸函数，那么对有10R x*eD./X-/X*Vfx*7%-%*.X11假设cx是凹函数，那么={X£R〃cx20}是凸集V设卜”}为由求解而口的算法产生的迭代序列，假设算法为下降算法,12ABA AxeD那么对恒有fxfxX/Z e{0,1,2,…},k+i kL

二、简述题简单证明题1☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.☆第节中几个主要结论的证明.

5.2简单表达题2☆简述求解一般多目标规划的评价函数法的根本思想.•简述求解一般多目标规划的线性加权和法的根本思想.•简述求解一般多目标规划的理想点法的根本思想.•简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的根本思想.算法迭代时的终止准那么（写出三种）13o凸规划的全体极小点组成的集合是凸集14V函数=在点炉沿着迭代方向£氏〃\{进展准确一维线搜索的步长戊…15f Rd0}那么其搜索公式为.16函数f R在点P沿着迭代方向d£/〃\{0}进展准确一维线搜索的步长a2那么VfC+跖小）/屋=

0.17设d£/〃\{0}为点，〃处关于区域的一个下降方向，那么对于\/a0,Ba（）使得+adk D.e0,N xEX

二、简述题写出非准确一维线性搜索的公式1Wolfe-Powell怎样判断一个函数是否为凸函数.2（例如判断函数/（x）=x；+2%]%2+2%；一10%+5%2是否为凸函数）

三、证明题证明一个优化问题是否为凸规划.（例如1■1TT（）—x Gx+c x+bmin/x=判断Ax=b〔其中是正定矩阵）是凸规划.Gx0熟练掌握凸规划的性质及其证明.2第二章线性规划考虑线性规划问题cT xmins.t.Ax=b,x0,其中，c eR,A GR“n,bwR为给定的数据，A=m,mn.H rank

一、判断与选择题的基解个数是有限的.1LP V假设有最优解，那么它一定有基可行解为最优解.2LP V的解集是凸的.3LP V对于标准型的设由单纯形算法产生，那么对有cTxkcTxk+x.4LP,3}Ze{0,l,2,…},X假设为的最优解，为的可行解，那么5x*LP y*DP V/NZ/y*.J6设%是线性规划LP对应的基B=《,…,匕的基可行解，与基变量X，…,对应的标准式中，假设存在内.那么线性规划没有最优解0,LP X7求解线性规划的初始基可行解的方法.LP对于线性规划每次迭代都会使目标函数值下降.8LP,X简述题将以下线性规划问题化为标准型:1max/x=X|-2X+3x23S.t.+工+工X]23«6,工2,X]+2X+43N12%1-x+x2,23x0,x

0.23写出以下线性规划的对偶线性规划:匹+2x2max/%=3+x+4x234s.t.2x+x=4X+3X+6,}234—2X]+4X+3%3+23,9々，，X4~X],%

30.

三、计算题熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法〔包括大法及二阶段法〕.M见书本例（利用单纯形表求解）；251例（利用大法求解）；261M例（利用二阶段法求解）.

2.

6.2

四、证明题熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件〕及利用对偶理论证明相关结论第三章无约束最优化方法、判断与选择题设为正定矩阵，那么关于共规的任意〃+向量必线性相关.1GwRX G1V在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向.2X经典法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.3Newton X共粗梯度法与算法都属于族拟算法.4PRP BFGSBroyden NewtonX用算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，那么算法中产生的迭代方5DFP向一定线性无关.J共朝梯度法、共知梯度法、算法、及算法均具有二次收敛6FR PRPDFP BFGS性.X共辗梯度法、共辗方向法、算法以及算法都具有二次终止性.7DFP BFGSJ8函数/R在/处的最速下降方向为.求解的经典法在/处的迭代方向为pk=.xeRn9min%Newton假设/%在/的邻域内具有一阶连续的偏导数且可九*=那么/为的局部极100,小点.X假设/%在％*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且%*为/%的严格局11部极小点，那么G*=▽%正定.X求解的最速下降法在一处的迭代方向为/=.12min/%xeR求解的阻尼法在处的迭代方向为pk=.xwRn13min fxNewton P用牛顿法求解而口-xTGx+bTx bsR〃,时，至多迭代一次142xeR可达其极小点.X牛顿法具有二阶收敛性.15V二次函数的共朝方向法具有二次终止性.16X共辗梯度法的迭代方向为.17

二、证明题1设/H〃为一阶连续可微的凸函数，££R〃且Vfx*=o,那么/为min/x的全局极小点.xeRn2给定bwR11和正定矩阵GeR的.如果eR为求解min=的迭代点，尺〃\｛｝为其迭代方向，且-\/f{xkYdk%+8为由准确一维搜索所的步长,那么出dkTGdk2xeRn试证法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点.3Newton

四、简述题简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点.1简述共轲梯度法的根本思想.2

五、计算题利用最优性条件求解无约束最优化问题.131例如求解+~x2一玉一七min/x92用共轲梯度法无约束最优化问题.2FR见书本例

341.用共软梯度法无约束最优化问题.3PRP见书本例

341.31例如min/x=—%,2+~x2一七/一2百其中叫=0,07,^=

0.01第四章约束最优化方法考虑约束最优化问题NLPmin/xs.t.c x=0,i££={1,2,…，/},icx0,i£/={/+1,/+2,…,m},i其中，f,Cii=12・・・，m:RjR.

一、判断与选择题外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于1SUMT.X2使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（）的可行解.NLP X3在求解（NLP〕的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为.在〔〕中/=那么在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数为.4NLP0,5在（NLP）中/=0,那么在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为Q+1）,=，对ie{l,…，相}.在［）中根=/,那么在求解该问题的乘子法中，增广的函数为6NLP Lagrange________________________________________对于（）的条件为7NLP KT

二、计算题利用最优性条件条件求解约束最优化问题.1KT用外罚函数法求解约束最优化问题.2见书本例；例

4.

2.

2.用内罚函数法求解约束最优化问题.3见书本例

4.

2.

3.用乘子法求解约束最优化问题.4见书本例；例

4.

2.

8.

三、简述题简述外点法的优缺点.5SUMT简述内点法的优缺点.6SUMT

四、证明题利用最优性条件证明相关问题.例如设为正定矩阵，为列满秩矩阵.试求规划A^xTQx+cTx+aP min/x=s.t.bATX=的最优解，并证明解是唯一的.第五章多目标最优化方法

一、判断与选择题求解多目标最优化问题的评价函数法包括,1通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题.2J3设-R*那么尸在上的一般多目标最优化问题的数学形式为.4对于规划丫-min/（幻=（/（X），…“（%）），设％*e,假设不存在xeD^Rn使得（））且尸（幻（）那么为该最优化问题的有G Fx%*w FZ,l*X效解.J一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解.5J对于规划设%为相应于6xwDqR”力=附的权系数，那么求解以上问题的线性加权和法中所求解1,2,…,优化的目标函数为.利用求解（%）=（/（%）,.〃⑴尸的线性加权和法所得到的7v-min/・・解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解.V。