排列组合--插板法、插空法、捆绑法

排列组合问题——插板法分组、插空法不相邻、捆绑法相邻插板法为空得数量m【基本题型】a有个相同得元素，要求分到斥同得组中,且每组至少有一个元素,问有多少种分|n Im I II___________O O O—O O—OO—O____________O o法？一—一0图中“”表示相同得名额，””表示名额间形成得空隙，设想在这几个空隙中插入六块“挡板则将这个名额分10割成七个部分，将第

一、

二、

三、……七个部分所包含得名额数分给第

一、

二、三……七所学校,则“挡板”得一种插法恰好对应了个名额得一种分配方法，反之，名额得一种分配方法也决定了档板得一种插法，即挡板得插法种10数与名额得分配方法种数就是相等得，【总结】需满足条件个相同元素，不同个组，每组至少有一个元素，则只需在个元素得个间隙中A n m n n—1放置块隔板把它隔成份即可，共有种不同方法am-1m注意:这样对于很多得问题，就是不能直接利用插板法解题得但,可以通过一定得转变，将其变成符合上面个条件得问题，这样就3可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到得效果插板法就就是在个元素间得个空中插入若干个个板,可以把个元素分成组得方法、总应用插板法n n-1b nb+1必须满足三个条件这个元素必须互不相异1n所分成得每一组至少分得一个元素2分成得组别彼此相异3举个很普通得例子来说明把个相同得小球放入个不同得箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？103问题得题干满足条件适用插板法,12,C92=36下面通过几道题目介绍下插板法得应用a二次插板法e例:在一张节目单中原有个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加个节目，共有儿种情况人863—三个节目-o-o-o—o-o abc可以用一个节目去插个空位，再用第二个节目去插个空位，用最后个节目去插个空位a所以一共就是789c71Xc8种1Xc91=504【基本解题思路】将个相同得元素排成一行,个元素之间出现了个空档，现在我们用个“档板”插入个空档中，就nnn-1m—1n-1把个元素隔成有序得份，每个组依次按组序号分到对应位置得几个元素可能就是个、个、个、个、…、，n m1234这样不同得插入办法就对应着个相同得元素分到组得一种分法，这种借助于这样得虚拟“档板”分配元素得方n m法称之为插板法a【基本题型例题】【例】共有完全相同得球分到个班里，每个班至少要分到一个球，问有儿种不同分法a解析我们可以将1107个相同得球排成一行，个球之间出现了个空隙，现在我们用个档板”插入这个空隙中，就“把1010969个球隔成有序得份，每个班级依次按班级序号分到对应位置得几个球（可能就是个、个、个、个），这1071234样，借助于虚拟“档板”就可以把个球分到了个班中【基本题型得变形

（一）】107A AA题型:有个相同得元素，要求分到组中,问有多少种不同得分法解题思路:这种问题就是允许有些组中分到得n mA元素为，也就就是组中可以为空得对于这样得题，我们就首先将每组都填上个,这样所要元素总数就个，问“0”1m题也就就是转变成将（）个元素分到组，并且每组至少分到一个得问题，也就可以用插板法来解决an+m m【例】有个相同得球放到三个不同得盒子里，共有（）种不同方法、28A.35B.28C.21D.45解答:题目允许盒子有空，则需要每个组添加个,则球得总数为此题就有（）（种）分法了，18+3X1=11,C10,2=45选项为正确答案D【基本题型得变形

（二）】题型有个相同得元素，要求分到组，要求各组中分到得元素至少某个确定值（且每组得值可以不同），nmS s1,s问有多少种不同得分法？解题思路:这种问题就是要求组中分到得元素不能少某个确定值,各组分到得不就是至少为一个了对于这样得题，s我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应得确定值那么多个，这样就满足了题目中要求得最起码得条件，之后s我们再分剩下得球这样这个问题就转变为上面我们提到得变形

（一）得问题了,我们也就可以用插板法来解决a【例】个相同得球放入编号为、、得盒子内，盒内球数不少于编号数,有几种不同得放法？解析:编号3151231:A至少个，符合要求1编号至少个需预先添加个球，则总数2:21-1编号至少个，需预先添加个，才能满足条件，后面添加一个，则总数332-2则球总数个放进个盒子里15-1-2=123所以（）（种）C11,2=551例题1有颗相同晤f,每天至少吃颗，要天吃完，有多少种吃法？914解析原理同上，只需要用个板插入到款睡形成的个内部空隙，将软糖分成妣且39894每如数目不少于即可因而个板互不相邻，其方法数为13Co1练习］现有个完全相同的篮球全部分给个班级，每班至少个球，问共有多少种不1071注程:每组允许有零个元素时也可以用三才去,其原理不同.注意下题解;却^区别同的分法？［例题］将个完全相同的球放到个不同的盒子中，一共有多少种方法？83解析此趟中没有要求每个盒子中至少放一官，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入个板，分成三细但在分细的过程中，允许两块板之间没有球其考虑思维为插入两2块板后，与原来的个球一共个元素所有方法数实际是这个元素的一个队列，但因为8110球之间无差别，根之间无差别，所以方法数实际为从个元素所占的个位量中挑个位置1102放上个板，其余位置全部放球即可因此方法数为%2o注释特别注意插板法与捆绑法、插空渤返别之处在于其元素是相邮例题］一条马路上有编号为、、…

一、的九盏路灯,现为了节约用电，要将其中的1129三盏关拽，但不能同时关掉相邻的两茬或三盏,则所有不幽）关灯方法有多少种？解析要关掉盏灯中的但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的盏灯拿出93,3来，这样还轲6盏灯,现在只需把准备关闭的盏灯插入到亮着的盏灯所形成的空隙之间即可36盏灯的内部及两端共有个空，收方法数为067a【例题】一条马路的两边各立着口蓄电灯，现在为了节省用电,决定每边关掉盏.但为13了安全,道路起点和终点两边的灯必须是壳的，而且任意一边不自维续关掉两盏问总共可以有多少总方案？、、口As120B320C4D0420解折考虑一侧的关灯方法，盏灯关掉还剌盍，因为两端的灯不能关，表示盆103,73关掉的灯只能插在盏灯形成的6个内部空隙中,而不能放在两端,地方法数为0,7【例】个学生中，男女生各有人，选人参加数学竞赛1054⑴至少有一名女生得选法种数为o（）两人中最多只有一人参加得选法种数为2A.B解法名中选名代表得选法得种类:排除名参赛全就是男生:（排除法）1:104C104,4C$4C1°4-C4=205解法选女生时，选个女生时，选个女生时得选法，分别相加

2123.4（年国考真题）某单位订阅了份学习材料发放给个部门,2010303每个部门至少发放份材料问一共有多少种不同得发放方法（）

9、、A7B.9C.10D12解析:每个部门先放个,后面就至少放一个,三个部门则要先放义份，还剩下份来放入这三个883=2430-24=6部门，且每个部门至少发放份，则（）1C5,2=10插空法插空法就就是对于解决某几个元素要求不相邻得问题时，先将其她元素排好，再将所指定得不相邻得元素插入它们得间隙或两端位置首要特点就就是不相邻下面举例说明

一、数字问题【例】把组成没有重复数字且数字不相邻得五位数，则所有不同排法有多少种？1,234,5L2解析:本题直接解答较为麻烦，因为可先将三个元素排定，共有种排法，然后再将插入四个空位共有种排法，3451,2故由乘法原理得,所有不同得五位数有

二、节目单问题【例】在一张节目单中原有六个节目，若保持这些节目得相对顺序不变，再添加进去三个节目,则所有不同得添加方法共有多少种？解析:---六个节目算上前后共有七个空位，那么加上得第一个节目则有种方法；此时有七个节目,0-

0.0-0-o再用第二个节目去插八个空位有种方法;此时有八个节目，用最后一个节目去插九个空位有种方法由乘法原理得，所有不同得添加方法为:

三、关灯问题【例】一条马路上有编号网得九盏路灯,为了节约用电，可以把其中得三盏灯关掉，但不能同时关1,234,5,6,79掉相邻两盏或三盏，则所有不同得关灯方法有多少种？解析:如果直接解答须分类讨论，故可把六盏亮着得灯瞧作六个元素,然后用不亮得三盏灯去插七个空位（用不亮得3盏灯去插剩下亮得盏灯空位，就有个空位）共有种方法，因此所有不同得关灯方法为种67

四、停车问题【例】停车场划出一排个停车位置，今有辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同得停车方法有多少种？128解析:先排好辆车有种方法，要求空位置连在一起（剩下个空位在一起，来插入辆车，有个空位可以插），8489将空位置插入其中有种方法所以共有种方法

五、座位问题【例】个人坐在一排个椅子上,若每个人左右两边都有空位，则坐法得种类有多少种？解法:先拿出个椅子排385成一排，在个椅子中间出现个空，再让个人每人带一把椅子去插空，于就是有种543t例题】若有、、、、五个人排队，要求大和两个人也须不站在一起，则有多少A B C D E B排队方法？解析题中要求两人不^在一起，所以可以先将除和之外的个人排成一排，方法AB A B3数为空，然后再将和分别插入到其余个人排队所形成的个空中，也就是从个空中挑出A B344两个并排上两个人，其方法数为父，因此总方法数空儿二1例题1个人排成一队，要求甲乙必须木瞄且与丙不木龄5,有多少种方法？8解析甲乙相邻，可以捆绑看作一个元素，但这个整体元素又和丙不相邻，所以先不排这个甲乙丙，而是排剩下的个人，方法数为然后再将甲乙构成的整体元素及丙这西个元素插入至54,此前人所形成的个空里，方法数为另外甲乙西个人内部还存在排序要求为A;»故总方法数I56为小发贪»t练习］个男生个女生排成一排，要求女生不能相邻，有多少种方法？53注春将要求不相邻元素插入排好元素时，要雷^是否自矮插入两端位置【例题1若有五个人排队，要求和两个人必须不站在一起，且和As BsCs D,E AB AB不能站在两端,则有多少排队方法？解析原理同前，也是先排好、、三个人，然后将、查到、、所形成的两个C DE ABCDE空中，因为、不站西端，所以只有两个空可选，方法总数为封力，・ABJ注释对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻噫险法•不都向国捆绑法精要所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时先整体考虑,谕目邻元素视作一个整体参与排序然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序°1提醒其首要特点是梯^其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中【例题I有10本不同的书其中数学书4本，外语书3本，语文书3本若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种解析:这是一个排序问题，书本之间是不同的，其中要求数学书和外语书都各自在一起为快速解决这个问题，先将4本教学书看做一个元素，将3本外语书看做一个元素，然后和剩不的3本语文书共5个元素进行统一排序，方法数为A,然后排在一起的4本数学书之间顺序不同也时应最后整科非序不同，所以在4本书内部也需要排序，方法数为八,同理，外语书排序方法数为封而三者之间是分步速隹，故而用乘法原理得44旬［例题］5个人站成TL要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？解析先将甲乙两人看成1个人，与剩下的3个人一起排列，方法数为4,然后甲乙两个人也有顺序要求，方法数为封，因此站队方法数为川便，【练习】一台晚会上有6个演唱节目和4^^节目4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的舒F节目的顺序？注释运用捆绑法时，一定要主意捆绑起来的整体内部是否存在顺序的要求，有的题目有顺序的要求，有的则没有如下面的例题［例题］6个不同的球画5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？解析按照题意，显然是2个球放到其中一个盒子，另外4个球分别放到4个盒子中，因此方法是先从6个球中挑出2个球作为一个整体放到一个盒子中，然后这个整体和剩不的4个球分另州列放到5个盒子中，战方法数是C；A-o解答根据题目要求，则其中一个盒子必须得放个，其她每个盒子放个球,所以从个球中挑出个球瞧2162成一个整体,则有团这个整体与剩下个球放入个盒子里,则有乳方法就是加45排列组合中得解题方法之插板法

一、基础理论插板就是一个无形得东西即板子,它不能代表一个元素，它区别于插空法插板法就是用于解决“相同元素”分组问题判断插板法得题目主要瞧题干中得两个词语:

①相同元素

②至少为如果有这样两个词语一般此题就可以直1,接插板进行解题引例说明:春节前单位慰问困难职工，将份相同得慰问品分给名职工，每名职工至少要分得份慰问品，1061分配方法共有:、种种、种、种A84B.126C210D252【分析】此题第一眼给人得感觉就是能用列举法进行分类解题,但就是细一思考分类得情况太多了，不易计算，因为想用插板法解题一般就是分两类或三类而插板法就可以使这种为题迎刃而解利用无形得板子把其分割开来【解析】份慰问品相同且每人至少得份”，满足插板法得两个前提

①相同元素

②至少为故可直接使用“1011,插板法将份慰问品依次排成一条直线，我们用插板得形式把慰问品分给名职工，中间形成个空,插上第10691个板子，则第一个板子之前得分给第一名职工，在后面又插了一个板子,表示第个板子与第个板子之间得分给第12二名职工，依次类推，因为要分给个人，所以要插个板子，第个板子之后得分给第六名职工，所以只要板子655固定了，那么每名职工分几份慰问品就固定了所以分慰问品中间形成了个空;分给个人，插入个板;共有种分配方法10965=126注:估计有得同学会问,为什么第一个慰问品之前得位置与最后一个慰问品之后得位置不能放板子其实原因在于“每名员工至少分份慰问品”，如果在第一个慰问品之前得位置放板子那么第一名职工就一份分不到了，如果在最1后一个慰问品之后得位置放板子那么最后一名职工就一份分不到了

二、真题举例例.假设、、就是三个非零自然数，且有则共有多少组满足条件得解？1x yz x+y+z=36,、、A700B665C.630D.595【分析】此题可以瞧做就是块糖排成一排，即元素相同;由于、、就是非零自然数，即至少为问题:36x yz1,x+y+z=36,顺便瞧成个人来分这块糖满足插板法应用条件336【解析】根据题意，块糖内部形成个空位，分给三个人，需要插两个板子，故有种，而一种分法对3635=595应着一组解，如就就是一组解共有组解因此选x=l,y=l,z=34,595D例,将本没有区别得图书分到编号为得图书馆,要求每个图书馆分得

2101.

2.3图书数量不小于其编号数，问共有多少种不同得分法？A.12B.15C.30D.45【分析】根据题意，本没有区别得图书”即相同元素，“要求每个图书馆分得“10图书数量不小于其编号数“即号图书馆至少分本号图书馆至少分两本号图书馆至少分本，分析完题11,2,33意之后发现似乎不满足插板法得前提条件至少为类似得这种题目我们只需要适当变形就可利用插板法解题1,【解析】号图书馆至少分本，已经满足至少为,不用变形而号图书馆至少分两本，所以可从本中111210取出一本先给号图书馆而号图书馆至少分本,可以从本中取出两本书给号图书馆，所以在给出一本与233103两本，那么还剩下本，现在号,号,号图书馆至少在发放一本书就可以满足了，那么此时就可以用插板法解题7123所以答案就是二15小结:题目中一般有相同元素，至少为什么，此题都可用插板法解题,所以大家要不断熟悉插板法得应用

三、插板法与列举法得对比例个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同得分配方法？

3.10种、种、种A.34B36C40D42【答案】B【列举法】先每个班级分一个名额,然后剩下两个名额，

①如果两个名额分到一个班级里面则有,

②如果两个名额分到两个班级里面则有种分法，则共有8+28=

36.【插板法】个名额个空，插入个板，共有种分配方法1097例、某单位订阅了份学习材料发放给个部门，每个部门至少发放份材料问一共有多少种不同得发放43039方法？、、A.7B9C10D.12【答案】C【列举法】每个部门得材料数分布情况不同得分法种数种9,9,123种9,10,06种10,10,101所以共有种3+6+1=10【插板法】个部门每个部门先发份，让其满足插板法计算38,20—8X3=6,小结通过例与例来瞧，列举法可以叫做排列组合得通法，但就是遇到个别得题目必要时也要用插板法34。