北师大版九年级下册何时获得最大利润教案

年全国初中青年数学教师优秀课比赛教案2006何时获得最大利润教材北京师范大学出版社九年级下册第二章《二次函数》的第六节课时1课时授课教师成都七中育才学校程智娟

一、教材分析（教材地位及作用）教材中的函数是从探索具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，用于刻画变量之间关系的常用数学模型.函数的学习可以使学生感受事物是互相联系和有规律地变化着的，体会数形结合的思想方法.在本章前，教材通过探索变量之间关系，探究一次函数和反比例函数，已经逐渐让学生建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验.在本章的学习中，教材已研究了二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次函数最大（小）值的一些方法.本节课在稳固二次函数性质及识图能力的同时，进一步让学生掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力.本节知识具有承上启下的作用，既是前面所学知识的具体应用，又为学生在高中阶段进一步学习二次函数，以及用二次函数研究二次多项式、二次方程、二次不等式等知识奠定基础.

二、教学目标・知识与技能

（1）.能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.

（2）.由具体到抽象，进一步理解二次函数y=a/+以+c图象的顶点坐标与函数最大（小）值的关系，并明确当＜0时函数取得最大值，当＞0时函数取得最小值.・数学思考

（1）.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.

（2）.经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.・解决问题键.产250（件）.通过小结，使学生教师在学生小结的基础上作点评或补这节课所学的知识系充.统化，感性认识上升

1.求二次函数最大（小）值的方法为理性认识.

（1）.利用顶点坐标公式,求最大（小）值；

（2）.利用配方化为顶点式，求最大知（小）值；

（3）.利用图象，找顶点，求最大（小）识学生小结求二次函值.数最大（小）值的方小法和利用二次函数知

2.利用二次函数知识解决实际问题的步识解决生活中最大骤（小）值问题的步骤.在归纳解题步骤结中适当渗透简单的数学建模和算法思想.在矩形ABCD中，/户6cm,除12cm.点月从Z点开始沿相边向8点以每秒1cm的速度运动，点〃为满足不同学生的从点方开始沿玄边向C点以每秒2cm的速学习要求设计此题.度运动.如果尸、分别同时从46出发，学生讨论并做出答若时间允许，课堂上复完成.若时间不允许，设S表示△PDM的面积，x表示运动的时⑴.S46x+36鼓励学生课外探究.间.知0WW

6.第⑵问涉及到最小

1.求出S与x之间的函数关系式及自

2.当冗=3时，S值，对本节课内容进变量x的取值范围.识有最小值

27.行拓展的同时，为下

2.求出何时S的值最小，S最小值为多节课《最大面积是多少？拓少》作铺垫.展稳固课堂知识，提课后教材60页随堂练习第1题习题

2.7学生完成作业.高知识运用的熟练程作业第

1、2题.度.板书设计:

八、教学设计说明本节课根据新课标中提出的“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的开展〃的根本理念设计教学，主要表达在以下几个方面.

1.教学内容本节课以生活场景引入问题，通过探索思考解决问题，前后照应.表达了学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程的理念.

2.教学方法打破传统教学模式，采用“引导一一探究一一发现〃的教学方式，结合T恤衫销售、橙子产量、试销产品等实际问题的探究，希望通过师生互动、生生互动，共同解决问题，提高课堂教学效率，也表达教师是数学学习的组织者、引导者、合作者的理念.

3.学习方式本节课采用学生独立思考探索与合作交流的学习方式，通过积极主动的学习活动，使学生成为数学学习的主体.在学习的活动中培养学生分析推理、交流合作和解决问题的能力，并体会到在解决问题过程中与他人合作的重要性.

4.评价方式根据新课标的评价理念，教师既要关注学生学习结果，又要关注他们学习的过程，还要关注学生数学学习的水平和学生在数学活动中所表现出来的情感与态度.因此在本课教学中，我应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.

5.教学设计反思

（1）.本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法.在学生探索”何时获得最大利润〃的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，我引导学生进行了归纳总结，使感性认识上升为理性认识.

（2）.由于二次函数的最大（小）值还可能是自变量取值范围所在闭区间的端点所对应的函数值，按照新课标的要求，本节课只研究在二次函数顶点处取得最大（小）值的情况.结合我班学生实际，学生有可能提到闭区间上的最大（小）值问题，如果提出，我打算在课外辅导简单讲解，否则就不提此问题.

（3）.在引例中，若学生提到用图象来求最大利润问题，结合实际背景，图象应由一些不连续点构成，教材上没有给出此题图象.若学生提到此问题，我打算简单讲解，否则就不提此问题.

（4）.在小结利用二次函数知识解决生活中实际问题的步骤时，为渗透简单的数学建模和算法的思想，我给出了一个解决生活中实际问题的框架图，以帮助学生理解和总结.以上就是我对这节课的设计和思考，请各位专家指导，谢谢!能将生活中的某些简单实际问题转化为二次函数模型，并能熟练运用二次函数知识解决这些实际生活中的最大（小）值问题.•情感与态度

（1）.通过对实际生活中最大（小）值问题的探究，认识到二次函数是解决实际问题的重要工具.

（2）.积极参加数学活动，开展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.

三、教学重难点・教学重点

（1）.探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润〃的意义.

（2）.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识求出实际问题的最大（小）值，从而得到解决某些实际生活中最大（小）值问题的思想方法.•教学难点从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题.

四、教学方式引导一一探究一一发现

五、学情分析九年级学生已初步掌握函数的基础知识，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的初步经验.由于年龄特征，他们借助直观图象更容易理解抽象的函数问题.我班学生思维较为活泼，在“引导一一探究一一发现〃式的课堂教学中能积极参与讨论问题，大胆发表自己的见解和看法；但同样也存在审题不仔细、考虑问题不全面等缺乏.

六、课前准备教具教材，课件，电脑学具教材，练习本，铅笔，三角板

七、教学过程:教学教师活动学生活动活动说明环节从生活中“T恤衫销售〃情景引入“何用多媒体对教材进时获得最大利润〃问题.行再创造，再现某商店经营T恤衫，成批购进时创、t-f单价是20元.根据市场调查，销售生活中“T恤衫销设量与销售单价满足如下关系在一段售〃情景，并对教生学生观看情景动时间内，单价是35元时，销售量是材上的数据进行了活

131.600件，而单价每降低1元，就可以修改，更贴近实际情多销售200件.若设销售单价为水20生活，帮助学生理境WxW35的整数元，该商店所获利润为y解题意，激发学生的学习热情.元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？

1.教师提问为了让学生明确学生独立思考答

1.此题主要研究哪两个变量之复第⑴问:研究的是哪两个变探间的关系，哪个是自变量，哪个是因销售单价为自变量之间的关系，补变量.量，所获利润为因变充第⑴问.索量.此问建立在学生已有知识基础上，学生思答复较为容易，鼓励学生独立思考完成.考

2.销售量可以表示为__________；同桌两人在独立第⑵问，为了更销售额销售总收入可以表示为;思考完成后，通过相容易找到两个变量间互交流结果答复第的函数关系式，先列2问，将不同结果写代数式，要求学生独在黑板上.立思考完教师进行点评，得出答案，强调结果成.然后同桌两人讨要化为最简形式.论，允许学生间有不7600-200^；同意见.7600^-200/；所获利润与销售单价之间的关系探式可以表示为;再让学生列出利学生根据题意，列润与单价的函数关系出此实际问题的函式，将实际问题转化数关系式索p=200/+11600^为数学模型.152000（20WxW35的整数）

（3）.当销售单价是元使学生感受到时，可以获得最大利润，最大利润是学生观察函数关“何时获得最大利元.系式，独立思考后讨润〃就是在自变量取在解决第

（3）问中，先引导学生观察论得出“何时获得值范围内，此二次函得出此函数为二次函数，再引导学生探最大利润〃就是求在数何时取得最大值问索思考”何时获得最大利润〃的数学意自变量x（20WxW35题.义.的整数）取何值时二次函数的P值最大.

2.探索求该二次函数最大值的方法.教师鼓励学生大胆猜测，发表不同意在本章前面的学见.习中，学生已初步了

（1）.将炉一200,反11600,c=-解求特殊二次函数最学生可能会提出152000代入顶点坐标公式大（小）值的方法.利用顶点坐标公式鼓励学生大胆猜测、b4ac-b2求y的最大值；）得:2a4〃探索求此二次函数最大值的方法.116009=22a2x-200^ac-b2学生也有可能会此函数图象往往是相4〃利用配方法将此二次应二次函数图象的一_4x-200x-152000-11602函数化为顶点式，求局部.-4x-200y的最大值;=

16200.当户29时，p的值最大，最大值为

16200.学生还可能提出

2.y=200/+11600^152000画出图象求p的最大=200x29T+

16200.值的方法.当产29时，y的值最大，最大值为

16200.

3.如果学生提出利用图象求此二次函数最大值，教师利用多媒体课件作出此二次函数图象学生思考并作出答复受自变量取值范围的限制，该题的图象应为二次函数图象的一局部.由于研究y=x,产一岁的最大小值时，教师提问在此函数图象上怎样表教材是利用图象让学达销售单价x为20W%35的整数？生分析理解的，因此学生很可能会提到利用图象来求y的最大值的方法.通过此问题的设置，让学生体会实际问题中自变量通常有取值范围的限制，因教师对学生的答复作出补充或纠如果学生提到由于结合此题的索正.结合此题的实际背实际背景，自变量x景，销售单价为整数，的取值范围为20教师讲解:我们只是利用此二次函数图对应的利润值也为整WxW35的整数，图象象帮助分析，图象上的点并不全满足题思数，此题的图象应由应由此二次函数图象意.二次函数图象上一些上一些不连续的点构不连续的点构成.成，对于此问题，如考果学生提出给予简单讲解，若未提出，则不提此问题.通过探索求此二次函数最大值方法的过程，进一步让学生明确此二次函数的最大教师对这三种求此二次函数最大值的值就是顶点的纵坐标方法都给予肯定（根据学生答复情况调整值.探索三种方法的顺序）.学生验证让学生明确在运用根据实际问题的意数学知识解决实际问义，检验自变量的这题时，要注意与实际问一取值是否在取值范背景相结合.解决问题围内.通过“提出问题题当销售单价X是________________元——解决问题〃的过时，可以获得最大利润外最大润当销售单价是29程，前后照应，稳固解y是_____________元.兀时，可以获得最大已学知识，并让学生利润是16200元.体会二次函数是解决决实际问题的一类重要数学模型.同学们利用已学过的知识解决了“何时获得最大利润〃问题.教师进一步提出怎样来求一般二次函数的最值呢？由于前面研究的是a0的二次函数，因此先观察此类函数图象.学生观察二次函数图象，验证归纳得出当时，二次函数最大值是顶点的纵坐标归纳求值；当aX时，二次函数的最小值也是顶点次函数有了a0的二次函的纵坐标值.最值的数最大值的验证过程后，学生很容易归纳般方法出aX）的二次函数最小值也是顶点的纵坐标值.最后归纳出求二次在此过程中鼓励学生相互补充.函数最大（小）值的通过对一般二次函方法数最大（小）值问题

（1）.配方化为顶点的探究归纳，让学生式求最大（小）值；再次明确二次函数的

（2）.直接带入顶点最大（小）坐标公式求最大（小）值就是顶点的纵坐标值；值，使学生明确求二

（3）.利用图象找顶次函数最大（小）值的三种方点求最大（小）值.法.

1.在本章第一节“种多少棵橙子树〃的学生答复问题中，我们得到表示增种橙子树的数量

1.y=5（『10）2+X（棵）与橙子总产量y（个）的二次60500,当后10时,产第1题运用求二次函数表达式为y=-5x2+100X+60000，

60500.函数最大值的方法解知也曾用列表的方法得到一个猜测当产此外，学生还可以决橙子最大产量问题，10时，橙子的总产量最多.现在请你验证利用顶点坐标公式、验证本章第一节所提一下你的猜测是否正确.你是怎样做的？图象求该二次函数最出的问题中猜测的正识与同伴交流.大值.确性.

2.如图，假设篱笆（虚线局部）的长度是15米，四边为x米，所围成矩形的面运积为y平方米.用

（1）.写出y与x的关系式；

（2）.利用函数图象描述篱笆所围成的矩形面积与48的长之间的关系；

2.

（1）.y=f+i5x（0X15）

（2）.引导学生分第2题第⑵问,教师析图象得到当x

7.5利用多媒体课件绘制时，所围成矩形的面该二次函数图象，学积随着46的增大而增生利用图象直观分析，大；当x

7.5时，所体会数形结合的思想围成矩形的面积随着方/夕的增大而减小.法，再次感受二次函数的最大值是图象顶点的纵坐标值.

（3）.当/夕为多少米时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上？结合

（3）.当5cm AB第

（3）问通过设置图象进行分析.10cm时，可以使篱由函数值求自变量取教师利用多媒体展示该二次函数大致笆所围成的矩形面积值的问题培养学生的图象.在50平方米以上.逆向思维.

3.某公司试销一种本钱单价为500元/件

3.

（1）5-1+150S与x之间无直接的新产品，规定试销时的销售单价不低于Ox联系，必须通过中间本钱单价，又不高于800元/件，经试销500000变量y进行代换，因调查，发现销售量y（件）与销售单价x此确定S与x之间的（500WxW800,x为（元/件）可近函数关系是解决此题整数）.似于一次函数的关⑵.S=（X750）产一x+1000（500WxW800,x为整数）.2+设公司获得毛利润（毛利润=销售总价一

62500.本钱总价）为S元.当户750时，S最大

（1）.使用销售单价x表示毛利润S；值=62500,此时

（2）.若你是试销员，要使公司获得最大针对我班学生能力的毛利润，销售单价应定为多少元？此时较强，思维比较活泼最大毛利润是多少元，销售量是多少件？的特点，补充了一题综合利用一次函数和二次函数知识求最大毛利润的练习，进一步培养学生的数学阅读能力和知识综合运用能力.。