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第六节正弦定理和余弦定理高考试题核心素养考占考查内容/、、、J2017•全国卷I・TU・5分正弦定理数学运算逻•全国卷分正、余弦定理2016I-T4-5正弦定理和余弦定理辑推理全国卷分正、余弦定理，面积公式206I T1712以选择题或填空题的形式考查利用正弦定理、余弦定理解三角形以及命题分析三角形的面积公式应用；以解答题的形式考查正、余弦定理与三角函数的综合.课前•同撷敖材“提黛融会赞遍我稳操胜券后知识清单正弦定理
1.什丘卷=2R,其中H是三角形外接圆的半径・由正弦定理可以变形⑴abc=sin A:sin3:sin C；24=2Rsin A,Z=2Rsin B,c=2Rsin C.余弦定理
2.层=〃+c2-2Zccos A；-2=/+才2「ccos8；c2=层+〃一2abeos C.余弦定理可以变形b2+c2—a2a2+c2~b2a2-bb2—c2ssA=2bc；-8=2ac；cos lab-三角形中常用的面积公式
3.表示边上的高；l5=^/z/z a25=^/csin A=Qcsin B=^absin C；为三角形的内切圆半径；3S=ka+b+cr其中+匕+4S=d pp—ap—b%p—c p=3c.提醒辨明两个易误点
1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他1的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论.⑵在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
2.在△ABC中常有以下结论lZA+ZB+ZC=7i.在三角形中大边对大角，大角对大边.2任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.3,,A+B C A+B4siny4+B=sin C；cosA+8=—cos C；tanA+B=—tan C；sin--=cos^；cos-5-.C=siny.5tan A+tan8+tan C=tan A-tan B-tan C.6NAN30a/Osin Asin50cos Acos B.小题查检
1.判断下列结论的正误正确的打“J”，错误的打X”1在△ABC中，若sinAsinB,则A
3.⑵在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.3在△ABC中，有sinA=sin5+C.a~\-b-c在中45csin Asin A+sin B—sin5在△ABC中，若/+2,2,则△ABC为钝角三角形.公式适合求任意三角形的面积.6S=3asin C⑺在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.答案1J2X3V4V5V6V7V
2.教材习题改编在△ABC中，若sirA+sir^vsii，则△ABC的形状是锐角三角形直角三角形A.B.钝角三角形不能确定C.D.解析选由正弦定理，得为=$抽代入得到C4,^=sin B,£=sin C,ZA Z/\Z/\/+〃一由余弦定理得——〈°，cos C=Y~l ex所以为钝角，所以该三角形为钝角三角形.C
3.教材习题改编在△ABC中，A=45°,C=30°,c=6,则等于A.3^2B.672C.2^6乖D.3也解析选由正弦定理得看，所以〃=B5=SiuZ1bin Lz6X6sin45°sin30°4（.教材习题改编）在△ABC中，已知A=60，3=75，r\—j—=6^
2.则c=20,4=解析C=180°-A+B=l80°-60°+75°=45°.csin A20X sin60°由正弦定理,得〃==1V
6.sin Csin45°答案10\后
45.（2018・潍坊检测）已知m b,c分别为△ABC三个内角4B,的对边，若cos8=不的面积为贝6/=10,/XABC42,Uc=3则又Sz^48C=gacsin3=42，c=
14.解析依题意可得不sin8=答案14课堂•考点突破忏生互动讲练结合重难我掌握公疝考点❶正弦定理、余弦定理的应用［析考情］正、余弦定理的应用原则（）正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过1约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.（）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.2［提能力］若【典例】（2017•全国卷ll）Z\A8C的内角A,B,的对边分别为m b,c,2bcos B=tzcos C+ccosA，贝ij B=.解析方法一由及正弦定理，2Zcos B=QCOS C+ccos A得2sin3cos3=sin Acos C+sin Ccos A./.2sin Bcos B=sinA+C.又A+3+C=%/.A+C=TI—B.兀A2sin Bcos8=sin-3=sin B.7TB=3,又「.sin BW0,cos B=J,方法二•.•在△ABC中，acos C+ccos A=b,，条件等式变为2bcosB=b,・・cosB=2«71又03兀，•*.B=~^.答案:f[刷好题]
1.在△A3C中，a,b,c分别是内角A,B,的对边.若bsin A=3csin B,a=3,cosB=|,则/=A.14B.6C.D.y[6解析选D Zsin A=3csin B^ab=3bc^a=3c^c=1,b1=a1-Vc1—2accos B=9故选+1-2X3X1X^=6,b=y[6,D.•全国卷的内角的对边分别为已知，则
2.2017lllA43C A,B,C a,b,c C=60b=#,c=3,4=.、历3\[6解析如图，由正弦定理，得氤=聂，・・・sin8=¥.又c〃,.\B=45°,A=180°-60°-45°=75°.答案75°考点❷利用正、余弦定理判断三角形形状［明技法］判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则化边通过因式分解，配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.1化角通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用2=兀这个结论.4+8+［提能力］【典例】设△A3C的内角A,B,所对的边分别为a,b,c,若/cos C+ccos8=asin则的形状为A,8cA.锐角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定解析选依据题设条件的特点，由正弦定理，得有B sinBcos C+cos8sin C=sin2A,JTsinB+C=sin2A,从而sin8+C=sinA=sin2A,解得sinA=l,故选B.［母题变式1］本例的条件变为若2sinAcos8=sinG那么△ABC一定是直角三角形等腰三角形A.B.等腰直角三角形正三角形C.D.解析选方法一由已知得即B2sin Acos B=sin C=sinA+B=sin AcosB+cos AsinB,sinA因为一兀一兀，所以选—5=0,443v A=S B.方法二由正弦定理得2〃cosB=C,再由余弦定理得［2+—2a~_5---------=c^cr=h2^a=h.2ac［母题变式2］本例的条件变为若〃cosA=0cosb那么△ABC一定是直角三角形等腰三角形A.B.等腰直角三角形等腰或直角三角形C.D.解析选由正弦定理，得因为兀，所以D sinAcosA=sin8cos30sin2A=sin25,2A,25£0,或=兀一氏2A=232A27T即或A=B A+8=
5.［刷好题］2018・桂林模拟在△ABC中，若4+02sinA—3=/一反/也，贝的形状是锐角三角形直角三角形A.B.等腰三角形等腰或直角三角形C.D.解析选由已知片+及/诅后一户为吊D4-8=C,得/2［sinA—B+sin C］=a2［sin C-sinA—B］,即Z sinAcosB=q-cos AsinB,即sin2Bsin AcosB=sin2Acos AsinB,所以由于是三角形的内角，sin28=sin2A,A,8故兀，兀，故只可能0V2AV20V28V22A=28IT或兀-即或24=28,A=B4+8=
5.故为等腰三角形或直角三角形.5c考点❸与三角形面积有关的问题［明技法］三角形面积公式的应用原则对于面积公式一般是已知哪一个角就使用哪一个1S—^ahsin C=yzcsin B=gbcsin A,乙乙乙公式.与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.2［提能力］【典例】
2017.全国卷I Z\A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知△ABC2的面积为百上⑴求sin BsinC；⑵若6cos BcosC=1,a=3,求△45C的周长.解由题设得;喘「『即;1acsin3=csin3=3se itq yd由正弦定理得1^sin CsinB=^~.T.Ljsin/I故sin BsinC=g.由题设及⑴得2cos3cosC—sin BsinC=—J,71|211即cosB+C=-
5.所以B+C=-r故A=，.4J J9解得（舍去），C=-6c=
4.jr⑵由题设可得NC4D=5，TT所以N3AQ=NBAC—NCAD=z o171^ABADsin7z o故△ABO面积与△AC面积的比值为一;--------=
1.^ACAD小,又△ABC的面积为X4X2sinNBAC=2所以△A3的面积为次1由题意得、•所以Tocsin4=24,7=3,c=
8.n nsinA由余弦定理得b12+c2—bc=99即尻.由得匕+=小0+c2—3=9bc=8,
5.故△!的周长为5c3+^
33.［刷好题］•全国卷的内角的对边分别为已知小2017lllZ\A3CA,B,C a,b,c,sinA+cosA=0,,b=
2.⑴求c；2设为3c边上一点，H ADLAC,求△A3的面积.27r解由已知可得一小，所以1tan A=A=
7.在△ABC中，由余弦定理得28=4+，—4ccos牛,即C2+2C-24=0,。
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