恒成立问题与有解问题的区别

恒成立问题与有解问题的区分恒成立与有解问题始终是中学数学的重要内容它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的学问点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目本文就恒成立与有解问题做一比较、恒成立问题11・1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=fx=ax+baWO,若y=fx在［m,n］内恒有fx0,则依据函数的图象直线可得上述结论等价于Jtz0［a0J/m0ii/附°或ii亦可合并定成⑺f/m0同理，若在［m,n］内恒有fx0,则有17°例

1、对于满意|p|2的全部实数p,求使不等式x2+px+l2p+x恒成立的x的取值范围分析在不等式中出现了两个字母x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数明显可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在［-2,2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题略解不等式即x-lp+x2-2x+l0,设fp=x-lp+x2-2x+l,则血在［-2,2］上恒大于0,故有Jy_2o p2-4x+30卜〉3或xl［/即［解得［或％-2r―%11A x-l或x

3.恒成立问题与二次函数联系

1.2Jtz0若二次函数y=ax2+bx+c=0aW0大于0恒成立，则有〔八°,若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布学问求解例

2、设fx=x2-2ax+2,当x」［-l,+8时,都有fx』a恒成立,求a的取值范围分析题目中要证明fxNa恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间［-1,+00时恒大于0的问题解:设Fx=fx-a=x2-2ax+2-a.i当八二4a-la+2v0时,即-2a〈l时，对一切［-1,+°°,Fx20恒成立;ii当八=4a-la+220时由图可得以下充要条件:A0（6Z-l）（6Z+2）06/+30/（-1）0一一Q W—1,得一3（a-2;综合可得a的取值范围为［-3,1］恒成立问题与变量分别联系

1.3若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且简单通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解例

3、已知当x£R时，不等式a+cos2x5-4sinx+J*W恒成立，求实数a的取值范围分析在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知x£R,另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分别解原不等式即4sinx+cos2x』5a一--a+5要使上式恒成立，只需‘5二4令+5大于4sinx+cos2x的最大值,故上述问题转化成求fx=4sinx+cos2x的最值问题fx=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+l=-2sinx-l2+343,j54-4_3即l5a-4a+5a+26-20Z5-420[a—20上式等价于L-4〉a_2或_4之o解得3“85注留意到题目中出现了sinx及cos2x,而cos2x=l-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型、有解问题2有解问题与二次不等式联系

2.1例

4、不等式自2十%—2v°有解，求上的取值范围70k-=k=22max解不等式京2+Z—2Vo有解o%x+D2有解犬+1有解所以林-co,2有解问题与肯定值不等式联系

2.2例

5、对于不等式归―2|+|尤+1|,存在实数%,使此不等式成立的实数的集合是M；对于随意XG

[05],使此不等式恒成立的实数”的集合为N,求集合拉，N.—2x+lx—1,fx=\x-2\+\x+]\=3-1WxW2,解由卜X-1%〉

2.又Q〉/%有解04〉/Xmin=3,所以〃={a Q3}N={a a9}所以令gx=卜_2|+k+1|，X£[Q5],agx恒成立oa〉gxmax=g5=

9.有解问题与导数联系

2.3例

6、06年湖北设x=3是函数fx=x2+ax+be3\xe R的一个极值点.1求a与b的关系用a表示b,并求fx的的单调区间；25x2Cl H-----C2设a〉0,gx=l4J,若存在Si，S e［0,4］,使得|fSgS2|vl成立，求a的取值范围.2解析1/幻=-［1+3_2%+匕-0/7,由/⑶=0得b=-2a-

3.故fx=x2+ax-2a-3e因为广x=_［x2+a-2x-3a-3］=-x-3x+a+l产=由『4=0得xi=3,X2==-a-l.由于x=3是fx的极值点，故xi声X2,即ar-

4.当a-4时，xiX2，故fx在一00,3］上为减函数，在［3,-a-1］上为增函数，在［一一1,+8上为减函数.当a〉-4时，xiX2，故fx在―—上为减函数，在［-a-l,3］上为增函数，在［3,4上为减函数.2由题意,存在Si，S e［0,4］,使得|fSD-gS2|l成立，即不等式|fSi-gS2|〈l在Si，S e［0,4］22上有解.于是问题转化为|fSi-gS2|min〈l,由于两个不同自变量取值的随意性，因此首先要求出fSi和gS2在［0,4］上值域.因为a0,则-a-l0,由1知fx在［0,3］递增；在［3,4］递减.3故fx在［0,4］上的值域为［min{f0,f4},f3］=［-2a+3e,a+6］,

25、v+-7e「95’4J在［0,4］上明显为增函数，其值域6/2+—,6Z2+—/而gx=v4I4J25i因为--------Q+6=〃-220,故/H---2Q+64225925a十:--+61夕日39|fSi-gS2|-ci+——a+6,从而解min八2〃〉03故a的取值范围为0,-oI2J假如问题变成:“对随意的S1，S€［0,4］,使得|fSgS2|l都成立，求a的取值范围」则可将其转2化为|fSi-gS2lmax VI点评函数、不等式、导数既是探讨的对象，又是决问题的工具.本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数闭区间上的值域，再处理不等式有解问题这里传统学问与现代方法交互作用，交相辉映，对考生敏捷运用学问解决问题的实力是一个极好的考查、恒成立与有解的区分3恒成立和有解是有明显区分的，以下充要条件应细心思索，甄别差异，恰当运用，等价转化，切不行混为一团1不等式fxk在xel时恒成立=九ixx xwL或fx的上界小于或等于k；2不等式fxvk在X£l时有解O九nxZ，x£l.或fx的下界小于k；3不等式fxk在X£l时恒成立O九nX左，X wI.或fx的下界大于或等于k；4不等式fxk在X£l时有解今f x〉女,X£I.或fx的上界大于k；nrdX解决恒成立和有解解问题的基本策略经常是构作协助函数，利用函数的单调性、最值或上、下界、图象求解；基本方法包括分类探讨，数形结合，参数分别，变换主元等等例

7、已知两函数fx=8x2+16x-k,gx=2x3+5x2+4x,其中k为实数1对随意x『-3,3],都有f xSgx成立，求k的取值范围；2存在x£[-3,3],使f xWgx成立，求k的取值范围;3对随意xi、X2^[-3,3],都有f xiSgX2,求k的取值范围解析1设hx=gx-fx=2x2-3x2-12x+k,问题转化为[-3,3]时，hxNO恒成立，故hmg x

0.令hfX=6X2-6X-12=0,得x=-1或2由h-l=7+k,h2=-20+k,h-3=k-45,h3=k-9,故hm^x=-45+k,由k-45N0,得kN

45.2据题意存在x6[-3,3],使fxWgx成立，即为:hx=gx-fx0在x6[-3,3]有解,故4x0,由1知hmax X=k+7,于是得kN-73它与1问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区分，对随意XI，X2^[-3,3],都有fX!gX2成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，XI,X2的取值在[-3,3]上具有随意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是27axXG gminX，X£[T3],由gx尸6x+10x+4=0,得X=-3或J,易得minX=-3=-21,m又fx=8x+l2-8-k,X£[-3,3].故/maxx=3=120-*令]20_仁-21,得kN141点评本题的三个小题，表面形式特别相像，究其本质却大相径庭，应仔细审题，深化思索，多加训练，精确运用其成立的充要条件参考文献

1、张世林郭东风.与时俱进的不等式恒成立与有解问题[J].-数学爱好者高考版.山西省期刊协会

2、代学奎.区分“有解”与“恒成立”[EB]数学中国。