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充要条件证明的两个思路1直接法证明〃是夕的充要条件，首先要明确〃是条件，q是结论；其次推证〃=9是证明充分性，推证q=p是证明必要性.2集合思想记p:A={x|/x},q:B={x|^x},若4=8,则〃与q互为充要条件.【例4】已知p—2WxW10,q1—〃2«+〃2加0,若〃是q的必要不充分条件，求实数机的取值范围.【解析】解p—2WxW10,q1—MWXW1+〃2〃
20.因为p是夕的必要不充分条件，所以4是p的充分不必要条件，即{x|l一m WxWl+m{x|-2WxW10},1—m2一2,1—m—2,故有《成V［l+m10〔1+加〈10,解得.又m0,所以实数根的取值范围为{词0〈机W3}.【变式41】2022秋・上海静安,高一上海市回民中学校考期中若〃l«x4〃是团〃的充分非必要条件，则实数〃2的取值范围是.【答案】［4,依【分析】根据题意得到l〈x4与x〈机的包含关系，从而得到答案.【详解】根据题意可知1%4=xvm，但xvm/lvxv4,故14x4是1”的真子集，故相24,故答案为［4,+oo【变式42】对于集合A,3及元素工，若AG3,则入£3是的条件.【答案】充要【解析】由%£3,显然可得x£AU反之，由则所以由可得故是的充要条件.【变式43】已知px根+3或工加”是“g—4%1成立的必要不充分条件，则实数机的取值范围是【答案】mW—7或〃221【解析】因为p是q成立的必要不充分条件，所以加+3W—4或m21,故mW—7或
1.【变式44］设集合A={x［—lx3},B={x\1—mxm~\-1,m0},命题p命题qx^B.⑴若p是q的充要条件，求正实数机的取值范围；⑵若〃是夕的充分不必要条件，求正实数〃2的取值范围.【解析】解
（1）由条件A={x|—lvx〈3},p是夕的充要条件,m0,得A=即1-2=-1,解得〃2=2,、〃z+1=3,所以正实数机的取值范围是{2}.
（2）由p是q的充分不必要条件，得A B,m0,m0,所以1—l,或j1—m—1,解得m2,+13m-\~1\3,综上，正实数机的取值范围是机
2.强化训练一.选择题
1.（2023秋•徐汇区期末）若Ovbvl,则“匕3”是，，心人，的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据Ov，vl推知b与例的大小关系,由此可推%户”是的关系.【解答】解:根据0〃1推知“应由此可推“a段”是的必要不充分条件.故选B.【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查基本的推理能力，属于基础题.
2.（2023秋•松江区期末）已知a整数〃能被2整除，，整数〃能被6整除，则是£的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解整数〃能被2整除，若〃=2,则不能被6整除，则推不出/,整数〃能被6整除，一定有整数〃能被2整除，万能推出a,则是方的必要不充分条件.故选B.【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于基础题.
3.（2023秋•浦东新区校级期中）
4、b-q、巴、仇、2均为非零实数，不等式qJ+Ax+c；0和〃/2+工+00的解集分别为集合用和双，那么幺=幺=M”是“M=N”（）a6g2A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的基本性质，我们可以判断“幺==N”的真假；根据不等式解a b c222集可能为空集，可判断=N=“幺=4=±”的真假，进而得到答案.a bc222【解答】解若“幺=幺=±0”时，则不等式“Y+Ax+q0等价于%f+dx+j，则“wN”；a bc222即“幺=2=2”是“M=N”的不充分条件；a bc222但当M=N=0”时，如/+x+i〈和/+工+20,，，幺=2=£L，，不成立，a b2c22即“幺=2=上是M=N”的不必要条件a hc222故“幺=2=±是〃=N，，的既不充分又不必要条件凡b、c2故选D.【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断出“幺=々=±”=M=N与A/=N=心bc22“幺的真假，是解答本题的关键.a bc=2=£L”
2224.（2023秋•浦东新区校级期末）已知a,b,CGR,则是“OH〉儿2”的（）条件.A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分也非必要【分析】结合不等式的性质检验充分必要性即可判断.【解答]解若ab,当=0时，QT〉历2不成立，即充分性不成立，当成立时，c20,则QZ一定成立，所以uabv是“々,^2”的必要不充分条件.故选C.【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.
5.（2023秋•浦东新区校级期末）是::的（）[0xy3[0J1A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必奖条件【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得.【解答】解当时，可取1=
1、=2符合题意，但此时不能得到充分性不成立,[0孙3[0^1[2x
3.f2x+y4】、、、，.
一八、tz trln当1时，有2vx+yv4,0xy3,即〈成“，必要性成区，[0y1[0（孙3综上所述，[『十『是的必要非充分条件.[0孙3[0^1故选B.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.
6.（2023秋•黄浦区校级期末）已知，Z是非零常数，则是的（）a bA.充分非必要条件B.必耍非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】由“a〉b不能推出成立，且由也推不出“ab”成立，进而判断“ab”a ba b是的什么条件.（a b【解答】解因为可得生工0,a hah当ab,即—QVO,当O时，40成立，所以“ab”不是的充分条件；ab a b当必0时，因为@o,所以QH所以“〃人”不是的必要条件；ab a b所以“ab是的既非充分也非必要条件，ab故选D.【点评】本题考查不等式性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题.
7.（2023秋•浦东新区校级期末）已知〃，h都是自然数，则“+〃是偶数”是“，〃都是偶数”的（）条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要【分析】根据已知条件，依次讨论充分性，必要性，即可求解.【解答】解令4=1,b=3,满足Q+b是偶数，但，6都不是偶数，故充分性不成立，a,h都是偶数，则Q+b是偶数，故必要性成立，故“Q+b是偶数”是“，力都是偶数”的必要不充分条件.故选B.【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题.
8.（2023秋•普陀区校级期末）设〃£Z,“二是偶数”是“〃是偶数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充要条件的判断即可选出答案.【解答】解/是偶数等价于〃是偶数，故为充要条件，故选C.【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
9.（2023秋•浦东新区校级期末）若beR,则是的（）bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据既不充分也不必要条件的定义求解即可.【解答】解@1等价于4—10,化简得仇〃一加0,即々〃0或avbvO,bb又2〃一”1等价于〃一〃0,即则“@〉1”是“D1”的既不充分也不必要条件.b故选D.【点评】本题考查既不充分也不必要条件的应用，属于基础题.
10.（2023秋•闵行区校级月考）设工£尺，则“xl”是“Y〉/，的（）A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【分析】先求出一元二次不等式的解集，再利用集合的包含关系判断即可.【解答】解/,・♦・%0或%1，・・・（1,+O0）U（-00,0）51，+8），・•.“X1”是“f〉％，，的充分不必要条件，故选C.【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
11.2023秋•杨浦区校级期末己知〃0,b0,则“2023a+2024b+—!—+」一=4”是20232024b“2023a+2024/7——+=4”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2023a2024b【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可.【解答】解因为2023+—^・.
2、2023〃・——=2,当且仅当=-L时取等号,2023V202320232024/7+..2J2024/7•——=2，当且仅当b=」一时取等号，2024/V2024b2024所以2023+2024/+—1—+—1—=4时，必有Q=—,b=—^—2023a所以2023a+2024bx=4成立,--------------------120232024b2024b20232024所以由2023a+2024/+—1—+——=4,可推出2023a+2024b——+—!—=4，2023a2024〃2023a2024b日不
11、c2023a2024b因为2023a+2024b-------+---------=2+------+---------20232024b2024b2023ac c2023a2024〃，..2+
2、/-----•--------4,V2024/72023a当且仅当空迎=垩竺，即2023a=2024〃时取等号,2024b2023所以当2023+2024/7--—+2023a-------=4时,必有2023a=2024Z成立,2024b止匕时a=—!—，b=-—不——定成立，20232024所以由2023〃+2024Z——+——=4推不出2023a+2024b+——+——=4，2023a2024b20232024b所以“2023Q+2024〃+—5—+—!—=4”是“2023Q+20246—!—+」一=4”的充分非必要条件.2023202420232024b故选A.【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是中档题.二.填空题
12.2023秋•奉贤区期末四边形ABCD是正方形，乃四边形ABCD的四个角都是直角，则a是6的条件.【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可.【解答】解四边形45CD是正方形，则四边形ABCD的四个角都是直角，即an月，若四边形ABCD的四个角都是直角，这个四边形可能是长方形，不一定是正方形,即4推不出则是月的充分不必要条件.故答案为充分不必要.【点评】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题.
13.2022秋•青浦区校级期末已知、beR,用反证法证明命题“若+2=0,则、人全为零，，时的假设是.【分析】把要证结论否定即可.【解答】解用反证法证明命题若，beR,且片+从二，则〃，匕全为时，要做的假设是证明结论的反面，即，〃不全为
①故答案为a,b不全为
0.【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题.
14.2023秋•静安区校级期末“|x|+|2x-l|=|3x-1|”是“匕0”的条件.【分析】求出|%|+|2%-1|=|3%-1|的解集，并判断用,0与此解集的推出关系得出结论.【解答】解当时，方程为化为x+2x—l=3x—1,此时成立；2当L,x,时，方程为化为x-2x-l=3x-1,解得x舍去；322当0x，时，方程为化为x—2x—1=—3x—1,止匕时x=0舍去；当兀,0时，方程为化为—x—2x—1=—3x—1,此时成立；故|x|+|2x—lR3x—1|的解集为x£-oo,0]U[g，+o°，由工,0可推得X£-OO,0]U J，+8，反之不成立，故“|1+|2%-1|43工一1|”是“用,0”的必要不充分条件.故答案为必要不充分.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.
15.2023秋•浦东新区校级期末若不等式|X+Q|,,3成立的一个充分不必要条件是琛*3,则实数〃的取值范围为.【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【解答】解由%+|掰=一3-婷3-々，因为不等式|X+I”3成立的一个充分不必要条件是2M3,所以有£一“；3,等号不同时成立，解得-5釉
0.[2…-3-〃故答案为[-5,0]【点评】本题考查充分必要条件的应用，属于基础题.
16.2023秋•闵行区校级期中若“存在,4]使得21+，+
1..0”是假命题，则实数的取值范围是.【分析】任意X£[l,4]使得2X+Q+10”是真命题，结合一次函数的性质即可求解.【解答】解因为存在,4]使得2X+Q+L.0”是假命题，所以任意X£[l,4]使得2x+a+lv0”是真命题，根据一次函数的性质可知，当x=4时，8+a+lvO,即-
9.故答案为（-co,—9）.【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题.
17.“一元二次方程一一分+1=有两个正实数根”的一个充分条件可以为；一个必要条件可以为.【答案】〉3（答案不唯一）〉一1（答案不唯一）【解析】因为一元二次方程％2—6+1=0有两个正实数根，420,所以I八解得，
2.1%1+%2=^0,故一元二次方程一一QX+1=0有两个正实数根的一个充分条件可以为3；一元二次方程%2—or+l=0有两个正实数根的一个必要条件可以为a—\.三.解答题
18.（2023秋•闵行区期中）已知集合人={%|掇k3},集合3={x|2相xvl-m}.
（1）当2=-1时，求AjJ B；
（2）若“XEA”是“xeB”的充分非必要条件，求实数机取值范围组成的集合.【分析】
（1）先算出3={x|-2x2},再根据并集的运算法则算出答案；
（2）根据题意，可得A是5的真子集，从而建立关于〃2的不等式组，算出实数机的取值集合.【解答】解
（1）当相=—1时，集合B={x[—2xv2},结合A={x]度k3},可知JJ5={%I-2V〃3}=（-2,3]；
（2）若xeA是“xeB”的充分非必要条件，则A是5的真子集.2m\-m可得2根1,解得“-2,实数机的取值集合是（-co,-2）.1-m3【点评】本题主要考查集合的并集运算、充分必要条件的概念、不等式的解法等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题.
19.（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合4=[—2,10],B={x\\x-m\„2}.
（1）若人「|3=0，求实数机的取值范围；
（2）若“xwA”是“xeB”的必要非充分条件，求实数，〃的取值范围.【分析】
（1）先求出集合6,再利用=0列出不等式，求出川的取值范围即可；
（2）由xeA是“xeB”的必要非充分条件可得3A,进而列出不等式，求出〃z的取值范围即可.【解答】解
（1）集合A=[一2,10],B={x\\x-m\^}={x\m-2ym+2},・・・陶3=0,2V-2iTi—210，解得加-4或加12,即实数机的取值范围-8,-4012,+oo；2・.,“xwA”是“xeB”的必要非充分条件，/.BU A,・・,集合A=[—2,10],B=机+2},::2等号不能同时取到，[m+2,10解得怎M8,即实数机的取值范围为[0,8].【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.
20.2023秋•长宁区校级期中已知集合知=|々—掇k261+3},TV={x|x2-2x-8„0},全集U=R.1当a=2时，求W[jN；2若光£〃是的充分非必要条件，求实数的取值范围.【分析】1解不等式确定N,利用并集运算得到答案.2确定MUN,再考虑M=0和A/W0两种情况，计算得到答案.【解答】解1a=2,则M={%|1/7},N={x\x2-2x-S^i}={x\-2丁4},则M|jN={x|-2麴Jr7}.2xcM是xcN的充分非必要条件，则UN,M是N的真子集，当〃=0时，a-l2a+3,解得avT；当Mw0H寸，a—1,,2Q+3且2+乂4,等号不能同时成立，解得一掇以L V综上所述Q£-00,-4J[-1,—].【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
21.2022秋•黄浦区校级月考“关于x的方程2+加也=0〃W0有实数根”是的什么条件？请证明你的结论.【解答】解关于x的方程以2+云+=0〃W0有实数根是acVO必要不充分条件.证明
①证充分性不成立，当Q=1,b=-4,c=3时，此时方程办2+云+°=0=/-4X+3=O,方程的实数根为1或3,但此时GC=30,・••充分性不成立，
②证必要性成立，当ac0时,则△=b2-4oc0恒成立,，方程〃/+云+°=0々wo有实数根，，必要性成立.综上，关于x的方程如2+云+c=0QWO有实数根是acVO必要不充分条件.
22.2023秋•浦东新区校级月考已知m0,p:x+lx-5,,0,/I-/碗k1+m.1若相=5,p,9有且只有一个为真命题，求实数x的取值范围；2若〃是9的充分不必要条件，求实数〃z的取值范围.【分析】1根据题意，分析命题.、夕为真时x的取值范围，由复合命题的真假可得〃、乡一真一假，由此分情况讨论，求出x的取值范围，即可得答案；2根据p是9的充分条件，得到关于加的不等式组，解可得答案.【解答】解1对于p x+l%—5,,0,解可得-啜!k5,若根=5,则夕-4强k6,若m=5,p,q有且只有一个为真命题，则〃真9假或〃假9真，「一啜k5若〃真乡假，即//一工，无解，若〃假乡真，即卜或5,解可得T,x-1或5%6,—4麴k6综合可得y,或5兀,6,即X的取值范围为［-4,-105,6］；2若〃是乡的充分条件，则有［；一］解可得帆.4,［5,,1+m即m的取值范围为［4,+
00.【点评】本题考查命题真假的判断以及充分必要条件的应用，涉及集合之间的关系，属于中档题.
23.2022秋•奉贤区校级月考1已知根是实数，集合4={1,2,m+7},B={Q,6}.求证“机=-1”是“AA8={6}”的充要条件；2设正Z.用反证法证明若〃2是奇数，则〃也是奇数.【解答】证明1先证充分性即证根=-1今AA8={6},当2=-1时，A={1,2,6},又因为8={0,6},所以AA3={6},再证必要性即证A G8={6}=2=-1,当AG3={6}时，由6CA,得加+7=6,因此加=-1,综上所述，机=-1是AG3={6}的充要条件.2假设结论〃是奇数不成立，即假设〃是偶数，由〃是偶数，可设〃=2左，依Z,因为M=2k2=2・2斤，这说明后是偶数，与已知条件后是奇数矛盾,所以，假设不成立，即〃是奇数.
24.1是否存在实数加，使2x+加0是x—1或x3的充分条件？2是否存在实数m,使2x+〃z0是xv—1或x3的必要条件？【解析[解1欲使2x+m0是x—1或x3的充分条件，m]则只要X x-y\^{x\x~\或x3},即只需一夕W—1,所以加
22.故存在实数加22,使2x+〃z0是x—1或x3的充分条件.2欲使2x-\-m0是x—1或x3的必要条件，贝1只要{x|x—1或x3}A:—y k这是不可能的.故不存在实数机，使2x+m0是x—1或x3的必要条件.
25.2024春•浦东新区校级期末高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A,B,定义AWB={x,y|x£A且£团，将称为“A与3的笛卡尔积”1若4={—1,0,1},B=1},求和B8A；2试证明4名人=4名4”是“A=A2”的充要条件；3若集合”是有限集，将集合”的元素个数记为|〃|.已知14名4|=根3根£N*,且存在实数满足对任意m EAT恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时14|和|41满足的关系式及〃2应满足的条件.【分析】1根据AWB的定义直接运算求解；2根据A区3的定义结合充分必要条件分析证明；3设|A|=c,||=d,c,d£N,则|4
③A1=c=/，|4
③4|=便4|=屋，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解.【解答】解1由题意可得=-1,1,0,-1,0,1,1,-1,1,1},B0A={-1,-1,-1,0,-1,1,1,-1,1,0,1,
1.2若设A=A2=A,由定义可知A
③4={1|[£A且z£A}=4名4，所以“4
（8）4=4
（8）A”是“4=4”的必要条件；若4付4=4
③4，对任意（a,b）£4
③4,均有（a,b）£
③A，即对任意人£,均有b^A，由任意性可知a口4,4口a,则a=4,所以“4名）4=4便）4”是“A=4”的充分条件；综上所述4名）=4便）4”是“4=4”的充要条件.
（3）设|AI=Gl4|=d,c,d£N*,卜可得（）A8AI+I4（）84I则14
③41=14
③a1=Cd=/,14
③41=c2,|A01=d2,2A2当且仅当£=,即°=d时，等号成立,d c所以实数的取值范围（-8,3].若〃取到最大值，则°=〃，即141=141，可得c2=m3,即c=3n3=£N,【点评】本题考查的知识要点集合的运算，充要条件的应用,的基本不等式的性质的应用，主要考查学生理解能力和计算能力，属于中档题.
26.（2023秋•浦东新区校级月考）已知集合4={%|%=病一〃2,加，〃£Z}.
（1）判断8,9,10是否属于集合A；
（2）已知集合3={x|x=2攵+1,keZ）,证明“xc A”的充分条件是“3；但“”不是“xc A”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.【分析】
（1）将x=8,9,10分别代入关系式1=〃22一,2,若满足关系式，则属于,若不满足关系式，A则不属于A,即可得答案，
（2）根据已知中集合A的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数xwA可得答案.
（3）疗-〃2=（加+〃）（2-〃）成立，当相，〃同奇或同偶时，m-n,2+〃均为偶数；当m,〃一奇，一偶时，根-〃，〃2+〃均为奇数.由此能求出所有满足集合A的偶数.【解答】解
（1）V8=32-12,9=52-42,/.8GA,9wA,假设1=一〃2,m,neZ,则（|用|+|〃|）（|刈一|川）=10,且|川+|川|相|一|〃|0,・・・10=lxl0=2x5,|川+1〃|=10|根|+1|=5，或,I m|-1|=1\m\-\n\=2V x,显然均无整数解，.\8G A,9G A,10任A,2・.,集合3={x|%=2k+1,keZ\,则恒有2+l=左+12—攵2,2女+1£A,・・.即一切奇数都属于A,又・・・8c A,/.X G/4n的充分非必要条件是3集合A={X|X=/T:mneZ},加之一〃2=%+〃加一〃成立，
①当〃2,〃同奇或同偶时，〃2-拉，〃+〃均为偶数，.二72-〃2+〃为4的倍数,
②当〃2,n一奇，一偶时，m-n,根+〃均为奇数，.・・加一〃〃2+〃为奇数，综上所有满足集合A的偶数为4%,keZ.【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.1若p是q的充分条件，则ACB；2若〃是q的充分不必要条件，则AuB；3若〃是q的必要不充分条件，则BuA；4若〃是q的充要条件，则A=
3.5若A不是B的子集且B不是A的子集，则〃是q的既不充分也不必要条件.要点归纳充要条件的判断通常有四种结论充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下,步骤进行
①确定哪是条件，哪是结论；
②尝试用条件推结论，
③再尝试用结论推条件，
④最后判断条件是结论的什么条件.【即学即练4］已知条件a:0vxv4和条件40x，若是月的充分不必要条件，则实数的取值范围是.【答案】〃4【详解】因为条件a:0vxv4和条件£:0x，若是夕的充分不必要条件，所以0,4是O,a的真子集，因此只需
4.故答案为6/
4.【点睛】结论点睛由命题的充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解1若夕是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；2〃是夕的充分不必要条件，则〃对应集合是4对应集合的真子集；3，是9的充分必要条件，则〃对应集合与q对应集合相等；4，是9的既不充分又不必要条件，q对的集合与〃对应集合互不包含.题型充分条件、必要条件及充要条件的判断01【解题策略】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法1定义法直接判断“若p,则以及“若必则p”的真假.2集合法即利用集合的包含关系判断.3等价法即利用与40P的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.4传递法充分条件和必要条件具有传递性，即由P1=P2=3=P〃，可得P1=P〃；充要条件也有传递性.【例U】⑴指出下列哪些命题中p是夕的充分条件
①在△ABC中，p/BNC,qAO AB；
②已知x,y《R,p x=l,qx~1%—2=0；
③已知x£R,pxl,qx
2.解
①在△ABC中，由大角对大边知，ZBZC^AOAB.所以p是9的充分条件.
②由x=l=x—lx—2=0,故〃是q的充分条件.
③方法一由心1分心2,所以p不是4的充分条件.方法二设集合A={x|xl},B={x\x2},所以所以p不是夕的充分条件.2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
①p一个四边形是矩形，q四边形的对角线相等；
②〃AG3,qAHB=A；
③pab,qacbc.解
①因为矩形的对角线相等，所以q是〃的必要条件.
②因为p=q,所以q是p的必要条件.
③因为p今q,所以q不是p的必要条件.【例12】指出下列各组命题中，p是夕的什么条件请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答.lpx=1,qx—1=yjx—1；2p—1WXW5,q—1且xW5；3px+2Wy,q x+22^52；4p是自然数；q-.是正数.解1方法一当X=1时，X—\=«X—1成立;当％—1=业-1时,x=l或x=
2.:・p是q的充分不必要条件.方法二4={木=1}={1},B={小一1=#-1}={1,2},可知A B,:・p是q的充分不必要条件.⑵「一1—1且・•・〃是4的充要条件.⑶由/x+2V/,得x+2Wy且x+2W—y,又〃x+2Wy,故p是9的必要不充分条件.40是自然数，但不是正数，故p分q；又/是正数，但3不是自然数，故^今p.故〃是夕的既不充分也不必要条件.【变式11]2022秋•普陀区校级期末设px5,q x6,那么p是^成立的条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要.【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解.【解答】解x5能推出xV6,充分性成立，x6不能推出x5,必要性不成立，故〃是夕成立的充分不必要条件.故选A.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.【变式12]已知力为非零实数，则，，〃〃是，/4〃成立的a bA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】D【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.【详解】显然〉0〉人时不能推出,〈J,反之,时也不能推出人abba则〃心人是〃呆产成立的既非充分又非必要条件.故选D【变式13】指出下列命题中，p是q的什么条件？lpX2=2X+1,qx=yj2x+1；2p片+及二，q〃+〃=；3px—12+-22=0,q%—1^—2=
0.【解析】解⑴•••『=2x+l分尸d2x+l,x=d2x+l=x2=2x+l,；.p是q的必要条件.2V^2+/2=0=^=/2=0=^+/=0,a+Z=0分次+店=0,:.p是q的充分条件.3Vx—l2+y—22=0=X=1且y=2=x—1-2=0,而九一1-2=0分X—l2+y—22=0,，p是q的充分条件.【变式14】指出下列各组命题中，〃是夕的什么条件请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答.Dp三角形为等腰三角形，q三角形存在两角相等；
（2）p内两条弦相等，q内两条弦所对的圆周角相等;
（3）〃AAB=0,q A与3之一为空集；
（4）p能被6整除，q能被3整除；【解析】解
（1）充要条件；
（2）必要不充分条件；
（3）必要不充分条件；
（4）充分不必要条件.题型充分条件与必要条件的应用02【解题策略】充分条件与必要条件的应用技巧⑴应用可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
（2）求解步骤先把p,4等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.【例2】已知集合尸={x[—2x4},Q={x|3m一24W5m+2,meR}.若尸的充分条件为Q,求实数〃2的取值范围.【解析】解由已知，尸的充分条件为，则是P的子集.当3加一2〉5m+2,即机—2时，=0,满足题意，[3m—2-2,2当3根一2W5m+2,即加2—2时，由题意得彳解得0机〈己[5m+24,5综上，加的取值范围是jm2或（〃区,【变式21]（2023秋・上海徐汇・高一上海市西南位育中学校考期末）若0x2m,已知二是/的充分条件，则实数机的取值范围是.【答案】m£l【分析】依题意可得推得出夕，即可求出参数的取值范围.【详解】解因为分之机且是力的充分条件，即戊推得出夕，所以加£
1.故答案为m£l【变式22]集合A={x|-1令1},B={x\-ax-ba].若1”是“A G8W0”的充分条件，则实数〃的取值范围是（）A.{b\-2^b0}B.{b\Qb^2]C.{b\-2b2}D.{〃-2WAW2}【答案】c【解析】A={x[—lxl},B—{x\—ax—ba}—{x\b—axb~\~a}.因为是“AGBW0”的充分条件，所以一1WZ—11或一1Z+1W1,即一
22.【变式23]已知P=3a—4x0z+4},={刈43},’”£尸”是“x£Q”的必要条件，则实数的取值范围是.【答案】-【解析】因为是“x£Q”的必要条件，所以QUP,f〃一41,所以即、所以一1W〃W
5.[〃+43,[aN—1,【变式24]已知pxv—2或x10,q xl+Q或xl—a〃0,若〃是q的必要条件，则实数a的取值范围为.【答案】{a|〃W—9}【解析】是q的必要条件，，9=〃，1+[-2,解得aW—
9.40,题型充要条件的证明03【解题策略】充要条件证明的两不思路⑴直接法证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，是结论；其次推证p=4是证明充分性，推证q=p是证明必要性.2集合思想:记p:A=[x\px}q:B={x|^x},若A=8,则p与q互为充要条件.9【例3】求证一元二次方程加+法+c=0〃，b,c是常数且70有一正实根和一负实根的充要条件是acQ.【解析】证明必要性由于方程以2+云+=〃20有一正实根和一负实根，c.*./!=b2—4ac0,且xiX2=一0,ac
0.a充分性由ac0可推出/=〃-4ac0及xi%2=0,・1方程ar+Zu+cuOmWO有一正一负两实根.综上，一元二次方程加+云+=03，b,c是常数且aWO有一正实根和一负实根的充要条件是ac
0.【变式31】求证一次函数丁=+仇ZWO的图象过原点的充要条件是〃=
0.【解析】证明1充分性如果/=0,那么y=日，当x=0时，y=0,函数图象过原点.2必要性因为y=Ax+ZZWO的图象过原点，所以当x=0时，y=0,得O=kO+b,所以b=
0.综上，一次函数的图象过原点的充要条件是b=
0.【变式32］（2021秋•金山区校级月考）设〃6Z,求证，是偶数”是“（几+1）2是奇数”的充要条件.【解答】证明若〃WZ,〃是偶数，则〃+1是奇数，（〃+1）2是奇数，是充分条件，若尤Z,（〃+1）2是奇数，则〃+1是奇数，则〃是偶数，是必要条件，故“〃是偶数”是“（/2+1）2是奇数”的充要条件.【变式33］求证关于x的方程办2+法+c=有一个根为1的充要条件是Q+8+CMO.【解析】证明充分性因为〃+Z+c=O,所以c——a—b,代入方程af+/zx+c=O,得ax1+hx—a—b=Q,即（x—1）（如+〃+与=0・所以方程加+法+=0有一个根为
1.必要性因为方程加+/x+c=O有一个根为1,所以x=l满足方程加+法+=0,所以1+c=0,即Q+Z+C=O.故关于X的方程Qx2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是Q+Z+C=O.【变式34］求证关于x的方程加+2x+l=0只有一个负实数根的充要条件是=1或QWO.【解析】证明
（1）充分性当4=1时，方程加+2%+1=0的实根是汨=%2=—1,只有一个负实数根；当a=0时，方程加+2x+l=0只有一个负实根是X=-T；当QVO时，方程加+2x+l=0的判别式』=4一4〃0,且X1X2—~0,方程两根一正一负.L/C*所以当=1或QWO时，关于x的方程以2+2x+1=0只有一个负实数根.⑵必要性若方程加+2x+l=0只有一个负实数根，则
①当4=0时，尸一口，符合题意.
②当时，方程加+2光+1=0有实根，4=4—420,解得当=1时，方程的解为一1,符合题意；当1且QWO时，方程有两个不相等的实数根为，X2,若方程只有一个负实数根，贝」即I X1X2=~O,4Vo.所以当关于x的方程加+2x+l=0只有一个负实数根时，=1或a
0.综上，关于光的方程加+2x+l=0只有一个负实数根的充要条件是=1或题型充分不必要、必要不充分、充要条件的应用04【解题策略】。
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