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三询函我与解三启形考点高考试题考查内容核心素养正、余弦定理，三角形面积公式及两角2017♦全国卷I・T17・12分和的余弦公式的应用数学运算正弦定理和余正、余弦定理的应用，三角形面积公弦定理2016•全国卷I・T17・12分逻辑推理式的应用•全国卷分正弦定理，构造函数以及求函数值域2015I T16-5以选择题或填空题的形式考查利用正弦定理、余弦定理解三角形以及三角形的面命题分析积公式应用；以解答题的形式考查正、余弦定理与三角函数的综合.课前
⑨做敖材♦第六节正弦定理和余弦定理（对应学生用书P58）必知识清单正弦定理
1.看=磊=卷=凡其中是三角形外接圆的半径.2R由正弦定理可以变形:⑴a.b:c=sin Asin8sin C2a—27sin A,h=27sin B
2.余弦定理27sin C.芬麦提第融会贯通我稳操既恭介不〃+—2Zccos A；b2=优+2—2occos B；心=a1-\rb~—2abcos C.余弦定理可以变形:匕一一序一2+222+2622+,2cosA=2bc;cos B=2ac；cos C=lab
3.三角形中常用的面积公式（）（表示边上的高）;l S=gah ha乙2S=；/csin A=；acsin B=^absin C；7T/.0A WQ.答案（0,f
8.在△ABC中，已知AB=3,A=120,且△ABC的面积为丹丹则3C边的长为.解析由今后得=与后，所以因此S08c=3XACsin120AC=5,解得-2AB AC-COS120°=9+25+2X3X5x1=49,5C=
7.答案
79.（2018・沈阳检测）在△4BC中，内角A,B,C所对边分别是a,b,c,若sin=彳£则△A8C的形状一定是.解析由题意，得匕誓=望，即cosk（又由余弦定理，得整理，得2+〃=廿，所以△A3C为直角三角形.答案直角三角形JT
10.（2018・抚州联考）在△ABC中，为线段BC上一点（不与端点重合），ZACB=y AB=市,AC=3,则=.BD=1,4AC2+BC^—AB^解析在△ABC中，cos7-=—°一，化简得32—33+2=0,得3=1（舍J Z*/iC,oC去）或BC=2,・・・CO=3-80=
1.在△AC中，AZ）2=9+1—2X1X3XJ=7,则4=巾，故答案为币.答案小（•全国卷）的内角的对边分别为已知（）
11.2016I Z\ABC A,B,C a,b,c,2cosc acos3+Zcos A=c⑴求C；⑵若c=巾,ZXABC的面积为芈，求△ABC的周长.解
（1）由已知及正弦定理得，（）2cos Csin Acos B+sin Bcos A=sin C,（）2cos Csin A+B=sin C,故2sin CeosC=sin C.兀1可得cos C=2，所以C=Q・由已知，2^absin C=TT又=彳，所以必=
6.由已知及余弦定理得，片+/一2obcos C=7,故6z2+Z2=13,从而（+/）2=
25.所以△ABC的周长为5+^
7.组能力提升B（•全国卷）的内角的对边分别为已知（）
1.2017II Z\A3C A,B,C a,b,c,sin A+C=8sin
4.1求cosB；2若Q+C=6,ZXABC的面积为2,求b.解由题设及兀得1A+B+C=sin8=8sin25,故sin3=41—cos B.上式两边平方，整理得17cos2B—32COS3+15=0,解得舍去，或COS3=1COSL,n15故cos B=[
7.158由行得2cos3=sin B=~^,
1.4故〔S2\ABc=Dacsin B=]ac.17又SZXABC=2,则ac=~2*17由余弦定理及Q+C=6得/2=4Z2+c2—26zccos B=〃+c2—2acl+cos B=36—2X—J所以b=
2.
2.（2015•全国卷ll）/\A6C中，是3c上的点，AD平分N84C,△ABQ面积是△ADC面积的倍.2J2若求和的长.2AZ=1,DC=%,BO AC解1S^ABD=^AB-ADsin ZBAD,Szwc=y CAOsinZ CAD.因为SaAB£=2A£c,BAD=CAD所以AB=2AC9力由正弦定理，仔而恐=而=》1e sin B AC12因为SMBD:SAADC=BDDC,所以BD=y[l在△A8D和△AOC中，由余弦定理，知AB2=AD2+BD2-2A£B£cos ZADB,AC2=AD2+DC2-2AD£Ccos ZADC.故AB2-\-2AC2=3AD2-\-BD2+2DC2=
6.由所以1,AB=2AC,AC=L
3.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为m b,c,且cos3+C=一半sin2A.一2设Q=7,b=5,求△ABC的面积.解⑴由一半可得,cosCB+C=sin2AV3=一考—cos Asin2A,所以cos A=^z-X2sin AcosA,因为△ABC为锐角三角形，所以cos AW0,故sinA=勺,J乙从而Ajjjr]因为故，由余弦定理可知,乙2A=Q,COSA=5Jci2=/2+c2—2Zccos A,即49=25+c2—5c,所以c2—5c-24=0,解得、=舍去，、=c—3c8,]j所以△ABC的面积为弗csin A=1x5X8X乎=10^
3.乙乙乙
4.2018・威海模拟已知AABC的内角A,B,所对的边分别为〃，4且=2,然，也b—c sin^—sinA⑴求角的大小;A2求△ABC的面积的最大值.解⑴根据正弦定理，由黑=普三公可得,q-\~b y[2b—c cb-a/.b2—a2=yf2bc—c1,即尻+c2—/=也如+才一由余弦定理可得cosA=—大---------y[ibc y[271VAe（O,71）,A A=
4.（）由及余弦定理可得2a=2官+/—//2+c2—4y12cosA=^=~2b^~=2，故b2+c2=yl2bc+
4.又也bc+4=/2+c222bg・••bc4+2®当且仅当=时等号成立.c=14+26故所求△A3C的面积的最大值为Jx（4+2姬）X^=也+
1.为三角形的内切圆半径；3S=%3+b+cr其中，=；〃++4S=#pp—ap—bp—c c.提醒辨明两个易误点
1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的1边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论.在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
22.在△A3C中常有以下结论lZA+ZB+ZC=7i.在三角形中大边对大角，大角对大边.2任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.3,,A+B C A+B4sinA+B=sin C；cosA+B=—cos C；tanA+B=tan C；sin--=cosy；cos--.C=sin.5tan A+tan3+tan C=tan A-tan B-tan C.6ZAZBO^Z4sin Asin BOcos Acos B.0小题查检
1.判断下列结论的正误正确的打“J”，错误的打“义”在中，若18c sinAsin8,jJlj AB.⑵在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.在中，有33c sinA=sin5+O.a_______♦+—-c4在△ABC中sin Asin A+sin B—sinC5在中，若/+从o2,则△ABC为钝角三角形.公式适合求任意三角形的面积.6S=^absin C⑺在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.答案1J2X3V4V5V6V7V
2.教材习题改编在△ABC中，若si/A+si//sir，则△ABC的形状是锐角三角形直角三角形A.B.钝角三角形不能确定C.D.解析选由正弦定理，得盘代入得到/+店C=sinA,^=sin B,^=sin C,2,Z/\ZA ZA由余弦定理得cos C=—y-7—0,所以为钝角，所以该三角形为钝角三角形.C
3.（教材习题改编）在△A3C中，A=45°,C=30°,c=6,则〃等于（）［A.372B.6y2［［C.2y6D.3y6义也6o解析选B由正弦定理得看=消0所以=号端=—^=6嫄・
24.（教材习题改编）在AABC中，已知A=60，B=75°,c=20,则〃=,解析C=180°-（A+B）（）=180°-60°+75°=45°.,、、皿f csin A20X sin60°r由正弦定理，.a=j c=_sin45°—答案历10\45（.2018・潍坊检测）已知
①b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，若cos5=彳,a=10,△ABC的面积为贝」42,I c=.31解析依题意可得sin5=7，又Sz\A8c=5Qcsin3=42,则=
14.答案14课堂•考点突破忏生互动讲练结合曳雄我掌握（对应学生用书P59）考点❶正弦定理、余弦定理的应用［析考情］正、余弦定理的应用原则（）正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约1分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.（）运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.2［提能力］【典例】⑴（2018・临沂模拟）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为m-且〃=1,c=yfi9角A=4则b=csin A解析由端得、皿C=所以彳或C=C_q.TT7T当C=1时，B=2可得〃=2;当C=个时，s=69可得b=l,答案或1222017•全国卷llZSABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若2/cos5=〃cos C+ccos A,贝1J B=.解析方法一由及正弦定理，2/7cos3=acos C+ccos A得2sin Bcos B=sin Acos C+sin CcosA./.2sin BcosB=sinA+C.又A+B+C=TC,.A+C=TI-B./.2sin BcosB=sin7i—B=sin B.又sin BWO,•e•cos**•B=
2.方法二•.•在中，6/cos C+ccos A=b9工条件等式变为2bcos B=b,AcosB=y.71又08兀，.*•JB=T.■答案f[刷好题]
1.在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,的对边.若戾inA=3csin3,a=3,cos2则B=1,b=A.14B.6C.y[T4D.y[6角窣析选D Zsin A=3csin B0ab=3bcOa=3c0c=1,所以b2=a2+c2—2accos B=92故选+l-2X3XlX-=6,h=y[6,D.,全国卷△鹿的内角的对边分别为已知，则人=.
2.2017III C4B,C m b,c C=60b=#,c—3,解析如图，由正弦定理，得京产德，sinB=^.叉cb,AB=45°,.*.A=180o-60°-45o=75°.答案75°利用正、余弦定理判断三角形形状［明技法］判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则化边通过因式分解，配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.12化角通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C—TI这个结论.［提能力］【典例】设△A3C的内角A,B,所对的边分别为a,b,c,若Zcos C+ccos B=〃sin A,则△ABC的形状为锐角三角形直角三角形A.B.锐角三角形不确定C.D.解析选依据题设条件的特点，由正弦定理，得有B sin3cosc+cos Bsin C=sin2A,rrsinB+C=sin224,从而sinB+C=sin A=sin2A,解得sinA=l,.\A=^,故选B.［母题变式1］本例的条件变为若2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是直角三角形等腰三角形A.B.等腰直角三角形正三角形C.D.解析选方法一由已知得即B2sin AcosB=sin C=sinA+B=sin AcosB+cos Asin B,sinA—3因为一兀一兀，所以选=0,44A=B,B.方法二由正弦定理得2QCOSB=C,再由余弦定理得2a・2敬==序=〃=b.6Z2+c2—/729［母题变式2］本例的条件变为若acosA=hcos3,那么△ABC一定是等腰三角形B.C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形直角三角形A.解析选由正弦定理，得因为所以D sin Acos A=sin Bcos3=sin2A=sin23,2A,23£0,7i,2A或=兀-=2B2A25,、兀即或A=B A+B=
7.[刷好题]2018・桂林模拟在△ABC中，若32+02/^04—3=42—52/^，则△ABC的形状是锐角三角形直角三角形A.B.等腰三角形等腰或直角三角形C.D.解析选D由已知q2+/2sinA—3=〃2—〃sin C,得Z12[sin4—B+sin C]=a2[sin C—sin/A—6],即Z2sin AcosB=6z2cos AsinB,即sin2Bsin AcosB=sin2Acos AsinB,所以由于是三角形的内角，sin28=sin2A,A,5故故只可能0V2AV271,02B2TI,2A=28jr或=兀-即或不2A25,A=54+5=故△ABC为等腰三角形或直角三角形.考占
八、、.J与三角形面积有关的问题［明技法］三角形面积公式的应用原则对于面积公式1S=^absin C=^csin B=^bcsin A,般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.［提能力］【典例】（2017•全国卷I的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知△ABCQ2的面积为嘉I・⑴求sin Bsin C；⑵若6cos8cosc=1,a=3,求△ABC的周长.21c irA由正弦定理得jsin CsinB=^~-~7N Dblllzi古攵sin BsmC=^.由题设及得21cos Bcos C—sin Bsin C=—y,解⑴由题设得上底吊嘉彳即%加肃^8=8=兀|271即•所以，故cosB+C=-5B+C=T A=Q.J J乙\由题意得7〃csin A=、♦A，〃=3,所以bc=
8.z jsin A由余弦定理得及十/一次=9,即.由得S+c）2—3Zc=9bc=8,Z+c=^/
55.故△ABC的周长为3+V
33.［刷好题］（.全国卷）的内角的对边分别为已知小2017lll Z\A8CA,B,C m b,c,sin A+cos4=0,〃=2由，b=
2.⑴求c；
（2）设为3c边上一点，且ADJ_AC,求△1）的面积.27r解
（1）由已知可得tanA=一小，所以4=
7.在△ABC中，由余弦定理得28=4+/—4ccos年，即，+20—24=0,解得（舍去），c=-6c=
4.JT
（2）由题设可得NC4Q=5，7T所以N8AO=N5AC-NG4£=d.故△A3面积与△ACQ面积的比值为^ACAD又的面积为:小,AABC X4X2sin N84c=2所以△A3的面积为小.课后•禽数信在课时作业提升
（二十五）正弦定理和余弦定理（对应学生用书P247）组夯实基础A
1.在AABC中，mb,c分别是内角A,B,所对的边，且cos2B+3cos（A+C）+2=0,b=小，则c sinC等于（）A.31B.小1C.也1D.21解析选由得之解得D cos28+3cosA+C+2=0,2cos3—3cos3+1=0,cos8=1\/31舍去或cosB=5,所以sinB=，,所以csin C=b:sinB=
21.
2.2018・大连双基/\43中，AB=2,AC=3,3=60，则cos C=坐土坐A,B,—亚亚DcJ33,
一、-er ACAB.-AB sinB2Xsin60°百__「解析:选D由正弦定理仔而力=而0sin C=Aq=,又ABAC9/I JD.\0CB=60o,Acos C=^/l-sin34C=^.
3.在△ABC中，已知2A=5+C,且/=A,则△ABC的形状是（）两直角边不等的直角三角形A.顶角不等于或的等腰三角形
8.9060等边三角形C.等腰直角三角形D.〃+/一〃2炉+/—3be所以,所以及+，—即（/—所以5=—2bc=o,c）2=0,b=c故△ABC为等边三角形.
4.（2018・宜宾模拟）在448中，内角4B,C的对边分别为mb,c,且/十及一c=ab=小,则△ABC的面积为（）近3・4AD.、层+/一»11解析选B依题意得cos C=----------------=5,C=60°.因此，△ABC的面积等于千加亩C小=去,选=gx X*B.
5.在△ABC中，内角A,B,所对应的边分别为〃，b,c,若bsin A一小QCOS3=0,且尻=，则陪的值为（）解析选由知.又引二一,C2A=3+C,A=60cosA=—乎A.B.y[2C.2D.4解析选C在△ABC中，由戾inA—45acosB=0,利用正弦定理得sin3sin A—§sin AcosB=0,所以tan B=小,故8=专由余弦定理得Z2=/+2—2〃c・cosB=a2-\-c2—ac,即/2=〃c+c2—3〃c,〃+c又所以求得一二/2=〃c,4Z2=Q+C2,=
2.
6.2017•全国卷I△45c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知sin5+sin Asin爽，则C-cosC=0,a—2,c=C=专A.B.C.I D.解析选因为《•=#,B a=2,2\f2所以由正弦定理可知，—7=^7,故sinA=^/2sinC.又兀—5=4+C,古攵sinB+sin AsinC-cosC=sinA+C+sin AsinC-sin AcosC=sin AcosC+cos AsmC+sin AsinC-sinAcosC=sinA+cos AsinC=
0.又C为△ABC的内角，故sinC#0,则即sinA+cosA=0,tanA=-
1.兀3I从而sinC=-7r sin4=2-又兀，所以A£0,A=q-.由于知为锐角，故=故选4=C B.
7.在△ABC中，若si/AWsiEB+si/C—sin^sinC,则A的取值范围是./2+02—41解析由正弦定理角化边，得/W^+c一儿，:・尻+c2—/2A,.,.cosA=77。
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