第一章 §1.1 第1课时

分类加法计数原理与分步乘法计数原理§

1.1第课时两个计数原理1学习目标

1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理2会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.知识点一分类加法计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班,6列火车.思考该志愿者从上海到天津的方案可分几类？共有多少种出行方法？答案两类，即乘飞机、坐火车.共有7+6=13（种）不同的出行方法.梳理

（1）完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.

（2）完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有ml种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=ml+m2+…+mn种不同的方法.知识点二分步乘法计数原理若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车.思考该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？共有多少种出行方法？答案两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津.共有7X6=42（种）不同的出行方法.梳理

（1）完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mXn种不同的方法.

（2）完成一件事需要n个步骤，做第1步有ml种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N=ml Xm2X-Xmn种不同的方法.

1.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（X）

2.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（V）

3.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.（V）

4.在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（V）类型一分类加法计数原理例1设集合A={l,2,3,4},m,n£A,则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆的有（）A.6个B.8个义10种不同的选法；从

三、四班学生中各选1人，有9义10种不同的选法.所以，共有不同的选法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（种）.

四、探究与拓展

14.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数.考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6X6=36（个），另外含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6X2=12（个），所以共有36+12=48（个）.

15.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4},从A,B中各取1个元素，作为点P（x,y）的坐标.⑴可以得到多少个不同的点？⑵这些点中，位于第一象限的有几个？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解

（1）可分为两类A中元素为x,B中元素为y或A中元素为y,B中元素为x,则共得到3X4+4X3=24（个）不同的点.

（2）第一象限内的点，即x,y均为正数，所以只能取A,B中的正数，共有2X2+2X2=8（个）不同的点.C.12个D.16个考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案A解析因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn.当m=4时,n=l,2,3;当m=3时,n=l,2；当m=2时,n=l,即所求的椭圆共有3+2+1=6（个）.反思与感悟

（1）应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是互不干扰的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事.

（2）利用分类加法计数原理解题的一般思路跟踪训练1满足a,b£{-l,0』,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对（a,b）的个数为（）A.14B.13C.12D.10考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析由已知得abWL若a=-1时,b=—1,0,12有4种可能；若a=0时,b=-l,0,12有4种可能；若a=l时,b=-1,0,1,有3种可能；若a=2时，b=-l,0,有2种可能..,・共有（a,b）的个数为4+4+3+2=

13.类型二分步乘法计数原理例2一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？（各位上的数字允许重复）考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成第一步，有10种拨号方式，所以ml=10;第二步，有10种拨号方式，所以m2=10；第三步，有10种拨号方式，所以m3=10第四步，有10种拨号方式，所以m4=

10.根据分步乘法计数原理，共可以组成N=10X10X10X10=10000（个）四位数的号码.引申探究若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解按从左到右的顺序拨号可以分四步完成第一步，有10种拨号方式，即ml=10；第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2=9；第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3=8；第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4=

7.根据分步乘法计数原理，共可以组成N=10X9X8X7=5040（个）四位数的号码.反思与感悟

（1）应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.

（2）利用分步乘法计数原理解题的一般思路

①分步将完成这件事的过程分成若干步；

②计数求出每一步中的方法数；

③结论将每一步中的方法数相乘得最终结果.跟踪训练2从一这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共个，其中不同的偶函数共个.（用数字作答）考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案186解析一个二次函数对应着a,b,c（a右0）的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数3X3X2=18（个）.若二次函数为偶函数，则b=

0.a的取法有3种,c的取法有2种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3义2=6（个）.类型三辨析两个计数原理例3现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.⑴从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？⑵从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？⑶从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解

（1）分为三类从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法,根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14（种）不同的选法.

（2）分为三步国画、油画、水彩画各有5种,2种,7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5X2X7=70（种）不同的选法.⑶分为三类第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5X2=10（种）不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5义7=35（种）不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2义7=14（种）不同的选法.所以共有10+35+14=59（种）不同的选法.反思与感悟

（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.⑵分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.

（3）混合问题一般是先分类再分步.跟踪训练3在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法；在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配，可得四类不同的选法.从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3义2=6（种）选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3X2=6（种）选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2义2=4（种）选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法.所以共有6+6+4+2=18（种）选法.所以共有18种不同的选法.

1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（）A.1+1+1=3B.3+4+2=9C.3X4X2=24D.以上都不对考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析分三类第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3+4+2=9（种）不同的走法.

2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（）A.7B.12C.64D.81考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案B解析要完成配套，分两步第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4X3=12（种）不同的配法.

3.若x,y£N*,且x+yW5,则有序自然数对（x,y）的个数为（）A.6B.8C.9D.10考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案D解析当x=l时,y=l,2,3,4,共构成4个有序自然数对；当x=2时,y=l,2,3,共构成3个有序自然数对；当x=3时,y=l,2,共构成2个有序自然数对；当x=4时,y=l,共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理，共有N=4+3+2+l=10（个）有序自然数对.

4.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有种.（用数字作答）考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案9解析分为两类两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2义3=6（种）选法，即共有9种不同选法.

5.某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.⑴推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？⑵每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？⑶从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解

（1）分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法;第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法.由分类加法计数原理可得，共有N=8+10+6=24（种）不同的选法.

（2）分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法.第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法.由分步乘法计数原理可得，共有N=8X10X6=480（种）不同的选法.

（3）分三类每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8义10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10X6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8义6种不同的选法.因此，共有N=8X10+10X6+8X6=188（种）不同的选法.

1.使用两个原理解题的本质分类|一|羽1问题分成互相排斥的几类，逐类解决|一「分类加法计数版前分步|一|把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步踊测一历每乘法计数原理

2.利用两个计数原理解决实际问题的常用方法列举法I处楚之I将各种情况一一列举间接法卜旦封用总数减去不满足条件的种数

一、选择题

1.图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法共有（）A.120种B.16种C.64种D.39种考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析由于书架上有3+5+8=16（本）书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法.

2.已知{3,4,6},b£{1,2},r£{1,4,9,16},则方程（x—a）2+（y—b）2=r2可表示的不同圆的个数是（）A.6B.9C.16D.24考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案D解析确定一个圆的方程可分为三个步骤第一步，确定a,有3种选法；第二步，确定b,有2种选法；第三步，确定r,有4种选法.由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3X2X4=

24.

3.从集合{1,23…，8}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（）A.3B.4C.6D.8考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案B解析以1为首项的等比数列为1,2,4;以2为首项的等比数列为2,4,

8.把这两个数列的顺序颠倒，又得到2个数列，，所求数列为4个.

4.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A.56B.65C.D.6X5X4X3X2考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案A解析每位同学都有5种选择，共有5X5X5X5X5X5=56（种）.

5.如果x,产N,且l〈xW3,x+y7,则满足条件的不同的有序自然数对（x,y）的个数是（）A.5B.12C.15D.4考点分类加法计数原理题点分类加法计数原理的应用答案c解析当x=l时,y的取值范围可能为0,123,4,5,有6种情况；当x=2时,y的取值可能为0,1,2,34有5种情况；当x=3时,y的取值范围可能为0,1,2,3,有4种情况；根据分类加法计数原理可得，满足条件的（x,y）的个数为6+5+4=

15.

6.定义集合A与B的运算A*B如下:A*B={（x,y）|x£A,y£B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B的元素个数为（）A.34B.43C.12D.以下都不对考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案C解析由分步乘法计数原理可知,A*B中共有3X4=12（个）元素.

7.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数为（）A.2+4+3B.2X4+3C.2X3+4D.2X4X3考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案B解析分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2X4种，二是直接从甲地到丙地，有3种，所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2X4+

3.

8.已知集合MG{1,-2,3},Ne{-4,5,6,一7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第

一、二象限内不同的点的个数是（）A.18B.17C.16D.14考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案D解析分两类.第一类:M中的元素作横坐标,N中的元素作纵坐标，则在第

一、二象限内的点有3X2=6（个）;第二类:N中的元素作横坐标,M中的元素作纵坐标，则在第

一、二象限内的点有4X2=8（个）.由分类加法计数原理可知，共有6+8=14（个）点在第

一、二象限.

二、填空题

9.一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法种.考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案16解析由分步乘法计数原理得4X4=

16.

10.若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有种不同的方法.考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案56解析对于图1,按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2+3=5（种）不同的方法.对于图2,按要求接通电路必须分两步进行第一步，合上A中的一个开关；第二步，合上B中的一个开关，故有2义3=6（种）不同的方法.

11.直线方程Ax+By=O,若从0』,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示条不同的直线.考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用答案22解析若A或B中有一个为零时，有2条；当AB手时有5义4=20（条），故共有20+2=22（条）不同的直线.

12.某运动会上,8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,345,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.考点分步乘法计数原理题点分步乘法计数原理的应用答案2880解析分两步安排这8名运动员.第一步，安排甲、乙、丙三人，共有135,7四条跑道可安排，所以共有4X3X2=24（种）方法;第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5X4X3X2X1=120（种）.所以安排这8人的方式共有24X120=2880（种）.

三、解答题

13.现有高一四个班的学生34人，其中

一、

二、

三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.⑴选其中一个为负责人，有多少种不同的选法？⑵每班选一名组长，有多少种不同的选法？⑶推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？考点两个计数原理的区别与联系题点两个原理的简单综合应用解

（1）分四类第一类，从一班学生中选1人，有7种选法;第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）.

（2）分四步第

一、

二、

三、四步分别从

一、

二、

三、四班学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N=7X8X9X10=5040（种）.⑶分六类，每类又分两步从

一、二班学生中各选1人，有7X8种不同的选法；从

一、三班学生中各选1人，有7义9种不同的选法；从

一、四班学生中各选1人，有7X10种不同的选法，从

二、三班学生中各选1人，有8X9种不同的选法；从

二、四班学生中各选1人，有8。