第六章 无穷级数

无穷级数无穷级数是研究生入学考试《数学一》和《数学二》的重点也是难点内容之一，内容包括常数项级数的收敛与发散，收敛级数的和的概念,级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与级数以及它们的收敛性，正项级数收敛性的判别法，P交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念,幕级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幕级数的和函数，塞级数在其收敛区间内的基本性质简单嘉级数的和函数的求法，初等幕级数展开式，函函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数，狄利克雷（Dlrichlei）定理，函数在利1,1］上的傅里叶级数,函数在［］上的正弦级数和余弦级数0,1通过学习，同学应达到如下要求.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性1质及收敛的必要条件掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件

2.p掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法

3.掌握交错级数的莱布尼茨判别法

4.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛

5.的关系.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念

6.理解事级数的收敛半径的概念、并掌握塞级数的收敛半径、收敛区间及7收敛域的求法.了解幕级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微8分和逐项积分），会求一些事级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件

910.掌握ex、sinx cosxIn（1+x）和（1+x）a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幕级数了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在［口上的函数n.-L,展开为傅里叶级数，会将定义在［口上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会0,写出傅里叶级数的和的表达式/\n12玄1+n x\x gl+n一-t=z—n=o n!、2J2n=o n!收敛域二0（-8,+8）令£宁tn8n2St=n=o n!00—+Z—tnn!=itn=E nn!n=0□o=el+Zn=ln-l!tn0000=6+sn_l Jtn1n2n-2!ct..

4.2ix、2故♦X X，Sx=e2X£—oo,+ooI+—+——24=e+te+t e例利用计算基级数的和函数，求下列级数的和ll乙n=0［错解］因为limn；r+1=0所以S=（—球）；+1=08乙n=0乙［分析］通项趋近于零只是级数收敛的必要条件首先考虑其对应的基级数，再求收敛域，利用收敛基级数的性质一［正确解法］/\nCO记:S1x=Xnn-lxn=x2Xnn-lxn-T,1n=0n=2s21+-s1-28zn=0-\l71AG2-3-n n nn2+8zn=0--£n=0+Z/\\11-2--nXU711S2S+，ff，

2.X-

1..-1----------1,-lx3X+11x+2-3+x-l-3-2x4ooz、fx==ZT”2n+,3n+1n=0-1x31如x=0,fx0■x1+—2二fx2x2+4x+125x+452x+31+x3如fx=lnl-x+x2=lnl+x3-lnl+x=In1+x）（T，U）x3n-xnn=l n考研试题选编8（考研数学一）设〃为正项级数，下列结论中正确的是例2004X n=l1300A若则级数收敛.n=i00若存在非零常数使得则级数z%发散・B X,limn=\〃一＞88若级数£%收敛，则〃一＞8lim/%=o.Cn=\00D若级数发散，则存在非零常数使得4，〃一＞8fl=\［B］C］［错对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过解］排除法找到正确选项.［分析］—!—，则lim nanln二但00”n0,z---发散,［正确解法］取〃〃nn=\n=\ln n1H排除又取〃=一方，则级数〃收敛，但排除A,D；lim/a”=8,C,nyln=\n〃f0故应选B.本题也可用比较判别法的极限形式，a8］8而级数£—发散，因此级数£氏也发散，故lim na=lim-^=2y0,n1n/—oo〃一00_n=\/e n=\n应选B.例考研数学三设有下列命题1420040000若〃收敛，则收敛•1-1+〃2Enn=\n=\CO00若〃收敛，则收敛.2Z〃〃+1000n=\n=\00若四包〉则»〃发散.3lim1,…un n=iCO0000若收敛，则匕都收敛4Z%2+U Z7n=\n=l n=\则以上命题中正确的是A

12.B⑵

3.C⑶

4.D⑴

4.［］B［错解］［］D［分析］可以通过举反例及级数的性质来说明个命题的正确性.400［正确解法］⑴是错误的，如令%,=-〃，显然，〃分散，而1Z n=\00+〃2〃收敛・/7=1是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.2是正确的，因为由殳旦〉可得到与不趋向于零〃所以3lim1t oo,72-00U fI,n00〃发散.£un=\11:004是错误的，如令%=—,匕=-----------,显然，V z匕都发散，而〃〃〃=1n=\00劭+匕收敛.故选Z B.00一的收敛区例152005考研数学一求累级数ZT〃T1+%2〃-1n=\n=\间与和函数00错解］原级数可以分成两个SX=£T〃T/〃与77=1

②1，px=2f-1尸/-2=2sx=1+x21+x2n=\严一—一两个分别求和相加而得.⑴=£-1M〃2〃-1从而对积分得到再积分，用分步积分公式有p〃x2arctanx,2xarctanx-lnl+x2,从而和函数为--------+2%arctan x-lnl+x21+x［分析］显而易见该级数的收敛区域为［正确解法］以上的推导结果只有在收敛区域才是成立的，所以正确的答案是在以上结果里加上收敛区域即可错误的解答属于典型的对而不全例考研数学一162004设有方程+依—其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根1=0,n00乙，并证明当二〉时，级数收敛.1n=\［错解］利用介值定理证明存在性，而正项级数的敛散性可用比较法判定证明记力由，力〃〉x=x〃+〃x—

1.0=—10,1=0,及连续函数的介值定理知，方程〃+依—存在正实数根％x1=0e0,

1.\-x1由+加-与工〃知,故当时,x〃1=000x〃=——aln n0x l\n818而正项级数收敛，所以当时，级数收敛.a1〃=1n n=\［分析］没有考虑唯一性［正确解法］现利用单调性证明惟一性当x0时，/；（%）=〃/1+〃〉0,可见在上单调增加，故方程f（X）0+8）n/+依—存在惟一正实数根居.，补上这条，原证明才完整1=0知识网络图几何级数与级数正P常数项级数^项级数「常数项级数的一般概念口性质交错级数，条件和绝对攵敛I幕级数收敛半径基级数函数的基级数展开幕级数的和函数函数在对称区间上的供傅里叶展开三角傅里叶级数级数

二、典型错误分析81例、判断级数士是否收敛12n+l11=100［错解］:lim a=lim---=0,n-8nf82n+lnn=l［分析］通项为零只是级数收敛的必要条件，即就是收敛，极限也未必为零级数收敛的充要条件应该是收敛准则，但必要条件可以用来否定级数cauchy收敛［正确解］£《.=〃+用+…%，考虑到加任意性，不lim limJi=nlim Ya=lim a+a+...a ifl n+i m，〃一/%〃f8i=n=lim----------1------------F,••H------------------2/1+12〃+3------2〃+2〃+l妨取加于是i=2%「1z

1、11+--------+•••+-------lim—---------•---------------82n+\n+22/+122n+l1—2从而上面数列发散发散首先考察lim unnfoo=0需进一步判别注意，正项级数判别其敛散性的步骤如下:

①如/中含或的乘积通常选用比值法;n!n

②如丁是以为指数募的因子，通常用根值法，也可用比值法;n

③如%含形如可以不是整数因子，通常用比较法；n a

④利用级数性质判别其敛散性；

⑤据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察lim Sn{Sn}n-00是否有上界azo2nn!例、判别下列级数的敛散性2n=l n［错解］用比式判别法则=n+0n—oo iin—couw+ln r+n+ln=lim----------n-82nn1+-=lim-——n—82发散=-l2［分析］此乃把正项级数的比式判别公式记颠倒了收敛=2i elimf°u向［正确解法］只需要后一项比前一项就可以了，显然例、判别下列级数的敛散性

3、nEoon=l12n+1［错解］用根式判别法」一=发散limW；=Um LwO2n+l2nf8nf8［分析］此乃把正项级数的根式判别公式与级数收敛的必要条件混淆了［正确解法］其实以上情形同比式判别法，结果是收敛的或者用比较原则8门丫£-收敛n=l12J，原级数收敛3°交错级数的敛散性的判别法如Un0,则称S-ln-1U=Uj-U+U-U+…为交错级数n=ln234莱伯尼兹判别法如交错级数£-满足lL%nn=l1u uii lim u=0nn+1nnf oo8则Z-ln-1U收敛，且和S〈U1nn=l例、判断下列级数的敛散性4Z-lnVn+l-Vnn=l［错解］，从而发散lim+l-08n-co/［分析］以上是一个不定式的极限，分子有理化后即得极限是零1limy/n+1+［正确解法］由以上分析知道并且lim unu-Vn+1-Vnn〃-»8A/n+1+Jn+2+J n+1=J n+2—Jn+1收敛1z-irn-In nn=l例、判断下列级数的敛散性5［错解］:发散lim=lim——!——w0〃-88〃一in〃［分析］以上是一个不定式的极限，不能贸然得极限是零[正确解法]几几limu=lim——-——=lim———\——=0〃-8〃-8〃-In nigInnn1---------n I\并且[n+l-lnn+l]-[n-ln n]=1-ln1+—0I nJ即，----------------------------------7------7U U+1n nn-h nn+l-lnn+l，由判别法知收敛Leibnitz注意绝对收敛与条件收敛知识点的掌握00为任意项级数Zunn=loo oo如S|u收敛称绝对收敛n ZUnn=ln=l00如ZUn0000发散收敛称条件收敛n=l EuZu”nn=l n=loo co定理，如收敛必收敛f Sun=l n=l对哥级数主要讨论两个问题幕级数的收敛域将函数表示成幕级数12事级数的收敛域具有特别的结构00定理⑴如ZanX11在X=X（Xo）收敛，则对于满足冈|xo|的n=（）00一切都绝对收敛x n=

000.,（）如在］发散，则对于满足区闻|的一切ii£anX x=X x n=0oo发散n=000证

（1）;fanX；；收敛flim=0nf8（收敛数列必有界）anX0a/”=anxoX0xon00Zk为几何级数，当Xol收n=0xo）xon=0收/.原级数绝对收敛ZanX”00

（2）反证如存在一点X2（昆|区|）使ZanX；收n=0oo则由收，矛盾

（1）Za x^nn=0由证明可知事级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数使收，R,|x|vR发，称为收敛半径|x|R R幕级数的收敛半径及其求法（或疯=）00lim pnf8定理

（2）如p幕=级0数x an=0R=+8则

00.XXX+…+__...sinx=£-I”=x-----------+----------------+n=02n+1!3!5!7!72n+1lnl x^-r=x---,-1,1]+T T+T T+2nJ.cosx2!4!6!—oo,4-oo^l2aa—l…a—n++・・・-!--+xr=1+ax+xn!-00,+oo在端点的敛散性与有关a例求下列幕级数的和函数9Enn+lxnn=l/、、ooz.错解ix］n令=xs^xn=+Zlnnxnn-1+1n=lft「n+\n=l7［分析］哥级数只有在收敛域内才是逐项可积、逐项可导的，所以首先得求收敛域xn+1nn+1_［正确解法］lim=limn—oo nfoon+ln+2xn、•二收敛域为T,R=l,X=±l,Un0,1令Sx=^nn+lxn=xn+lnx n-1n=l〃oon+1X fxxe\n=l7例求下列塞级数的和函数10+n2nzcoXn=o n!-21_i_p tn8n2八oo oo［错解］令St=z=E+z^-tn00tn=et+Ztnn=o n.n=o n!n=l n!=el+tel+t2el、n=l nx/2故Sx=-1+-+—xe-1,1\24,［分析］塞级数只有在收敛域内才是逐项可积、逐项可导的，所以首先得求收敛域，不能想当然的认为收敛域就是-1,1［正确解法］。