考点13 指数与对数的运算（原卷版）

考点指数与对数的运算13建考点详解【命题解读】学生应指数嘉的含义及运算法则，实数指数累的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；【基础知识回顾】根式

1.概念式子也叫做根式,其中〃叫做根指数，叫做被开方数.1a,4Z0,性质％〃=〃〃使纸有意义；当〃为奇数时，卬，当〃为偶数时，|=一/27=47=|Qa分数指数累

2.m1规定正数的正分数指数累的意义是“四0,m,7eN\且〃1；正数的负分数指数累的意义m\是〃-[=-m0,〃£N*,且〃1；0的正分数指数幕等于Q；0的负分数指数幕没有意义.2有理指数幕的运算性质优，=贮；abr=ab,其中0,/0,r,s^Q.对数的概念

3.如果d=可〉0且1，那么数匕叫做以为底N的对数，记作logJV=4其中4叫做对数的底数,叫做真数.N对数的性质与运算法则

4.对数的运算法则1如果且那么0Wl,M0,N0,M

①logaMN=log,+logc/N；

②log,R=log—loaN；n

③logW=川〃e R；

④log g=浣log〃M.对数的性质2

①〃=N:

②logc/=N〃0且存

1.对数的重要公式3loN

①换底公式logjv=iog,6a,c均大于零且不等于1；热身训练

1、设a,b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是/=A.logq blog loga B.10ga0g=10gqb

②logab=log〃Q,推广10g，・10g/610grd=12血.C.log be=log”b・log”c D.log.S+c=logo b+log”crt

2、0og9-log4=2311A.-B.一C.D.4422__2if、化简4〃•b—3+1—的结果为32a8〃A.-3b B.-b6a C.—bD.~6ab

4、（多选）已知+「=3,在下列各选项中，其中正确的是（）〃A.2+Q-72=B.3=]8|£C.a+tz—2=±^5的值是、lg75+lgV205]_I

6、计算logs[421og10—35」-710g72]=.

7、2012北京已知函数/x=lgx,若fab=l,则/*+八⑹二考向一指数累的运算例化简下列各式（其中各字母均为正数）.12⑴中1+

0.002—10^5-2-14-71°aib^Nab2〉2111la O,/

0、（〃历）加44〃-3ZTM4Z7-oAo一〃°；3[

0.064»—

2.5p—\/38i2-2_11田・a3•变式、.计算下列各式的值:1-]°+93x V3-log-/TTXU27II/3誓+S25-34+lg4-1x+x—2变式、已知丫「求F--------的值.25+5=3,31A IA——x2+x2-3方法总结

（1）指数累的运算首先将根式、分数指数嘉统一为分数指数累，以便利用法则计算，这时要注意:

①必须同底数嘉相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序.（）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.2⑶运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考向二对数的运算Ig2+lg5—Ig8］=2化简:3+log2例、化简11lg50—lg40=11A.100B.±Vw C.log102设=机，且则相等于325=£+5=2,变式、化简下列各式111W5+lg2+/即+/g

0.01-1；2/g2+/g2•/g50+/g25；3计算/Og32+/Og92・/0g43+/og83；324210g32—log39+log^S—3log55；32变式

2、l2/og32—/og3瓦+/统8—5陷3；⑵/og2125+log425+Iog85,log52+/og254+/ogl

258.方法总结对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如拆首先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数累的形式，使幕的底数最简，然后利用对1数运算性质化简合并；合将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、2商、累的运算.考向三指数是与对数式的综合212例3

（1）已知a,b,c均为正数，且3a=m=63求证a+b=c；一〃一1z7

（2）若60a=3,60b=5,求］2叩的值.11变式、设=〃=加，且+人=则相等于.1252,方法总结这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是

1.化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法.在优化提升实战演练・

1、（2013浙江）已知x，y为正实数，则r B.2lg（x+y）=2lgx»2lgyD.=2lgx»2lg

2、（2020全国I文8）设alog34=2,则4-a=1A.c.一8D.

6163、（2017新课标I）设xyz为正数,且2”=3y=5”,则C.2lgvelgy=2lgx+2lg），A.2x3y5z B.5z2x3y c.3y5z2x D.3y2x5z

4、（2017北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为而可观测宇宙中普通物质的原子M3361,总数约为（）.则下列各数中与吆最接近的是N18N（参考数据）1g3ko.48A.1（）33B.IQ53C.1073D.1（）

935、（2020全国［理12）若2+Iog2〃=4+21og4〃，贝ijA.a2b C.ab1B.a2b D.ah

2、化简下列各式:6121[

0.0645^]3-^/1-^

0.351⑵标.小.。