第二章 1.5 第2课时

第课时点到直线的距离公式2学习目标了解点到直线距离公式的推导方法掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平L2行线间的距离等问题.知识点一点到直线的距离思考如何求点到直线的距离？1PxO,yO1:Ax+By+C=0答案先求出过点的直线的垂线的方程，通过联立方程组得到垂足的坐标，再利用两PxO,yO1点间的距离求出点与垂足的距离，即为点到直线的距离PxO,yO PxO,yO1d=.思考点到直线的距离公式对于或时的直线是否仍然适用？2A=0B=0答案仍然适用，

①当A=0,BH0时，直线1的方程为By+C=0,即丫=一，d==,适合公式.

②当时，直线的方程为适合公式.B=0,AHO1Ax+C=0,x=—,d==,梳理点到直线的距离定义点到直线的垂线段的长度.1⑵图示公式3d=.知识点二两条平行直线间的距离思考直线上有一三点,直线与直线平行，11:x+y—1=0Al,0,B0,l,C1,212:x+y+l=011那么点到直线的距离分别为多少？有什么规律吗？A,B,C12答案点到直线的距离分别为，，.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一A,B,C12条直线的距离都相等.梳理两平行线间的距离定义夹在两平行线间的公垂线段的长.1图示:2求法转化为点到直线的距离.3公式两条平行直线与之间的距离411:Ax+By+Cl=012:Ax+By+C2=0d=.点到直线的距离为.

1.PxO,yO y=kx+b X直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.

2.V两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取

3.一点的最短距离.V类型一点到直线的距离例⑴求点到下列直线的距离.1P2,—341

①》=尹+亨

②3y=4；

③x=

3.题点与点到直线的距离有关的最值问题答案8解析由的实际意义可知，它代表直线上的点到原点的距离的平方，它的最小x2+y2x+y—4=0值即为原点到该直线的距离的平方，、|1XO+1X0-4|\所以忑J2=

8.设点在直线上，且点到原点的距离与点到直线的距离相等,

10.P x+3y=0P P x+3y—2=0则点的坐标是.P考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案V§或1，-I解析设P—3a,a,由题意得=,即解得10a2=,a=±,或便,-1,53经过点且到原点的距离等于的直线的方程为.

11.P—3,4,31考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案％=—3或7x+24y—75=0解析当直线的斜率不存在时，原点到直线的距离等于满足题意；111:x=-33,⑵当直线的斜率存在时，设直线的方程为即11y—4=kx+3,kx—y+3k+4=

0.原点到直线的距离解得一.1d==3,k=直线/的方程为7x+24y—75=

0.综上，直线的方程为或1x=—37x+24y—75=

0.

三、解答题如图，已知直线现将直线向上平移到直线的位置，若和坐标轴

12.11:x+y—1=0,111212,11围成的梯形面积为求的方程.4,12考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解设直线的方程为12y=—x+bbl,则图中点Al,0,D0/,Bb,0,C0,b,A|AD|=,|BC|=b.梯形的高就是点到直线的距离,h A12故h===bl,由梯形面积公式，得X=4,.又〉Ab2=9,b=±3b l,/.b=

3.从而得直线，2的方程是x+j—3=

0.

四、探究与拓展已知入射光线在直线上，经过轴反射到直线上，再经过轴反射到直线

13.ll:2x—y=3x12y上.若点是直线上某一点，则点到直线的距离为13P11P13A.6B.3C.D.考点点到直线的距离题点求点到直线的距离答案C解析如图所示，结合图形可知，直线11〃13,则直线11上一点P到直线13的距离即为11与13之间的距离.由题意知与关于轴对称，故的方程为与关于轴对称，故的方1112x12y=-2x+3,1213y13程为y=2x+

3.由两平行线间的距离公式，得与间的距离1113d==,即点到直线的距离为弊.P/3已知正方形一边所在直线的方程为对角线的交点为

14.ABCD CDx+3y—13=0,AC,BD Pl,5,求正方形其他三边所在直线的方程.ABCD考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解设点到的距离为则Pl,51CD d,d=.因为1AB〃1CD,所以可设1AB:x+3y+m=

0.点到的距离亦为Pl,51AB d,则=,又因为所以即mW—13,m=—19,1AB:x+3y—19=

0.因为所以可设1ADJJCD,lAD:3x—y+n=0,则点到的距离等于点到的距离,且都等于Pl,51AD Pl,51BC d=,或—•,n5n1,贝也AD3x-y+5=0,IBC3x-y-l=

0.所以，正方形其他三边所在直线方程为ABCD x+3y-19=0,3x-y+5=0,3x-y-1=

0.考点点到直线的距离题点求点到直线的距离解

①y=x+可化为4x—3y+l=0,点到该直线的距离为P2,—3|4X2—3X—3+1|18一~~^412+-32一于

②3y=4可化为3y—4=0,由点到直线的距离公式，得d==；

③x=3可化为x—3=0,由点到直线的距离公式，得d==L求过点且与点距离相等的直线的方程.2M-l,2,A2,3,B—4,51考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程解方法一当过点的直线的斜率不存在时，M—1,21直线的方程为1x=-l,恰好与人2,3,6—4,5两点距离相等，故满足题意；x=-1当过点的直线的斜率存在时，M—1,21设直线的方程为1y-2=kx+l,后17+1解得一,k=此时直线的方程为1y-2=-x+l,即光+3y—5=

0.综上所述直线/的方程为％=—或1%+3y—5=

0.方法二由题意得,1〃AB或1过AB的中点，当1〃AB时，设直线AB的斜率为kAB,直线的斜率为1kl,则kl=kAB==—,此时直线的方程为1y—2=—x+1,即x+3y—5=

0.当过的中点一时，直线的方程为1AB1,41x=—L考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程答案⑴手22%—y+l=0解析由题意，得=,1即Am=2,6x+2y—1=

0.即kx—y-\-k-\-2=

0.由点与到直线的距离相等，得A2,3B—4,51攵-攵+|-4k卜+|23+2|-5+2]综上所述，直线的方程为或1x=-1x+3y—5=

0.反思与感悟利用点到直线的距离公式时应注意的三个问题1

①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.

②点在直线上时，点到直线的距离为公式仍然适用.P10,

③直线方程当或时公式也成立，但由于直线是特殊直线与坐标轴Ax+By+C=0,A=0B=0垂直，故也可用数形结合求解.⑵用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.跟踪训练⑴若点到直线的距离不大于则的取值范围是14,a4x-3y=03,a⑵已知直线过点且与点一等距离，则直线的方程为1P3,4A-2,2,B4,21考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案⑴朗一厂或2212=02x+3y—18=0解析由题意知，＜13,解得WaW,故的取值范围为ri311ky.过点且斜率不存在时的直线与两点的距离不相等，2P3,4x=3A,B故可设所求直线方程为y-4=kx-3,即kx—y+4—3k=0,由已知，得=,或/.k=2k=—,/.所求直线I的方程为或2x+3y—18=02x—2=

0.类型二两平行线间的距离例⑴两直线和平行，则它们之间的距离为.23x+y—3=06x+my—1=02已知直线1与两直线112x—y+3=0和122x—y—1=0的距离相等,则直线1的方程为将直线化为3x+y—3=06x+2y—6=0,由两平行线间的距离公式，得|-1+6|5V10V+5=V40=44⑵设直线的方程为12x-y+C=0,由题意，得=,解得C=l,・••直线/的方程为2x~y-\-1=

0.反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线11:y=kx+bl,12:y=kx+b2,且+Wb2时,d=；当直线H:Ax+By+Cl=0,12:Ax+By+C2=0且C1*C2时,d=.但必须注意两直线方程中的系数对应相等.x,y跟踪训练求与直线平行且到的距离为的直线方程；211:5x-12y+6=012两平行直线分别过若与的距离为求两直线方程.211,12Pll,0,P20,5,11125,考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解方法一设所求直线的方程为15x—12y+C=0,在直线上取一点5x—12y+6=0P0,则点到直线的距离为=,P05x-12y+C=0由题意,得=2,所以或C=32C=—20,故所求直线的方程为或5x-12j+32=05x—12y—20=

0.方法二设所求直线的方程为5x—12y+C=0,由两平行直线间的距离公式，得2=,解得或C=32C=-20,故所求直线的方程为或5x—12y+32=05x—12y—20=

0.依题意，两直线的斜率都存在，2设即11:y=kx—1,kx—y—k=0,12:y=kx+5,即kx—y+5=

0.因为与为的距离为115,所以解得或.=5,k=0所以和的方程分别为和或和/i/2y=o y=55x—12y—5=05x-12j+60=

0.类型三利用距离公式求最值命题角度由点到直线的距离求最值1例已知实数满足则的最小值为.3x,y6x+8y—1=0,考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值7答案10解析:，上式可看成是一个动点到定点的距离，即为点到直线上任意Mx,y N0,1N1:6x+8y—1=0一点Mx,y的距离,・・.|MN|的最小值应为点N到直线1的距离，3|8-1|7即诟而=而IMMmin=反思与感悟解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.跟踪训练动点在直线上,为原点，求最小时点的坐标；31Px,y x+y-4=0O|OP|P⑵求过点且与原点距离最大的直线方程.Pl,2考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值解⑴直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时垂直于已知直线,贝OPl]kOP=l,x=29由《解得尸

2.x+y-4=0,・・・0P所在直线方程为y=x,・•・点P坐标为⑵

2.⑵由题意知，过点且与垂直的直线到原点的距离最大,P OPOkOP=2,・••所求直线方程为y—2=—x—1,即x+2y—5=

0.命题角度有关两平行线间距离的最值2例两条互相平行的直线分别过点并且各自绕着点旋转，如果两条平行4A6,2,B—3,-1,A,B直线间的距离为d.⑴求的取值范围；d求取最大值时，两条直线的方程.2d考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解⑴设经过点和点的直线分别为显然当时和的距离最大，A B11,12,,1112且最大值为|AB|==3,・・.d的取值范围为（0,3].

（2）由

（1）知，dmax=3,又kAB==,直线的斜率J k=-3,・••两直线的方程分别为3x+y—20=0或3x+y+10=

0.反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.跟踪训练已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（）4P,Q3x+4y-5=06x+8y+5=0|PQ|A.3B.C.D.考点两条平行直线间的距离公式及应用题点求两条平行直线间的距离答案D解析由题知，两直线平行，两平行线间的距离就是的最小值可化为|PQ|,3x+4y—5=06x+8y-10=0,则|PQ|==.

1.已知点（a』）到直线x—y+l=0的距离为1,则a的值为（）A.1B.-1C.D.±考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案D解析由题意知，=1,即|a|=,Aa=±.

2.直线x—2y—1=0与直线x—2y—C=0的距离为2,则C的值为（）或一A.9B.U9或一C.-11D.911考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案B解析两平行线间的距离为d==2,解得或C=-9C=ll.

3.已知点M（l,2）,点P（x,y）在直线2x+y—1=0上，则|MP|的最小值是（）A.B.C.D.3考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案B解析点到直线的距离，即为的最小值，所以M2x+y—1=0|MP||MP|min==.两平行直线与间的距离为则

4.3x+4y+5=06x+ay+30=d,a+d=.考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案10解析由两直线平行知,a=8,d==2,Q+d=

10.直线上到点距离最近的点的坐标是.

5.3x-4y-27=0P2,l考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案5,-3解析由题意知，过点作直线的垂线，P3x—4y—27=0设垂足为则为最小，M,|MP|直线的方程为MP y-l=-x-2,厂,3x—427=0,解方程组＜得4卜=y—1=-1x—2,-3,・•.所求点的坐标为5,-

3..点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式解题时1要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需数形结合，使问题更清晰.

2..已知两平行直线，其距离可利用公式求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的3d=距离.

一、选择题•点到直线的距离是11,—1y=l当A.^/2B.C.3D.2考点点到直线的距离题点求点到直线的距离答案D解析故选d==2,D.已知点是第二象限的点，那么它到直线的距离是

2.Pa,b x—y=0A.a-b B.b—aC.孚/-〃D.^6Z2+/72考点题点答案c解析是第二象限的点，/Pa,ba0,b

0.••a——b

0..点P到直线x-y=O的距离d==b—a..若点在直线上，且点到直线的距离为，则点的坐标为3P3x+y—5=0P x—y—1=0PA.l,2B.2,1或或一C.1,22,-1D.2,11,2考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案c解析设点的坐标为Px,5—3x,则由点到直线的距离公式，得=,即|4x—6|=2,A4x-6=±2,・・・x=l或x=2,・,•点P的坐标为1,2或2,-

1.已知点到直线的距离相等，则实数的值等于

4.A—3,—4,B6,3l:ax+y+l=0a一A.B.一或一一或C.D.考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案C解析由点到直线的距离公式，可得=,化简得|3a+3|=|6a+4|,71解得实数=—或一故选3I C.到直线的距离等于的直线方程为

5.2x+y+1=0A.2x+y=0B.2x+y—2=0或C.2x+y=02x+y-2=0或D.2x+y=02x+y+2=0考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程答案D解析根据题意可设所求直线方程为因为两直线间的距离等于，所以解得2x+y+C=0,d==,C=或故所求直线方程为或0C=2,2x+y=02x+y+2=

0.两平行直线分别经过点它们之间的距离满足的条件是

6.A3,0,B0,4,dA.0dW3B.0dW5C.0d4D.3WdW5考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案B解析当两平行直线与垂直时，两平行线间的距离最大为所以AB|AB|=5,0dW

5.过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线共有

7.x—y+l=O x+y—1=01条条A.0B.1条条C2D.3考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案B1=0,[x=0,解析联立方程得[y=i.[x+y-1=0,，两直线交点为0,1,又交点到原点的距离故只有条.1,1若动点分别在直线和上移动，则的中点

8.Axl,yl,Bx2,y211:x+y—7=012:x+y—5=0AB到原点距离的最小值是MA.3B.2C.3D.4考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案A解析由题意知，点的轨迹为平行于直线且到距离相等的直线其方程为M11,1211,121,x+y.,•点到原点的距离的最小值为—6=0,M d==

3.

二、填空题.点在直线上，则的最小值是.9Px,y x+y—4=0x2+y2考点点到直线的距离。