6.2.16.2.2排列与排列数（精讲）

排列与排列数萼知识梳理

一、排列、定义一般地，从几个不同元素中取出”机工〃个元素,按照一定的顺序排成一列，叫做n1个不同元素中取出m个元素的一个排列排列定义的两个要素一是“取出元素，二是将元素按一定顺序排列、相同排列两个排列相同，当且仅当排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同

2、对排列概念的两个关注点3顺序性每一个排列不仅与选取的元素有关，而且还与元素的排列顺序有关，选取的元素1不同或虽元素相同但元素的排列顺序不同时叫做不同的排列，只有当两个排列的元素完全相同且元素的顺序完全一样时才是相同的排列选排列与全排列在定义中规定，如果加＜〃，一般称为选排列；如果机=〃，则称为全排2列

二、排列数、定义从〃个不同元素中取出根加＜〃个元素的所有不同排列的个数叫做从〃个不同元素中1取出加加个元素的排列数，用符号表示、全排列八个不同的元素全部取出的一个排列，叫做〃个元素的一个全排列，且2A；=HH-1H-2H-3X...X3X2X1阶乘正整数到〃的连乘积，叫做〃的阶乘,用加表示1yiI、排例」数公式+=3特别的A=n！N*且mSn；规定0!=1

三、有限制条件排列问题常见类型、解有“相邻元素”的排列问题的方法1对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序、解有“不相邻元素”的排列问题的方法2对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法即先排不受限制的元素，使每两个元素之

（7）与无任何限制的排列相同，即个元素的全排列，有（种）排法；7A；=5040

（8）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有A；种排法，甲、乙互换位置，有种排法，8甲、乙及中间人看作一个整体和其余人一起共个元素排成一排，323有A；种排法,所以共有A；XA；XA；=72（种）排法.题型六排列应用之排数问题［例6］（2022春・北京通州•高二统考期末）用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成无重复数字的四位偶数有（）个个个个A.60B.106C.156D.216【答案】C【解析】第一类，在个位，共有种；06=60第二类，不在个位，从、中选一个数排个位，种方法；024£从余下的数字中选一个排千位，种方法；再排十位、百位，由种方法；4所以共有⑷种;A=96所以这样的四位偶数共有种，所以正确；故选60+96=156C C.【变式6-1］（2022秋・吉林四平•高二四平市第一高级中学校考阶段练习）用数字0,1,2,3,组成没有重复数字且大于的六位数的个数为（4,5）A.478B.479C.480D.481【答案】B【解析】用数字组成的没有重复数字的六位数的个数为有0,1,2,3,4,55A

600.以为十万位的没有重复数字的六位数的个数为1Y=120,由于是以为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，2所以没有重复数字且大于的六位数的个数为.故选600720-1=479B【变式6-2］（2022秋•辽宁沈阳•高二同泽高中校考阶段练习）用数字」,2,3,4,5,6组成个没有重复数字并且是的倍数的五位数5【答案】660【解析】若末位为则可组成个满足题意的五位数；，A；若末位为则可组成个满足题意的五位数;5,A；A；二共可组成满足题意的五位数有个.A+A；A；=660【变式6-3]（2023秋・辽宁沈阳・高二东北育才学校校考期末）定义“各位数字之和为7的四位数叫幸运数”，比如，则所有“幸运数”的个数为（）“1006,2023”A.20B.56C.84D.120【答案】C【解析】因为各位数字之和为的四位数叫幸运数，所以按首位数字分别计算7当首位数字为，则剩余三位数分别是，0,，共有个幸运数；71当首位数字为则剩余三位数分别是，共有个幸运数；6,1,0,03当首位数字为，则剩余三位数分别是共有个幸运数；51，1，20,0,3+3=6当首位数字为则剩余三位数分别是共有个幸运数；4,2,1,030,0；1,1,1,A；+3+1=10当首位数字为3，则剩余三位数分别是3,1,0；4,0,0；1,1,2;2,2,0,共有个幸运数；A；+3+3+3=15当首位数字为，则剩余三位数分别是24,1,0；5,0,0；1,1,3;3,2,0;2,2,1;共有个幸运数；A；+3+3+A；+3=21当首位数字为则剩余三位数分别是；1,5,1，6,0,0；1,1,4;4,2,0;3,2,1;3,3,0;2,2,2,共有个幸运数；A+3+3+A；+A；+3+l=28则共有个幸运数;故选:1+3+6+10+15+21+28=84C.间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空工【注意】根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法3解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主誓常考题型题型一排列的概念及其判断【例】（秋.吉林四平.高二四平市第一高级中学校考阶段练习）下列问题是排列问题的是12022（）个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？A.

10.平面上有个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？B

2022.集合｛知/，/，…，见｝的含有三个元素的子集有多少个？CD.从高三

（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】D【解析】中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；A中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；B中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；C中，选出的名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”D2与“乙参加独唱、甲参加独舞”是种不同的选法，因此是排列问题.故选2D【变式（春.江西南昌高二南昌十中校考阶段练习）已知下列问题:1-1]2022

①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；

②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；U!个数字中取出个数字组成一个两位数.2

③从a,b,c,d四个字母中取出个字母;2其中是排列问题的有（）个个个个A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】

①中,因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；

②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；

③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；

④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题.故选B.【变式（.高二课时练习）（多选）下列问题中，属于排列问题的是（）1-2]

2022.有个车站，共有多少种不同的车票A

10.有个车站，共有多少种不同的票价B10平面内有个点，共可作出多少条不同的有向线段C.

10.从名同学中选出名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法D102【答案】ACD【解析】有个车站，共需要准备多少种车票？A10相当于从个不同元素中任取个按一定顺序排列起来，属于排列问题；W2有个车站，共有多少种不同的票价？B10相当于从个不同元素中任取个并成一组，无顺序要求，不属于排列问题；102平面内有个点，共可作出多少条不同的有向线段？C10相当于从个不同元素中任取个按一定顺序排列起来，属于排列问题；102:从名同学中选出名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？D102相当于从个不同元素中任取个按一定顺序排列起来，属于排列问题.故选102ACD.【变式1-3]（

2022.高二课时练习）（多选）从集合｛3,5,7,9,11｝中任取两个元素,下列四个问题属于排列问题的是（）..相加可得多少个不同的和A.相除可得多少个不同的商B

22.作为椭圆会+中的可以得到多少个焦点为轴上的椭圆方程C2=1Q,b,x

22.作为双曲线方中的a.b,可以得到多少个焦点在轴上的双曲线方程D g-=1x【答案】BD【解析】对于因为加法满足交换律，所以不是排列问题；故错误；A:A A53对于因为除法不满足交换律，如］,所以是排列问题；BB29对于:若方程表示焦点在轴上的椭圆,c£+3=1X贝！必有ab,a,b的大小关系一定.所以不是排列问题；J C对于在双曲线十方中不管还是D=1方程均表示焦点在％轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.故选DBD.题型二排列数的简单计算［例2］（2022秋・甘肃庆阳•高二统考期末）涓=（）A.10B.5C.20D.4【答案】B「,A；5x4x3,,—【解析】y==

5.故选4aB【变式】（.高二课时练习）若歌，则的个位数字是（）2-12022=A；+AA；+...+A MA.3B.8C.0D.5【答案】A【解析】当心时,〃，此时的个位数字为5A=1X2X3X4X5X…x〃=120x6x…x A0,第的个位数字为・•・-+A+…A0,又.,一的个位数字为.故选・A；+A；+A；+A=l+2+6+24=33M3A.【变式2-2］（2022春・江苏南京•高二校考期中）（多选）下列各式中，等于加的是（）.机!A A；B.A；C.A,D.«A；；；+l【答案】CD.i・〃【解析】对选项在正场故错误.A,A”A〃+1!/、对选项B,A；Q；+J!=〃+1!W〃!,故B错误.I/71对选项+「〃!,故正确.c,A-=C，，I CI I1I•对选项,故正确.故选D,/7A；=n.n-l!=n!D CD【变式秋江苏南通高一海安市曲塘中学校考开学考试阶乘是基斯顿卡曼2-3]2022・・・于年发明的一种运算，正整数n的阶乘记为n\,它的值为所有小于或等Christian Kramp1808于〃的正整数的积即根据上述材料以下说法错误的是n!=lx2x3x...xn-Ox/2131A.4!=24B.8!=40320C.12!=12xll!D,1!+三+芯+…+厂F=#1!Z!n—1!【答案】D【解析】根据阶乘的定义可得正确；4!=lx2x3x4=24,A正确；8!=lx2x3x.・・x8=40320,Bn\=1+2+3+・・・+〃,故错误，故选:D D1!2!H-1!正确；12!=Ix2x3x...xl1x12=1l!xl2=12x11!Cz题型三证明排列数恒等式【例】春.广东佛山.高二南海中学校考阶段练习求证〃〃！；n320221〃+1!-〃!=•_11求证宙一逅币2]=3；n,123T求和3ir/TL+E-【答案】证明见解析证明见解析一品;.1；2；31【解析】证明〃!一〃!=〃〃！.1〃+1!-〃!=〃+1・n_〃•加_〃+1!一九！_112I•〃+1!力+1!・.!n+l!-n!n\n+1!n11由知.+]!-/〃+]!/32所以n123\1W11W1O fl1,1T T2!3!4!n+l!112!J2!3!j3!4!J[nl H+1!+n123,1T卜—I----1---F L+------=1—------小/2!3!4!〃+1!/i+l!-1A；+4A；=A；;喜.2A+X=A【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析/1\x-rnn4A37!4x7!4x7!x28!.A/14【解析】证明用=不+丁==然.18+41^=1〃！+〃2x〃！H-m+lx7!+mxn!〃+l!

（2）证明:A+Zn-m+l!n-m+1!/i-m!n-m+1!【变式3-2】求证A；；+mK^+mm-1A；2=A；n,meN,^_nm

2.x+1【答案】证明见解析\（〃一Ip（〃一力n【解析】依题意，左边二西研+〃飞〃_1）_（处+根（―1）［（”1）_（吁2）］!n\m-n-l!〃2加一1,〃-1!〃+〃，卜〃一1!根加一1・〃一1!〃+1-根〃+根・〃-1!+〃2根-1・〃-1![74-l-77in4-m4-mm-l]*n-l!At+1-m!仇+1〃.〃-1!n+1!右边,=An+1-m!n+1-m!所以原等式成立.【变式】求证（）端-然=后笨；；3-31〃+1!n\（〃一人+1）・〃！2~~k\I!k\-（左）.【答案】见解析.【解析】

（1）左边=腐-耳=〃5+1）端-碉二=（/+所〃）*=〃2然=右边,一结论成立，即然；然二;；—4=，2kn\〃+1〃!一kn\〃一攵+1/!左边二=右边,k\k\kk—l!k\k\Z—l!〃—k+1•加结论成立,即今一日布•••k\-左.（）当左时,2题型四解排列式方程与不等式【例4】（2022秋・吉林四平•高二四平市第一高级中学校考阶段练习）不等式A；＜6xA＞的解06/11集为（）A.［2,8］B.（7,12）C.{X\7X12,XEN}D.{8}【答案】D【解析】因为A；6xA「，所以「不6x而一工，所以（1-w97）6,所以（）（）又,所以％所以不等式的解集为树，故选x-7x-120,2W8,XGN=8,6x AD.【变式】春黑龙江七台河高二勃利县高级中学校考期中）不等式片「〃的解集为4-1（2022••7（）A.{n|-ln5}B.{1,2,3,4}C.{3,4}D.{4}【答案】c【解析】由-〃7,得（〃-］）（〃-2）-〃7,整理得〃2_4〃-50,解得-1〃5,由题可知，且〃,则〃或〃即原不等式的解集为.故选〃-122eN*=3=4,{3,4}C.【变式】春山东范泽高二统考期中）若则=（）4-2（2022・•A；=30,A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由排列数的计算公式，可得A；=n（n-1）=n2—n,且〃22,〃eN,因为A=30,即n2-n-30=0,解得〃=6或〃=-5（舍去）.故选C.【变式4-3］（2022秋.吉林四平.高二四平市第一高级中学校考阶段练习）方程A\=18A；,的解为％=.【答案】5【解析】因为A+I=18A；,贝”+124,%N2且％wN*,贝（］且%GN*所以（％+1）%（%-D（x-2）=18%（%-1）,即（％+1）（%-2）=18,解得％=5或x=T（舍去）.题型五排列应用之排队问题【例】秋.福建宁德高三校考期末）泰山、华山、衡山、恒山、嵩山是中国的五大名,5（2022•LU并称为“五岳”，它们以象征中华民族的高大形象而名闻天下，段誉同学决定利用今年寒假时间，游览以下六座名山泰山、华山、井冈山、黄山、云台山、五台山.若段誉同学首先游览云台山，且属于“五岳”的名山游览顺序不相邻，则段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有（）种种种种A.36B.48C.72D.120【答案】C【解析】根据题意，分两步完成因为段誉同学首先游览云台山，所以第一步先将井冈山、黄山、五台山这三座山进行全排列，则有种排列方法，第8=6二步从这三座山的个空格中选择两个空格，将泰山和华山插进去厕有种,由分步46=12计数原理可得段誉同学针对这六座名山的不同游览顺序共有种，故选6x12=72C.【变式】（秋.辽宁铁岭高二昌图县第一高级中学校考期末）现有、B、D、五5-12023•AE人,随意并排站成一排，B相邻且在的右边的概率为（）43AQ）\J-B—1£—A-10b,5°，5,5【答案】C【解析】依题意B、C、、五人站成一排的基本事件数有其个，它们等可能，E相邻且在的右边的事件的基本事件数有433A A,A4741所以相邻且在右边的概率为涓=示=不故选488A C【变式5-2]（2022秋・河南郑州•高三统考期末）小陈准备将新买的《尚书・礼记》、《左传》、《孟子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》、《诗经》两本书相邻，且《尚书礼记》放在两端，则不同的摆放方法有（）・种种种C.36D.48A.18【答案】B【解析】先将《论语》、《诗经》两书捆绑看作一个整体，则可以看作共个位置.4先排《尚书礼记》，排法种数为•A然后剩余个位置全排列，排法种数为3A；;最后排好《论语》、《诗经》，两书的排法种类为A；.所以，不同的摆放方法有种.故选A；・A；=2x6x2=24B.【变式.高二课时练习有名男生和名女生，根据下列不同的要求,求不同的排列5-3]202334方法种数.全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；1全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；2全体排成一行，其中名男生必须排在一起；33全体排成一行，男、女各不相邻；4全体排成一行，名男生互不相邻；53全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；6排成前后二排，前排人，后排人；734全体排成一行，甲、乙两人中间必须有人.83【答案】12160；23720；3720；4144；51440；6840；75040；

8720.【解析】元素分析法.先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有可种排法，1其余人全排列，有种排法，由乘法原理得共有种排法；67A；A=216位置分析法.先排最左边，除去甲外有用种排法，2余下的个位置全排有种排法,但应剔除乙在最右边的排法种,则符合6AA；A；条件的排法共有件的种；=3720捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有冠3A种排法；=720插空法.先排男生，然后将女生插入其中的四个空位洪有种排法;4A；A=144插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有种排法；5A A=144定序排列.名学生排成一行，分两步67第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为；N第二步，对甲、乙、丙进行全排列.由乘法原理得,所以A；=NxA；N=9=84种；。