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个性化教学辅导教案学生姓名高二数学教师姓名上课时间课题选修1-2第二章第二节直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法与综合法的思考过程教学目标与特点.
2.了解间接证明的一种基本方法一反证法；了解反证法的思考过程与特点.教学过程教师活动学生活动复习检查
1.为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠.在照射后14天内的结果如下表所示:死亡存活合计第一种剂量141125第二种剂量61925合计203050进行统计分析时的统计假设是.
2.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2x2列联表理科文科合计男131023女72027合计203050已知PA
23.841-
0.05,PA
25.024~
0.
025.50x1320—10*7-根据表中数据，得到心的观测值女二,
4.844,则认为选修文23x27x20x30义科与性别有关系出错的可能性约为.
3.打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关.下表是一次调查所得的数A.ac2bc2B.crabb1C.D.~Ta b a b
2.分析法又称执果索因法，若用分析法证明「设且o+A+c=0,求证正二7a”索的因应是〈小A.a—b0B.a—c0C.〃—/〃—c〉0D.a—ba—c
03.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两个大于
604.设实数a,b,c成等比数列，非零实数羽y分别为，与儿匕与c的等差中项，a c试证-+-=
2.x y
5.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列，对应的三边为a,b,c,求证—T a-vb+J
3..b-\~c a-\rb-\~c
二、第天
21.设=lg2+lg5,/=eA%0,则与人大小关系为A.ab B.ab C.a=b D.aWb
2.用反证法证明某命题时，对结论“自然数m b,c中恰有一个偶数”正确的反设为A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.a,b,c都是奇数D.a,b,c都是偶数
3.用反证法证明命题“若实数a,b,c,d满足a+/=c+d=l,ac-\-bd\,则a,b,c,d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是
4.设m b,£—8,0,则A.都不大于一2B.都不小于一2C.至少有一个不大于一2D.至少有一个不小于一
25.用反证法证明关于x的方程f+dox—4〃+3=0,/+（4—］）工+〃2=0,x2-\~2ax—2a=0,当oW一弓或2—1时，至少有一个方程有实数根.据.试问每晚都打鼾与患心脏病有关吗？用图表分析.未患心脏病患心脏病合计每晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合计
54157916334.为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人.
（1）根据以上数据列出2x2列联表；
（2）在犯错误的概率不超过
0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？
④问题定位
1.判断下面结论是否正确（请在括号中打“或“X”）
（1）综合法是直接证明，分析法是间接证明.（）
（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.（）
（3）用反证法证明结论“〃»”时，应假设.（）
（4）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.（）
（5）在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.（）
（6）证明不等式/+市〈小+玳最合适的方法是分析法.（）
2.若a,b,c为实数，且a*0,则下列命题正确的是（）A.cic2bc2B.crabb1C.~r D.~v a bab
3.设〃=lg2+lg5,Z=eA（x0）,则与b的大小关系为（）A.ab B.ab C.a=b D.aWb
4.用反证法证明某命题时，对结论“自然数Q,C中恰有一个偶数”正确的反设为（）A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.a,b,c都是奇数D.a,b,都是偶数
5.如果扬则〃、匕应满足的条件是.◎精准突，
1.直接证明综合法分析法从已知条件和某些数学定义、定理、公从要证明的结论出发，逐步寻求使理等出发，经过一系列的推理论证，结论成立的充分条件，最后把要证定义最后推导出所要证明的结论成立.明的结论归结为判定一个明显成立的条件.思维过程由因导果执果索因（结论）UQ尸（已知）今丹=尸23…3P〃今（结证题步骤论）=2=…=Q〃UP（已知）因为…，所以…文字语言要证…，只需证…，即证…或由…，得…符号语言P与QQUp2,间接证明反证法要证明某一结论是正确的，但不直接证明，而是先去假设不成立（即的反面非是正确的），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假定义设非是错误的，从而断定结论是正确的，这种证明方法叫做反证法.
（1）分清命题的条件和结论；证明步骤
（2）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（3）由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；
（4）由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.
（1）否定性命题；
（2）命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”等词语的；适用范围
（3）当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；
（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.题型一综合法的应用【例题1】已知，4C均为正数，证明（-+-+-）2,并确定abc4Z2+/22+C2+6A/3a，b,c为何值时，等号成立.跟踪训练1已知〃、Z、c为正实数，a-\-b+c=l.求证
（1）/+序+2与5；
（2）N34+2+q3/+2+y3c+2W
6.题型二分析法的应用■，…,q、十a-\~mb^c^+mb2工、「L0【例题2】已知20,a,/£R,求证-）2^...1-rm1-vm跟踪训练2已知〃,b£（0,+°0）,求证（回+分尸（（22+/2）
2.题型三反证法的应用【例题3］已知―1,求证三个方程x2+4^x—4tz+3=0f+m—i）x+/=o,f+2〃x—,2CZ=0中至少有一个方程有实数根.跟踪训练3已知数列｛斯｝的前〃项和为S”且满足斯+S〃=
2.
（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；
（2）求证数列｛〃〃｝中不存在三项按原来顺序成等差数列.巩固练习
1.在△ABC中，sin AsinCcos AcosC,则△ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定
2.用反证法证明命题“若〃，匕£N,出能被3整除，那么〃，匕中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A.a,都能被3整除B.a,b都不能被3整除C.〃不能被3整除D.a不能被3整除
3.玳+币与2陋+小的大小关系为.
4.凸函数的性质定理如果函数«r在区间上是凸函数，则对于区间内的任意为，如……，.为+加；-+於咤/+叼一+也,已知函数产sin x在区间0,兀上是凸函数，则在△A3C中，sinA+sinB+sinC的最大值为.
5.若h,c均为实数，且4=f—2y+g,Z=y2—2z+c=z2—2x+^.求证〃，h,c中至少有Q,一个是大于0的.
③总结优化
1.用反证法证明三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设为
2.1设定1,21,证明盯；2设\abc,证明log/+log/£+]og.aSlog/以+logcA+log〃c.
3.设/1=加++〃m0,若函数1与«x的图象关于y轴对称.求证人工十3为偶函数.【方法归纳1】利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题定义、公理、定理、法则、公式等或要证命题的已知条件时命题得证.【方法归纳2】综合法证题的思路分析题目的已知豕件及已知写结论之间在联系，选择相关的定理、公式分析条件等，确定恰当;的解题方法选择方向转化条件把三面件条转化成解题所需要的语言.至要组织过程是文字、符号、图形三种语言之间的转化I可顾解题过程，nf对部分步骤进行调整.并；对一些语言进行适当适当调整的修饰，反思总结解；题方法的选取I回顾反%2一思
4.直线翔与椭圆W4+y2=l相交于A,C两点，0是坐标原点.1当点B的坐标为0,1,且四边形QA8C为菱形时，求AC的长；2当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形0ABe不可能为菱形.【方法归纳3】
1.反证法的适用范围1否定性命题；2结论涉及至多至少无限唯一”等词语的命题；3命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；
（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.
2.反证法证明步骤第一步分清命题的条件和结论；第二步作出与命题结论q相矛盾的假定「q;第三步由p和出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题“pnq”为真.【方法与技巧】
1.分析法的特点从未知看需知，逐步靠拢已知.
2.综合法的特点从已知看可知，逐步推出未知.
3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.【失误与防范】
1.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论.
2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.效果验证
1.已知加1,a=y]m+1—y[m,b=ylm—y]m—1,则以下结论正确的是（）A.ah B.ab C.a=b D.a,h大小不定
2.已知a0,b3则!的最小值是（）A.2B.272C.4D.
53.用反证法证明命题“设
①8为实数，则方程d+ax+QO至少有一个实根，，时，要做的假设是（）A.方程1+0¥+/=0没有实根B.方程至多有一个实根A3+OT+Z=0C.方程必+以+匕=至多有两个实根D.方程始+以+力二恰好有两个实根
4.设丹，P2，…，P〃为平面a内的〃个点，在平面a内的所有点中，若点P到点P1，尸2，…，P〃的距离之和最小,则称点尸为点Pl,尸2，…，P〃的一个“中位点”,例如，线段45上的任意点都是端点48的中位点，现有下列命题
①若三个点4B,C共线，C在线段A3上，则是A,B,C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A,B,a共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯位点.其中的真命题是写出所有真命题的序号.
5.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数@sin213°+cos217°—sin13°cos17°；2sin215°+cos215°—sin15°cos15°；3sin218o+cos2120-sin18°cos12°；@sin2-18°+cos2480-sin-18°cos48°；
⑤sin—25°+sin—25°cos
55.COS255°—1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；2根据1的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
⑨强化提升
一、第天
11.若m4为实数，且＜*0,则下列命题正确的是。
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