《复旦大学数学分析》课件

《复旦大学数学分析》一个广受欢迎的大学本科核心课程,深入探讨数学分析的关键概念和技术,为学生打下坚实的基础,为后续课程做好准备课程简介课程概要本课程是复旦大学数学专业的核心必修课，涵盖了微积分的基本概念和理论学习目标通过本课程的学习，学生将掌握微积分的基本思想和方法，为后续数学和相关专业课程打下坚实基础教学方式采用理论讲授、习题讨论、案例分析等多种教学方式，全面提高学生的数学分析能力教学大纲数学基础极限与连续课程从基础的集合论、逻辑推理和数学归纳法等开始,为后续内深入探讨实数系、极限概念和连续函数,为微积分的学习奠定基容打下坚实的数学基础础微分学积分学系统学习导数的概念和性质,掌握各类基本函数的求导方法和应全面介绍不定积分和定积分,探讨微积分基本定理,并应用于各种用实际问题核心概念基础概念理论体系广泛应用数学分析涵盖了极限、连续、导数、数学分析由一系列相互关联的基本概数学分析的理论和方法在物理、工程、积分等基本概念,是大学数学的核心内念和定理组成,构建了一个严谨的数学经济等诸多领域广泛应用,在科学技术容,为后续的高等数学奠定基础理论体系,为解决各种复杂数学问题提发展中发挥着重要作用供了强大的工具极限概念定义与性质计算方法12极限概念描述了一个变量常见的极限计算方法包括代（函数）在特定条件下的趋入法、化简法、夹逼定理等近行为掌握极限的定义及熟练掌握这些计算技巧对于其基本性质是理解后续内容后续的函数研究非常重要的基础应用场景极限思维34极限概念广泛应用于数学分从极限概念出发，培养学生析中的连续性、可微性、积的数学抽象思维和逻辑推理分等概念的定义和研究中能力，为后续的数学建模与对极限有深入理解可为后续分析打下良好基础内容奠定坚实基础连续函数什么是连续函数？连续性的重要性连续函数的性质连续函数的应用连续函数是在某个区间内连续性是微积分中的一个•有确定的极值点连续函数在物理、工程、定义并取值的函数，其取重要概念只有连续函数经济等领域广泛应用，能•可以求导和积分值随自变量的连续变化而才能求导和积分，这是高够准确描述现实世界中的•满足中值定理连续变化，没有间断这等数学中许多结果成立的各种连续变化现象意味着函数图像在该区间前提条件上是一条光滑的曲线导数概念定义应用导数是研究函数变化率的重导数在科学、工程、经济、要概念它描述了函数在某物理等领域广泛应用它可一点的瞬时变化率以用于分析函数的性质、求极值等几何意义计算方法导数可以表示为函数曲线在可以使用极限定义、公式法某一点的切线斜率它反映等方法计算导数不同类型了函数在该点的瞬时变化率的函数有相应的计算公式导数运算基本求导公式1通过掌握常见函数的导数公式,可以高效地计算各种复杂函数的导数复合函数求导2利用链式法则,可以求出复合函数的导数,适用于较复杂的函数隐函数求导3对于隐函数而言,需要应用隐函数求导法则来计算导数中值定理定义应用重要作用发展历程中值定理描述了连续函数中值定理的应用广泛,用于中值定理为函数研究提供中值定理由18世纪数学家在一个闭区间上的平均值证明函数的性质、估计函了强有力的工具,对于理解柯西提出,随后由罗尔、拉与该区间端点函数值之间数的值、求解微分方程等函数的性质、分析和计算格朗日等人进一步完善和的关系它是微积分理论是高等数学学习中重要的等都有至关重要的作用发展,成为数学分析的基础的基础之一理论基础是微积分理论的重要组成理论之一部分微分中值定理基本概念应用场景几何意义微分中值定理说明了连续函数在区间微分中值定理在证明函数性质、估计微分中值定理可以几何地解释为，连上的平均变化率等于该区间端点处函函数值、建立不等式等方面有广泛应续函数在区间上的平均变化率等于该数导数的某个中间值这是微积分中用它为函数分析提供了有力的数学区间内某一点处的切线斜率这为理一个重要的理论结果工具解函数性质提供了直观的几何背景洛必达法则定义条件12洛必达法则是一种计算极限的方法,适用于0/0或∞/∞的当函数的分子和分母在某一点处都趋于0或无穷大时,可形式以使用洛必达法则计算极限计算步骤应用34将分子和分母同时对自变量求导,然后再计算极限洛必达法则广泛应用于微积分函数极限的计算中,提高了极限计算的精确性不定积分基本概念常见运算应用场景不定积分是指找到一个函数的微分函包括基本积分公式、换元积分法、部不定积分在物理、经济等诸多领域都数这是微积分的重要概念之一分积分法等掌握这些技巧很关键有广泛应用，可用于计算位移、功率等定积分概念计算定积分是用于计算线性或曲定积分通过将被积区域划分线路径上的物理量,如距离、为无数小块,并对每个小块的面积、体积等它可以描述值进行求和而得出这种过连续变化的过程程可以使复杂的计算变得更加精确应用定积分在数学、物理、工程等领域广泛应用,可用于解决微分方程、面积和体积计算等问题微积分基本定理微积分基本定理牛顿莱布尼茨公式-12微积分基本定理阐述了导该定理表明,如果函数可微,数和积分之间的关系,是微则其原函数可以通过积分积分的基石来求得应用广泛3微积分基本定理被广泛应用于工程、经济、物理等多个领域,是高等数学的核心内容面积计算一维积分1利用定积分计算平面图形的面积二维积分2使用多重积分计算立体图形的表面积利用极坐标3对于复杂图形可采用极坐标积分计算本节课将介绍运用微积分的方法计算平面和立体图形的面积从一维积分到二维积分再到极坐标积分，学会运用不同的技巧计算各种常见图形的面积通过掌握这些计算方法，能够更好地应用于实际中的工程测量和建筑设计等领域体积计算微分法1通过微分公式计算立体图形的体积积分法2利用定积分公式计算立体图形的体积几何方法3根据体积公式和几何性质计算体积学习立体图形的体积计算是数学分析的重要内容之一我们可以利用微分法、积分法以及几何方法等多种方法来计算不同形状立体的体积通过掌握这些计算方法,能够更好地理解和应用微积分在实际生活中的应用广义积分定积分计算面积广义积分几何意义广义积分应用广泛广义积分是在定积分的基础上推广而广义积分具有明确的几何意义,可以用广义积分在工程、物理、经济等多个来,可用于计算复杂图形的面积和体积来表示某些几何量,如弧长、曲面积、领域广泛应用,是理解和解决复杂问题这是数学分析的重要理论支撑体积等这为工程应用提供了重要依的强大数学工具据常微分方程基本概念阶数常微分方程是含有一个或多个未常微分方程依据最高阶导数的阶知函数及其导数的方程,是数学分数分为一阶、二阶、三阶等不同析的重要分支阶次解法应用常微分方程的求解包括变量分离常微分方程在物理、工程、经济法、一阶线性方程、二阶线性方等领域广泛应用,是解决实际问题程等常用技巧的有力工具一阶线性常微分方程基本形式齐次解应用场景求解技巧一阶线性常微分方程的基通过积分因子法可以求得一阶线性常微分方程在物掌握积分因子法、常数变本形式为y+Pxy=Qx，齐次方程的解，然后再找理、化学、生物等领域有易法等求解技巧非常重要，其中Px和Qx是已知的到非齐次方程的特解，最广泛应用，例如电路分析、能够应对各种类型的一阶连续函数后将两者相加即可得到通种群动态分析等线性常微分方程解高阶线性常微分方程方程形式高阶线性常微分方程是具有常系数的微分方程,其特点是方程阶数高于一阶解的性质高阶微分方程的解具有线性无关和齐次性等特性,可用特征根法求解解法方法包括特征根法、常数变易法、分裂法等多种求解高阶线性常微分方程的方法级数概念无穷级数收敛性应用收敛判别级数是由无数项组成的数级数是否收敛取决于各项级数在数学分析、物理、数学家提出了一些判别级学表达式,其中每一项都是的行为如果级数的部分工程和计算机科学等领域数是否收敛的准则,如比较数字或函数它可以用于和收敛到某个值,则该级数有广泛应用,如傅里叶级数、测试、根值判别法和积分描述复杂的现象,如振动、收敛;否则,该级数发散幂级数和泰勒级数它们判别法等这些方法有助振荡和动力学收敛级数可用于许多数学在信号处理、电路分析和于分析级数的收敛性应用数值计算中扮演重要角色幂级数定义与收敛性常见幂级数12幂级数是由无限多项组成常见的幂级数包括指数函的级数,每一项都是变量的数e^x、三角函数sinx和幂乘以常数系数收敛性cosx等,这些函数可以用是关键,可以通过判别式和幂级数表示判定定理来确定实用应用级数运算34幂级数可用于函数的逼近幂级数具有加法、乘法等与计算,在数学分析、物理运算性质,可进行项式运算,学、工程学等领域有广泛扩展了函数运算的范围应用傅里叶级数周期函数分解频率和波形收敛性傅里叶级数可以将任何周期函数每个三角函数项对应一个特定的在特定条件下,傅里叶级数能够收分解为无穷多个三角函数的叠加频率成分,给出了原函数波形的频敛到原周期函数这为信号重构这为分析和理解复杂的周期信号域特性这有助于滤波、信号处和逼近提供了数学基础提供了强大的工具理等应用傅里叶变换傅里叶分析频谱分析波形重构傅里叶分析是利用正弦和余弦函数来傅里叶变换可以将时域信号转换为频通过傅里叶级数和傅里叶变换,我们可表示任意周期性函数的过程这种分域,分析信号中各频率分量的幅度和相以将任意周期性信号或非周期性信号析方法可以分解复杂的函数,并重构为位,用于信号处理、通信、控制等广泛重构还原,用于信号分析、图像处理等简单的正弦和余弦函数的叠加应用领域偏导数概念定义计算应用几何意义偏导数描述了一个多元函可以通过对函数进行局部偏导数在很多领域都有广偏导数在几何意义上表示数在某一点上沿某个坐标的微分运算来求得偏导数泛应用,如物理学中的力学、了函数在某一点上沿某个轴的变化率它反映了函偏导数的计算公式为电磁学,以及经济学、工程坐标轴的切线斜率这为数在该点上沿某个坐标轴∂f/∂x或∂f/∂y学等诸多学科理解和分析多元函数提供的局部变化情况了直观的几何图像全微分函数概念偏导数多变量函数是指由多个自变量决定全微分由各个偏导数的乘积和构成，的因变量全微分衡量了各个自变反映了各自变量对因变量的单独影量的微小变化对因变量的影响响梯度最优化梯度是由各偏导数组成的向量，指全微分在多元函数优化中扮演重要示函数在该点的变化最快的方向角色，指示函数值的局部变化趋势多元函数极值多元函数概念寻找极值等高线分析多元函数是指由两个或多个自变量构确定多元函数的极值需要找到函数在等高线图可以帮助我们更好地理解多成的函数它们的图像为N维空间中的某点的驻点，即对应的偏导数都等于0元函数的二维图像,进而分析其极值性曲面或曲线的点质重积分多元函数积分几何意义12重积分是对多元函数在二维或三维区域内的积分,通过累重积分可以用来计算二维或三维几何图形的面积、体积积对一个变量的一维积分来进行计算等性质应用领域计算技巧34重积分在物理、工程、经济等多个领域有广泛应用,如计重积分的计算需要熟练掌握换元法、分部积分法等多种算质量、力矩、电场能量等积分技巧曲线与曲面积分曲线积分曲面积分沿平面曲线上积分的概念,计在三维空间的曲面上积分,用算物理量如功、电荷流等于计算流量、电通量等物理量格林定理高斯定理将曲线积分转化为对应区域将曲面积分转化为对应体积内的二重积分,简化计算内的三重积分,提高计算效率高斯定理与斯托克斯定理高斯定理斯托克斯定理矢量场也称为高斯-奥斯特罗格拉德斯定理,描将曲面积分转化为路径积分,表示任何高斯定理和斯托克斯定理都与矢量场述了任何闭曲面上的通量等于该曲面曲面上的旋转场的通量等于其边界曲的性质密切相关,反映了矢量场的散度内部的源与汇的代数和线上的环流和旋度之间的关系。