《多元函数求极值》课件

多元函数求极值探讨如何在多变量函数中找到全局最优解或局部最优解了解多元函数极值理论和求解技巧掌握实用问题的求极值方法,为什么要学习多元函数求极值提高分析能力解决实际问题学习多元函数求极值训练逻辑思多元函数极值问题在工程、经济、维和问题分析能力对日常的工作管理等领域有广泛应用可用于解,,和生活都很有帮助决实际生产和生活中的优化问题奠定数学基础拓展视野多元函数求极值是高等数学的重研究多元函数的极值问题有助于要内容是学习更高深数学知识的培养学生的数学建模意识和创新,基础能力多元函数的定义多元函数的定义坐标系表示多元函数的性质多元函数是一种涉及两个或更多个自变量的多元函数可以用坐标系来直观地表示如二多元函数具有连续性、可导性、微分可微等,函数它表示在某一范围内自变量的取值与元函数可以用三维直角坐标系表示重要性质这些性质对于研究多元函数的极,因变量之间的对应关系值问题至关重要二元函数的极值问题定义1二元函数是指用两个自变量表示的函数求二元函数的极值就是找到函数在某一点取得最大值或最小值几何意义2二元函数的极值在几何上表示为函数图像上的顶点或鞍点这些点是曲面在特定位置上的最高或最低点求解方法3通常使用一阶偏导数法来求二元函数的极值点首先求出偏导数，然后令偏导数等于零并求解二元函数极值的几何意义二元函数的极值具有重要的几何意义极值点对应于函数曲面上的临界点，其几何特征为平面切线与曲面接触，切线方向与坐标轴呈一定角度求解二元函数极值问题有助于理解函数在局部的几何性质，对于分析和优化二元函数模型非常有用二元函数极值的求法一阶偏导数法——确定极值点1利用一阶偏导数等于来确定可能的极值点0检查边界点2将确定的极值点代入原函数计算还需检查边界点,判断极值性质3根据二阶偏导数的符号来判断极值点的性质利用一阶偏导数法求二元函数的极值需要分三步首先确定可能的极值点接下来计算这些点的函数值同时检查边界点最后根据二阶偏导数:;,;的符号判断极值点的性质从而得到函数的极值该方法适用于大多数二元函数的极值求解,示例二元函数极值的求解1函数fx,y=x^2+y^2-6x-4y+8求偏导∂f/∂x=2x-6∂f/∂y=2y-4临界点令∂f/∂x=0,∂f/∂y=0解得x=3,y=2代入求值f3,2=3^2+2^2-6*3-4*2+8=9+4-18-8+8=-5通过计算可知，该二元函数在点处取得极小值3,2-5示例二元函数极值的求解224函数变量3$10K步骤解的价值针对二元函数，通过分析一阶偏导数的零点和二阶偏导数的符号，我z=fx,y们可以确定函数的临界点是否为极值点这个过程包括个步骤求一阶偏导41数；找到临界点计算二阶偏导数判断临界点的性质这种方法不仅能2;3;4找到极值点，还能确定其性质，在工程和经济等领域有着广泛的应用价值二元函数极值的充分必要条件函数图像分析通过分析函数二次偏导数的符号可判断极值点的性质,充分必要条件若二次偏导数都为负则为局部极大值若二次偏导数都为正则为局部极小值,;,鞍点判断若二次偏导数中有正有负则为鞍点既非极大值也非极小值,,示例二元函数极值的充分必要条件验证3在本例中，我们将验证二元函数fx,y=x^2+y^2-2x-4y+10的极值的充分必要条件通过计算一阶偏导数和二阶偏导数，我们可以确定该函数在特定点上的极值性质多元函数的极值问题理解多元函数多元函数是指取决于两个或更多变量的函数理解多元函数的特点和性质是求解极值问题的基础确定极值点与一元函数类似，多元函数也存在极值点需要通过偏导数的方法找到临界点并判断是极大值还是极小值考虑约束条件实际问题中多元函数往往受到某些约束条件的限制需要使用拉格朗日乘数法等方法求解这类问题多元函数极值的求法一阶偏导数法——确定变量1识别多元函数的自变量求偏导数2分别对各自变量求一阶偏导数设临界点3将偏导数设为求出可能的极值点0,验证极值4对临界点进行二阶偏导数检验通过一阶偏导数法求解多元函数的极值问题关键在于确定自变量、求取偏导数、设置临界点并验证是否为极值点这一步骤性过程为我们提供了一,个系统的方法来分析和求解多元函数的极值问题示例三元函数极值的求解43变量三个自变量x、y和z1目标函数fx,y,z=x^2+y^2+z^2-6x-4y-2z+121步骤

1.求一阶偏导数

2.令偏导数等于0解出驻点

3.检验二阶偏导数多元函数极值的充分必要条件必要条件充分条件12如果在点如果在点fx1,x2,...,xn x1*,x2*,...,xn*处取得极处，偏导数全部等于，且x1*,x2*,...,xn*0值，则这个点必须满足偏导数矩阵为负定或半负定，Hessian全部等于的条件则该点就是极值点0验证步骤应用举例34要先求出偏导数并令其全部等可以应用于求解各种多元函数于，然后计算矩阵的极值问题，如优化决策、控0Hessian的特征值，验证是否满足充分制系统设计等条件示例三元函数极值的充分必要条件验证5多元函数极值的性质全局极值局部极值鞍点极值的应用多元函数在整个定义域上的最多元函数在某一小范围内的最多元函数在某一点处既有最大多元函数的极值性质在优化、大值和最小值称为全局极值大值和最小值称为局部极值值又有最小值的特殊点称为鞍决策、工程等领域有广泛的应全局极值是函数最重要的性质这种极值只在局部范围内成立点这种点既不是全局最大值用是解决多种问题的重要工,之一也不是全局最小值具示例多元函数极值的性质6应用在求解多元函数极值问题时我们可以利用多元函数极值的性质来简化计算过程,以下是一个应用示例:性质应用局部极值必为驻点先寻找驻点再判断是否为极值点,极值点不存在于边界只需在内部区域寻找极值点不必考,虑边界极值点必为一阶偏导数为零的点通过求一阶偏导数并令其等于零来寻找极值点约束条件下的极值问题找到目标函数1确定要优化的目标函数确定约束条件2列出所有需要满足的约束条件应用拉格朗日乘数法3利用拉格朗日乘数法求解最优解检查解的性质4验证所得解是否满足充分必要条件在实际问题中目标函数通常受到一些约束条件的限制此时我们需要利用拉格朗日乘数法来求解最优化问题该方法通过引入拉格朗日乘数将约,,,束问题转化为无约束问题来求解这种方法既简单又有效在经济管理等领域有广泛应用,拉格朗日乘数法的基本思想约束条件优化问题基本步骤几何解释拉格朗日乘数法是解决在约束条件下优化问该方法主要包括建立拉格朗日函数求从几何角度来看拉格朗日乘数表示目标函:1,2,题的有效方法通过引入拉格朗日乘数，将拉格朗日函数的偏导数令偏导数等于零数等高线与约束条件函数切线的斜率比体,3,约束条件转化为目标函数的一部分，从而简得到极值点现了约束条件对极值点的影响化求解过程示例约束条件下的极值问7题求解在实际应用中多元函数通常受约束条件的限制我们将介绍如何利用拉格朗日,乘数法来求解这类问题约束条件gx,y=0目标函数fx,y求解步骤构造拉格朗日函数

1.Lx,y,λ=fx,y+λ·gx,y求的偏导数并令其等于

2.L0求解得到极值点

3.x*,y*示例拉格朗日乘数法应用8某公司生产两种产品A和BA的利润为2元/件，B的利润为3元/件公司的产能限制为每天不超过300件该公司希望最大化总利润，如何分配A和B的生产数量最优化问题与经济应用成本最小化利润最大化在给定的条件下，如何最小化生企业通过优化生产与销售策略力,产成本或经营成本是很多企业面求在有限资源下获得最大利润是,,临的重要优化问题典型的经济优化问题资源配置优化储备与订单优化如何合理配置有限的资金、人力、针对不确定的供给和需求如何优,原材料等以获得最大效益是经济化存货水平和订单策略是企业面,,,运营中的重要优化问题临的动态优化难题示例最优化问题在经济中的应用9$100M产品收益某公司产品年收益达1亿美元20%利润率公司主要产品的利润率目标为20%$80M成本支出主要产品的年度生产和运营成本约为8000万美元某公司生产一种主要产品,年收益可达1亿美元该公司希望将主要产品的利润率目标设定为20%,同时年度生产和运营成本不超过8000万美元公司需要根据这些条件,确定最佳的生产和销售策略,以实现最大化利润的目标多元函数实际应用综合案例在现实生活中多元函数应用广泛例如一家公司生产和销售多种,,产品时可以建立多元函数模型来优化生产和销售策略最大化利润,,又如在经济规划中可以使用多元函数来分析不同变量之间的相互,,影响为决策提供依据总之多元函数是一种强大的数学工具在,,,诸多领域都有重要应用总结多元函数求极值的重要主要方法和步骤12性包括一阶偏导数法、二阶导数多元函数极值问题在科学研究、法以及拉格朗日乘数法等要经济管理、工程优化等领域广熟练掌握各种求解方法泛应用掌握相关理论和方法具有重要意义应用实例的重要性继续学习和思考34通过大量实际案例的分析和求多元函数极值理论和应用还有解能更好地理解和运用所学理待进一步探讨和研究保持学,论知识习和创新的态度非常重要思考与练习在学习了多元函数的求极值方法之后，我们需要结合实际案例进行思考和练习通过解决不同类型的问题，不仅可以巩固所学知识，还可以培养分析问题、解决问题的能力同时也要注意将这些知识与实际生活中的优化问题相联系，发挥多元函数求极值在经济、工程等领域的应用价值思考题在日常生活中能否找到适用多元函数求极值的实际问题？你能举一些例子吗？练习题请尝试运用所学知识解决以下问题•某公司生产两种产品A和B，每单位A的利润为8元，每单位B的利润为5元在一定的生产能力下，如何确定A和B的生产数量才能使公司获得最大利润？•某工厂生产两种产品X和Y，每单位X的成本为2元，每单位Y的成本为3元若总成本不超过100元，如何确定X和Y的生产数量才能使利润最大化？。