数高设计人教B版选修21讲义常用逻辑用语122

“非”否定

1.

2.2［学习目标］1,理解逻辑联结词“非”的含义2掌握存在性命题和全称命题否定的格式，会对命题、存在性命题、全称命题进行否定.一预习导学叁挑战自我，点点落实_____________________________________________________________［知识链接］你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？1所有矩形都是平行四边形；2每一个素数都是奇数；3x£R,x2—2x+1NO.答1存在一个矩形不是平行四边形；⑵存在一个素数不是奇数；3x£R,x2—2x+

10.［预习导引］

1.概念一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作续小读作“非p”或“P的否定”.由“非”的含义，可以用“非”来定义集合力在全集中的补集=纬Q£4}={x£Sr/}・

2.p与纬p真值表P P续假真假真3,存在性命题的否定存在性命题ppx,它的否定是绿续〃x.存在性命题的否定是全称命题.

4.全称命题的否定全称命题0%£力，式工，它的否定是绣x~,绣gx.全称命题的否定是存在性命题.

5.开句含有变量的语句，通常称为开句或条件命题.尹课堂讲义叁重点难点，个个击破要点一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定⑴任何一个平行四边形的对边都平行；2数列1,2,3,45中的每一项都是偶数；3Q,b£R,方程办=6都有唯一解;4可以被5整除的整数，末位是

0.解1其否定为存在一个平行四边形的对边不都平行.2其否定数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.3其否定？Q,b《R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.4其否定存在被5整除的整数，末位不是

0.规律方法全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可先补上量词再进行否定.跟踪演练1写出下列全称命题的否定D P所有能被3整除的整数都是奇数；2p每一个四边形的四个顶点共圆；3p对任意x£Z,/的个位数字不等于

3.解1绣p存在一个能被3整除的整数不是奇数.2纬p存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.3纬px ez,遥的个位数字等于

3.0要点二存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定lp x@R,N+X+3O；2小有的三角形是等边三角形；3r有一个质数含有三个正因数.解1绿px£R,JT2+X+

30.2纬夕所有的三角形都不是等边三角形.⑶绑尸每一个质数都不含三个正因数.规律方法存在性命题的否定是全称命题，即px”的否定为“？x£4,绑⑴”.由以上结论，可知写一个命题的否定时，首先判断该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，要确定相应的量词，给出命题否定后，要判断与原命题是否相对应全称命题？存在性命题，进一步判断它们的真假是否对应.跟踪演练2写出下列存在性命题的否定1/2有些实数的绝对值是正数；2口某些平行四边形是菱形；3px£R,x3+

10.解1纬p所有实数的绝对值都不是正数.2纬p每一个平行四边形都不是菱形.3绿px£R,x3+1^

0.要点三存在性命题、全称命题的综合应用例3已知函数/工=4%2—2/—2小一202—〃+1在区间［-1,1］上至少存在一个实数c,使得/c

0.求实数p的取值范围.解在区间［—LU中至少存在一个实数，使得八0的否定是在LL1］上的所有实数羽都有人xW0恒成立.又由二次函数的图象特征可知，]4+20一2—222—〃+1W0,/—10,即.4—2一2一222一夕+1W0,即,

3、故在区间上至少存在一个实数使人0时，P的取值范围是I2规律方法通常对于含有“至多”、“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理,求先考虑命题的否定,出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.跟踪演练3若x£R,/x=屋一是减函数，则的取值范围是答案-2,-1U1,2层T，解析依题意有072—11？a—1或a\,卜—2a—1或\a

2.—2a2■当堂检测《当堂训练，体验成功____________________________________________________________

1.命题P“存在实数〃2,使方程/+〃a+1=0有实数根”，贝I」“绿形式的命题是A.存在实数加，使方程欠2+加工+1=0无实根B.不存在实数〃2,使方程工2+加工+1=0无实根C.对任意的实数加，方程9+加工+1=无实根D.至多有一个实数加，使方程，+加工+1=有实根答案C解析命题P是存在性命题，其否定形式为全称命题，即续p对任意的实数加，方程，+加x+l=O无实根.

2.对下列命题的否定说法错误的是A.p能被2整除的数是偶数；纬p存在一个能被2整除的数不是偶数B.p,有些矩形是正方形；绿p所有的矩形都不是正方形C.p有的三角形为正三角形；续p所有的三角形不都是正三角形D.p〃£N，〃W100；续p〃£N,2〃

100.答案C解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.

3.下列命题中的假命题是A.%eR,2x-10B.%eN%x-l20C.x£R,lgxlD.x£R,tanx=2答案B解析A中命题是全称命题，易知2一10恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x=l时，%—12=0,故是假命题；C中命题是存在性命题，当x=1时，lgx=0,故是真命题；D中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题.

4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为.答案至少存在一个向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题.「课堂小结------------------------------------------------------1对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题1确定命题类型，是全称命题还是存在性命题.2改变量词把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.3否定结论原命题中的“是”“有”“成立”等改为“不是”“没有”“不成立”等.4无量词的全称命题要先补回量词再否定.一课时精练精解疑纠偏，训练检测___________________________________________________________

一、基础达标

1.下列命题中，正确的全称命题是A.对任意的a,b£R,都有a2-\-b2—2a—2b-\-l004/7B.菱形的两条对角线相等C.x,x^—xD.对数函数在定义域上是单调函数答案D解析A中含有全称量词“任意”，因为层+尻一26+2=（Q—l）2+（b—1）220,是假命题；B、D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是存在性命题，所以选D.

2.下列命题既是存在性命题，又是真命题的是（）A.两个无理数的和必是无理数B.存在一个实数了,使1=0C.至少有一个实数x,使NvoD.有些实数的倒数等于它本身答案D解析A项为全称命题；B项1是不能为零的，故B假；C项，故不存在实数x使Nvo,故C假；xD项，当实数为1或一1时可满足题意，故D正确.

3.下列存在性命题是假命题的是（）A.存在实数Q,b,使仍=0；B.有些实数x,使得C.存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；D.有些实数x,使得（卜＜

0.答案D解析A真命题；B真命题；C真命题；D假命题.

4.命题“一次函数都是单调函数”的否定是（）A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数答案D解析命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”.

5.命题“对任意x£R,都有的否定为（填序号）.

①对任意x£R,都有/V0

②不存在x£R,使得NV

③存在x£R,使得N三0

④存在x£R,使得NV0答案

④解析全称命题的否定是存在性命题.

6.命题方程N=4的解是x=2或x=-2的否定是・答案方程/=4的解不是2也不是一

2.解析工=2或1=-2的否定是xW2,且xW—

2.

7.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定1三角形的内角和为180°；2每个二次函数的图象都开口向下；⑶存在一个四边形不是平行四边形.解1是全称命题且为真命题.命题的否定三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形其内角和不等于

180.2是全称命题且为假命题.命题的否定存在一个二次函数的图象开口不向下.3是存在性命题且为真命题.命题的否定任意一个四边形都是平行四边形.二能力提升

8.命题“对任何|x一2|+|x—4|3的否定是.答案存在使得|x—2|+|x—4反3解析由定义知命题的否定为“存在xWR,使得|x—2|+|x—4|W3”.

9.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定.答案有些函数没有奇偶性解析命题的量词是“每个，即为全称命题，因此否定是存在性命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填有些函数没有奇偶性.

10.已知〃xx2+2x—m0,如果pl是假命题，p2是真命题，则实数小的取值范围是.答案［3,8解析因为pl是假命题，所以1+2—加0,解得加

23.又因为p2是真命题，所以4+4—0,解得加8,故实数机的取值范围是3加

8.

11.命题夕是“对某些实数x,有x—心0或x—力0，其中、6是常数.1写出命题夕的否定；2当心6满足什么条件时，命题夕的否定为真？解1命题夕的否定对任意实数X,有X—Q0且X—

60.2要使命题P的否定为真，需要使不等式组『一的解集不为空集，卜一60通过画数轴可看出，

4、〃应满足的条件是

12.已知命题p“至少存在一个实数xo£[L2],使不等式/+2〃、+2—〃0成立”为真，试求实数的取值范围.解由已知得纬p[1/2],X2+2QX+2—QWO成立.、U1WO,设/x=x2+2ax+2——Q,贝U,|/2W0,1+2+2—〃W0,解得QW—3,4+4a+2—aW0,・・•续p为假，3,即Q的取值范围是-3,+

8.

三、探究与创新

13.已知命题px£R,4“-2/i+m=0,若纬p是假命题，求实数掰的范围.解:纬夕是假命题，:・p是真命题.也就是x《R,有〃=一

4、-

2.1,令兀0=_4_2#1=-2X-12+1,二・对任意x£R,m的取值范围是一8,1].。