《平稳过程》课件

平稳过程平稳过程是一类特殊的随机过程它的统计特性随时间保持不变或振荡于某一定,值附近这种模型广泛应用于工程、经济、社会等诸多领域用于描述和预测系,统的动态行为课程大纲课程目标课程内容学习方法通过本课程的学习,了解平稳过程的概念、包括平稳过程的基本概念、自相关函数、功课程将以理论讲授、案例分析、实践操作等性质和分类掌握平稳过程分析的相关理论率谱密度、滤波、预测、模型等内容多种形式进行帮助学生深入理解和掌握知,ARMA,和方法识平稳过程的概念平稳过程是一种随机过程其统计特性随时间保持不变与非平稳过程相比平稳,,过程具有更加稳定和可预测的性质在时间序列分析和预测中有广泛应用,平稳过程的主要特点包括平均值和方差保持不变自相关函数仅与时间间隔有关,而不依赖于时间这些性质使得平稳过程更容易建立数学模型和进行预测分析平稳过程的性质统计性质固定不变无趋势性自相关性平稳过程的统计特性如均值、方差和相关平稳过程的随机波动不存在明显的趋势变化平稳过程的样本间具有一定的相关关系可,,,性,在时间上保持不变呈现为平稳、随机性的波动以用自相关函数来描述平稳过程的分类广义平稳过程严格平稳过程弱平稳过程随机平稳过程均值和方差不随时间变化的随不仅均值和方差不变,其所有只要满足前两阶矩均值和方满足平稳性要求的随机过程,机过程,是最基本的平稳过程统计特性也不随时间变化的更差不变即可的一种宽松的平是最广义的平稳过程概念类型严格的平稳过程稳过程白噪声过程白噪声过程是一种最简单的平稳随机过程其主要特点如下:•随机变量的期望值为常数•随机变量的协方差函数仅在时间差为0时非零,其余时间差均为0•随机变量之间相互独立,没有任何相关关系•频谱密度函数为常数,即功率谱密度为白噪声特性平稳过程的自相关函数自相关函数用于描述平稳过程中各个时刻之间的相关性定义自相关函数Rτ=E[Xt-μXt+τ-μ]/σ^2，其中μ是平均值，是方差σ^2性质R0=1；R-τ=Rτ；当τ→∞时，Rτ→0应用分析时间序列的相关特性，确定最优滤波器和预测模型平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度表示了该过程在不同频率下的功率分布它反映了平稳过程的频域特性,为我们分析平稳过程在不同频率下的特点提供了依据平稳过程的滤波平稳过程的滤波是指利用滤波器从观测的平稳随机过程中提取有用信息的过程滤波器的设计需要根据平稳过程的统计特性如自相关函数,和功率谱密度常见的滤波方法包括线性滤波、马尔科夫链滤波和滤波等Kalman线性滤波1基于平稳过程的自相关函数进行设计马尔科夫链滤波2基于状态空间模型进行最优估计滤波Kalman3适用于线性高斯随机过程平稳过程的线性预测确定预测1基于确定性模型进行预测随机预测2利用随机过程模型进行预测一步预测3预测下一个时刻的值多步预测4预测未来几个时刻的值平稳过程的线性预测是一种基于过去观测值预测未来观测值的统计方法根据过程的自相关结构可以采用确定性模型或随机过程模型进行一步或多,步预测这种预测方法可以有效地利用平稳过程的统计特性提高预测的准确性,平稳过程的抽样采样定理根据奈奎斯特-香农采样定理,连续时间平稳过程必须以大于等于其最高频率两倍的频率进行采样,才能完全恢复原信号采样频率选择需要根据平稳过程的频谱特性确定合适的采样频率,以避免频谱混叠和信息丢失时域分析采样后的离散时间数据可以用于计算自相关函数、功率谱密度等时域分析指标频域分析采样后的数据也可以进行快速傅里叶变换FFT,得到频域特性如功率谱密度平稳过程的频域分析频谱分析功率谱密度利用傅里叶变换将平稳过程从时功率谱密度能反映平稳过程中各域转换到频域可以分析其频谱特频率成分的功率大小有利于分析,,性信号的频域特性滤波分析模式识别通过对平稳过程的频谱分析,可设频域分析可帮助识别平稳过程中计合适的滤波器对信号进行处理的周期性成分和共振峰,有助于模型构建平稳过程的模型ARMA模型简介的结构1ARMA2ARMA自回归移动平均模型模型包含阶自回归ARMAARMAp,q p是描述平稳时间序列的一种常和q阶移动平均两个部分模见方法它结合了自回归型形式灵活可以拟合各种统计AR,和移动平均MA两种成分特征模型应用3ARMA模型广泛应用于金融、经济、工程等领域的时间序列分析和预测ARMA它是一种强大而通用的建模工具模型的参数估计ARMA模型参数估计是一项关键的数据分析任务需要根据观测数据准确估计模型参数常用的参数估计方法包括最小二乘法、极大似然ARMA,估计法和矩估计法正确估计模型参数是进行后续分析和预测的基础ARMA$1K$5K$10K最小二乘法极大似然估计矩估计法简单高效但有偏估计无偏有效但计算复杂简单直观对模型假设有要求,,,模型的模型诊断ARMA残差分析参数显著性检查模型的残差序列是否为评估每个参数的统计量和值确ARMA tp,白噪声,以确认模型的合理性保它们在统计上显著模型评估模型诊断图利用信息准则如AIC、BIC和拟合使用自相关图和偏自相关图检查优度指标如R²来比较不同ARMA模型的合理性和残差的白噪声性模型平稳过程的单位根检验检验目的原假设与备择假设12确定时间序列是否存在单位根检验序列是否具有平稳性原假设为序列存在单位根备择假设为序列平稳,,常用检验方法检验步骤34包括检验、扩展检验和计算检验统计量并与临界值比较以判断是否接受原假设Dickey-Fuller Dickey-Fuller Phillips-,检验等Perron平稳过程的季节性季节性模式时间序列分解季节性调整平稳过程可能会显示出明显的季节性模式,通过对时间序列数据进行分解,可以识别出对平稳过程进行季节性调整可以去除周期性即在特定时间间隔内重复出现的模式这种趋势、季节性和随机成分,有助于更好地理因素的影响,从而更准确地分析数据中的其季节性可能是由于气候、节假日或其他周期解平稳过程中的季节性特征他模式和趋势这对于预测和决策制定非常性因素造成的重要整合平稳过程理解一阶差分1对非平稳时间序列进行一阶差分可以消除线性时间趋势使之成,为平稳序列确定阶数d2整合平稳过程的阶数表示需要进行次差分才能使该序列成为d d平稳序列引入自回归项3将差分后的平稳序列建立自回归模型可以更好地描述原始AR,非平稳序列的特征非平稳过程的分析识别非平稳性差分转换单位根检验模型选择通过图形分析、统计检验等方对于存在趋势的非平稳序列,采用Dickey-Fuller等检验方法,根据序列的特点,选择合适的法识别时间序列中的非平稳性可以通过差分转换将其转化为正式检验序列是否存在单位根,非平稳时间序列模型,如这包括趋势、季节性、波动等平稳序列这为后续的建模分确定序列的平稳性质ARIMA模型、协整模型等进行特征的分析析奠定基础建模分析非平稳过程的差分原始序列1非平稳过程的原始数据序列差分序列2对原始序列进行差分处理平稳性检验3检验差分序列是否具有平稳性后续分析4基于平稳差分序列进行后续的建模和预测对于非平稳时间序列我们可以通过对原始序列进行差分处理来获得平稳序列差分的过程包括计算相邻观测值的差值形成新的差分序列然后对差,,分序列进行平稳性检验确认其是否已经达到平稳最后我们可以基于这个平稳差分序列进行后续的建模和预测分析,,冲击响应函数期1125冲击响应函数描述了一个随机冲击响应函数可以帮助分析一过程受到某个随机冲击后的响个随机过程在5个时期内如何应情况它反映了该过程受到对外部冲击做出反应外部冲击后的短期和长期影响年310通过观察冲击响应函数的变化趋势可以了解一个随机过程在长期内受到,外部冲击后的表现方差分解历史预测误差历史预测误差是指预测模型在过去某段时间内对数据的预测值与实际观测值之间的差异这些差异可以帮助评估模型的准确性和可靠性并为未来的预测提供参,考时间预测值实际值预测误差年月20191100095050年月201921100108020年月201931200118020年月2019410501100-50协整分析数据相关性协整分析用于发现两个或多个时间序列之间的长期均衡关系平衡关系即使两个序列短期波动不一致但可能存在长期均衡关系,趋势分析协整分析有助于发现序列间的长期趋势关系和均衡机制误差修正模型长期均衡关系调整机制误差修正模型描述了短期波动和当系统偏离长期均衡时,误差修正长期均衡之间的动态关系项将驱动系统向均衡方向调整动态表述误差修正模型可以动态地表述短期波动和长期趋势之间的交互作用平稳性检验检验平稳性增强迪基富勒测试平稳性检验-KPSS平稳性检验可以用来确定时间序列数据是否增强迪基-富勒测试是最常用的平稳性检验KPSS平稳性检验是另一种常用的检验方法,满足平稳性假设这是分析时间序列数据的方法之一,可以检验时间序列是否存在单位它可以检验时间序列数据是否围绕确定性趋关键前提根势平稳单位根检验检验的原理检验的过程单位根检验用于判断时间序列是否存通过构建假设检验模型,检验序列的自在单位根即是否具有非平稳性回归系数是否等于,1检验的类型检验的应用包括Dickey-Fuller检验、Augmented单位根检验是非平稳时间序列分析的检验等多种方法基础可用于模型构建和预测Dickey-Fuller,协整检验协整的含义协整检验的目的协整是指两个或多个非平稳时间序列之间存在线性组合是平稳的协整检验的主要目的是检验是否存在长期均衡关系,从而确定是否这一概念也就是说，尽管个别时间序列是非平稳的,但它们之间可以建立误差修正模型进行分析和预测可能存在长期均衡关系实际案例分析本课程将通过实际案例分析的方式深入探讨平稳过程的各种应用场景我们将以金融市场、气象监测、工业质量控制等领域为例,展示如何利用平稳过程的理论知识解决实际问题通过分析真实数据学习如何选择合适的模型、估算参数、检验模,型假设并得出有价值的结论这将帮助我们更好地理解平稳过程,在实践中的应用价值课程总结本课程全面介绍了平稳过程的概念、性质和分类讨论了白噪声过程、平稳过程,的自相关函数和功率谱密度以及平稳过程在滤波、预测、抽样和频域分析等方,面的应用同时还深入探讨了模型、单位根检验、协整分析等非平稳过程ARMA的分析方法。