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第四电三%函款与解三询形第六节正弦定理和余弦定理J考占高考试题考查内需核心素养
八、、-J正、余弦定理.，三角形面积公式及两角2017•全国卷I・T17・12分和的余弦公式的应用数学运算正弦定理和余正、余弦定理的应用，三角形面积公弦定理2016•全国卷I・T17・12分逻辑推理式的应用•全国卷分正弦定理，构造函数以及求函数值域2015I T16-5以选择题或填空题的形式考查利用正弦定理、余弦定理解三角形以及三角形的面命题分析积公式应用；以解答题的形式考查正、余弦定理与三角函数的综合.课前•回顾激材提能欷会贯通我稳探肚恭而对应学生用书P58必知识清单正弦定理
1.什此品2R,其中R是三角形外接圆的半径・由正弦定理可以变形⑴〃/c=sin Asin B sin C；2a=2/sin A,b=2/sin B,c=2/sin C.余弦定理
2.cr==2+C225CCOS A；b2=42+22〃久0$B；=qZ+bZ-zHcos C.余弦定理可以变形/2+c2-tz2cr-^cr—h2crA-kr—c1；cos A=cos B=；cos C—.三角形中常用的面积公式
3.泌〃表示边上的高；15=/a；2S=；Zcsin A=Jcsin B—^ahsm C为三角形的内切圆半径；3S=ya+b+cr14・・・=33=
1.在△ACO中，AD12=9+1-2X1X3X1=7,则4D=S，故答案为由.答案木
11.2016・全国卷I Z\A8C的内角A,B,C的对边分别为，b,c,已知2coscacos B+0cos A=c⑴求C；若的面积为芈，求的周长.乙2c=S,ZXABC AABC解由已知及正弦定理得，12cos Csin Acos B+sin Bcos A=sin C,2cos CsinA+B=sin C,故2sin CeosC=sin C.兀1可得cosC=5，所以C=不乙J由已知，27abs\n兀又所以C=1,ab=
6.由已知及余弦定理得，/+〃—2QZCOS C=7,故^z2+Z2=13,从而（+/）2=
25.所以△A3C的周长为5+币.组能力提升B
1.（2017•全国卷ll）Z\A8C的内角A,B,C的对边分别为，b,c,已知sin（A+C）=8sin考⑴求；cos B
（2）若Q+C=6,△4C的面积为2,求/九解
（1）由题设及A+3+C=7i得sin8=8sin2y,故sin8=41—cos B.上式两边平方，整理得17cos2B—32COS8+15=0,解得舍去，或cos B=1cos一八15故cos B=j j.[582由cos B=记得sin B=_py,故Szk/wc=]acsin B=~^ac.又SAABC=2,2,17由余弦定理及Q+C=6得〃=/+，-2QCCOS3=Q+C2—2QC1+COS B=36—2X—X1=
4.所以h=
2.sin B⑴求sin C:
2.（2015•全国卷ll）Z\4C中，是3c上的点，AQ平分N5AC,/XABO面积是△AOC面积的2倍.J2若求和的长.2AZ=1,DC=£,AC角星1S^ABD=^AB^ADsin ZBAD,S^ADC=^AC-ADsin NCAD.由正弦定理，得景=AC1~A2-因为B所以ABD=2Smoc,/BAD=NCAD,A3=2AC2因为SAABD:SAADC=BDDC,所以BD=^
2.在△ABO和△ADC中，由余弦定理，知AB2=AD2+BD2-2AD BDCOSNADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos ZADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=
6.由所以1,AB=2AC,AC=LJ
33.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为m b,c,且cos（8+O=一3飞由2A.⑴求A;2设a=7,b=5求△ABC的面积.9J3解由—牛可得,1cosB+Q=sin2AV3—cos A=—^-sin2A,、巧、巧71所以cos A=/-X2sin AcosA,因为△ABC为锐角三角形，所以cosAWO,故sinA=为,从而A=彳.J J兀]因为故由余弦定理可知，2A=Q,COSA=,cz2=Z2+c2—2Zccos A,即49=25+，-5c,所以c2—5c—24=0,解得=—舍去，3c=8,也a+b b—c
4.（2018・威海模拟）已知△ABC的内角A,B,所对的边分别为Q,b,c且=2,sinC sinB—sin4所以△ABC的面积为47csinA=1X5X8X^=1V
3.L AJ⑴求角的大小；A
（2）求△A5C的面积的最大也a+b b—c解
（1）根据正弦定理，由可得,sin Csin B—sin A也Q+Z b—ch-a，/.b2—a2=yl2bc—c2,Rf7b1-\-c1—cr=y^ibc,由余弦定理可得cosA=2hc2hc271）VAe（O,71A A=
4.9（）由及余弦定理可得2a=2Z2+c2—tz2/2+c2-4cosA=2b^=2bc=2，故b1+c1=y^2bc+^.又也尻+4=/+222姐・・・bcW4+2但当且仅当、时等号成立.A=c=y4+2n故所求△A8C的面积的最大值为Jx（4+2陋）＞＜噂=也+
1.其中=；〃+4S=[pp—ap—bp—c pb+c提醒:辨明两个易误点
1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，1有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论.在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
22.在△ABC中常有以下结论lZA+ZB+ZC=7i.在三角形中大边对大角，大角对大边.
32.A±Bsin C；；4sinA+B=sin C；cosA+3=—cos Ctan A+B=—tan C2爹;=COS任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.435tan A+tan8+tan C=tan A-tan B-tan C.6ZA ZB6iZsin Asin Bcos Acos B.小题查检判断下列结论的正误正确的打“，错误的打“义”
1.J”⑴在△ABC中，sinAsinB,则⑵在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.a-\-b—c4在△ABC中Csin A sin A+sin B—sin3在△A3C中，有sinA=sin8+C.5在△ABC中，若则△ABC为钝角三角形.公式适合求任意三角形的面积.6S=^absin C⑺在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.答案1J2X3V4J5J677V
2.教材习题改编在△ABC中，若sMA+sinZBvsiMC,则△ABC的形状是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析选由正弦定理，得盘代入得到C=sinA,^=sin B,^=sin C,Z/\Z/\Z/\/+—/由余弦定理得cos C=Y~h-V°，所以为钝角，所以该三角形为钝角三角形.c
3.教材习题改编在△45C中，4=45，C=30°,c=6,则等于C.2766X—解析选B由正弦定理得AA「，所以＞=:
3、=i=6也.n
24.教材习题改编在△ABC中，已知A=60，3=75，c=20,则〃=解析C=18O°-A+B=180°-60°+csin A20X sin60°由正弦定理，得=1V
6.sin Csin45°75°=45°.答案后10\
45.2018・潍坊检测已知办b,c分别为△A8C三个内角A,B,的对边，若cos3=不4=10,△的面积为则=.ABC42,31解析依题意可得又］则sin3=g,S^A8C=Qcsin5=42,c=
14.答案14课堂•考点突破忏生互动讲练结合变雄我掌提而对应学生用书P59考点❶正弦定理、余弦定理的应用［析考情］正、余弦定理的应用原则正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问1题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.2［提能力］【典例】⑴2018・临沂模拟在△A8C中，角A,B,所对的边分别为a,b,c,且，=1,c=/，7T角贝」人=A=4,
1.-csin A sin C=a_____c_解析:-----------------=^r7T7E当C=1时，sinBA=2-s，in可得人=2;27t IT当午时，可得C=b=L答案1或2•全国卷的内角的对边分别为若则22017II A48C A,B,C a,b,c,20cos8=acos C+ccos4B解析方法一由2bcos5=〃cos C+ccos A及正弦定理，得2sin Seos5=sin Acos C+sin CeosA./.2sin Bcos B=sinA+Q.又A+5+C=7C,.A+C=TI-B.兀—/.2sin3cos3=sin5=sin B.又sin BW,cos B=],B=^.方法二.・•在△ABC中，acos C+ccos A=，条件等式变为2bcos B=b,cos B=\.J71又兀，03答案f[刷好题]
21.在△ABC中，a,b,c分别是内角A,B,的对边.若戾inA=3c、sin3,〃=3,cos B=y则b=j JA.14B.6C.V14D.y[62角星析选D/sin A=3csin Bab=3bc a=3cc=1,b1=cr+c1—2accos B=9+1—2X3X1X—=-J故选6,b=y[6,D.•全国卷的内角的对边分别为已知,则
2.2017lllZ\ABC A,B,C m b,c C=60b=#,c=3,A*解析如图，由正弦定理，得而孙=端而，・入皿3=为-.又»，AB=45°,A A=180°-60°-45°=75°.答案75°利用正、余弦定理判断三角形形状［明技法］判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则化边通过因式分解，配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.1化角通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用=兀这个2A+B+C结论.［提能力］【典例】设△ABC的内角A,B,所对的边分别为mb,c,若hcos C+ccos8=4sinA,则△ABC的形状为锐角三角形直角三角形A.B.锐角三角形不确定C.D.解析选B依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,有sinB+C=sin2A,JT从而解得故选sin5+C=sinA=sin2A,sinA=l,/.A=y,B.［母题变式1］本例的条件变为若2sinAcos3=sinC,那么△A3一定是直角三角形等腰三角形A.B.等腰直角三角形正三角形C.D.解析选方法一由已知得即因为B2sin Acos B=sin C=sinA+B=sin Acos B+cos Asin B,sinA—B=0,一兀兀，所以选8B.方法二由正弦定理得再由余弦定理得2QCOS8=C,〃2+02一/25=ca1=b27a=b.2ac［母题变式2］本例的条件变为若acos A=bcos8,那么△ABC一定是直角三角形等腰三角形A.B.等腰直角三角形等腰或直角三角形C.D.解析选由正弦定理，得因为兀，所以或=D sinAcosA=sin3cos3sin2A=sin25,2A25£0,2A=2B2A兀-28,即或A=B A+B=T.［刷好题］2018・桂林模拟在△A5C中，若42+及/皿04—3=/—2/苗，则△ABC的形状是锐角三角形直角三角形A.B.等腰三角形等腰或直角三角形C D.解析选D由已知次+辰/皿4-5=〃2—店/访C,得Z2［sin4—fi+sinC］=a2［s\nC—sin/1—6］,即Z2sin AcosB=a2cos AsinB,即sin2Bsin AcosB=sin2Acos AsinB,所以由于是三角形的内角，sin2B=sin2A,43故兀，兀，故只可能0V2AV2OV23V22A=
23、71或=兀-即或2A25,A=B A+3=
5.故△15c为等腰三角形或直角三角形._____________与三角形面积有关的问题［明技法］三角形面积公式的应用原则对于面积公式一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.1S=yzZsin C=^acsin B=^hcsinA LA L9⑵与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.甘是能力］【典例】2017•全国卷I4A3C的内角A,B,的对边分别为
①b,c已知△ABC的面积为不不3sin/i⑴求sin Bsin C；⑵若6cos3cosc=1,〃=3,求△ABC的周长.解由题设得呼，即呼1zcsin5=3S*Asin8=3si74i sin A由正弦定理得乙T7sin CsinB=^~._T.□sin A故sin Bsin C=|.由题设及得21cos Bcos C—sin BsinC=—\27171即一弓.所以=丁，故cos3+C=3+A=Q.14由题意得Tocsin A=；a，fz=3,所以/C=
8.z jsin由余弦定理得/2+c2—Zc=9,即儿=.由［S+c2—39bc=8,h+c=y33,故△ABC的周长为3+
733.［刷好题］.全国卷的内角的对边分别为已知小小2017lllZ\A3C A,B,C a,b,c,sin A+cos A=0,a=2,b=
2.⑴求；c⑵设为8C边上一点，且.AOLAC,求△A3的面积.兀2解由已知可得所以1tan A=~A=r~.在△ABC中，由余弦定理得28=4+，-4ccos年,即，+20—24=0,解得（舍去），=—6c=
4.jr
（2）由题设可得NC4Q=5，7T所以N84O=N3AC—NC4O=Z.o故△A3面积与△AC面积的比值为171^AB AD sin720-1=L^ACAD又△ABC的面积为:X4X2sinNBAC=25所以△A3的面积为小.课后•禽数演在推冻士新率一反三我笑傲才必介不课时作业提升
（二十五）正弦定理和余弦定理（对应学生用书P247）组夯实基础A在中，分别是内角所对的边，且（）小则等
1.AABC a,b,c A,B,cos2B+3cos A+C+2=0,b=,c:sinC于（）A.31B.小1C.y[21D.21解析选由（）得解得（舍去）或D cos23+3cosA+C+2=0,2cos25—3cosB+1=0,cos5=1cosB1J3=5,所以sin所以csinC=b:sinB=
21.
2.（2018♦大连双基）△ABC中，AB=2,AC=3,3=60°,则cosC=（）.坐萼A B.―逅亚C D解析选D由正弦定理得卢^...C=[S；8=2Xs60=坐,ABAC,.0CB sinDsinc/iCxJ j=60°,・・cos C=y11—sin2C=^.
3.在△ABC中，已知2A=3+C,且/=反，则△ABC的形状是（）两直角边不等的直角三角形A.顶角不等于或的等腰三角形B.9060等边三角形C.等腰直角三角形D.+/一Q2解析选由知,又巾C2A=3+A=60cosA=——,〃+/—be1所以］=,所以儿=即（》一）所以/=2+02—20,c2=0,C.故为等边三角形.3c4（.2018•宜宾模拟）在△A8C中，内角A,B,的对边分别为
①b,c,且层+尻一2=〃=小，则△ABC的面积为（）武「A340,4近C D3J22〃、巧Q2+2—（2i ii解析选B依题意得cosC=-----------------=2，=
60.因此，△ABC的面积等于呼zbsin义小3=不选B.
5.在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为〃，b,c,若AsinA一454cosB=0,且2=碇，则工一的值为（）孚A.B.y11C.2D.4解析选在中，由一小C5c bsinAacos5=0,利用正弦定理得一小sin Bsin Asin AcosB=0,所以tan8=小，故8=
1.由余弦定理得Z2=6Z2+c2—2^c-cosB=a1+c1—ac,即b2=a-\-c2—3ac9又b2=ac所以4Z2=6Z+C2,求得b=
2.9全国卷的内角的对边分别为已知
6.2017♦I Z\A8C4B,C a,b,c sinB+sin AsinC-cosC=0,a=也则2,c=,C=兀71A・12匹CJ4解析选因为〃B=2,c=yf2,2\[2所以由正弦定理可知，—7=^7,故sin/4=^/2sinC.又B=7T—A+Q,故sinB+sin AsinC—cosC=sinA+C+sin AsinC-sin AcosC=sin AcosC+cos AsinC+sin AsinC-sinAcosC=sinA+cos AsinC=
0.又为的内角，5c故sin CWO,则即sinA+cosA=0,tan=—
1.兀3又兀，所以不.A£0,4=1从而sinC=2,由知为锐角,故=聿.故选A=¥C B.
7.在△ABC中，若sirr2AWsin B+sii C—sin BsinC,则A的取值范围是一片]Z2+02解析由正弦定理角化边，得.2忘/2+/一儿，/.Z2+c2—cosA=725，彳.答案（o w
8.在△ABC中，已知AB=3,A=120°,且△ABC的面积为4后,则3c边的长为.解析由SMBC=与®得X3XACsin120=^后,所以4c=5,因此8C2=42+AC2_2ABACCOS120-1~I解得=9+25+2X3X5x1=49,BC=
7.
9.（2018・沈阳检测）在△A3C中，内角A,B,C所对边分别是b,c,sin，则△ABC的22c答案7形状一定是.解析由题意，得匕誓=旨，即cos3=又由余弦定理，$=»；”,整理，得层+〃=/,所以△ABC为直角三角形.答案直角三角形
10.2018・抚州联考在△ABC中，为线段5c上一点不与端点重合，ZACB=1,AB=®AC=3,BD=1,则AO=.A02+5c2―解析在△ABC中，cos7=°-,化简得32—35+2=0,得8C=1舍去或8C=2,3Z,/1C-£C。
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