中位数与众数教学设计

第六章数据的分析中位数与众数2o

一、学情与教材分析lo学情分析经过前两节课的学习，学生已理解算术平均数和加权平均数的联系与区别,会求一组数据的算术平均数和加权平均数，能利用平均数解决实际问题.学生在算术平均数和加权平均数的学习活动中，解决了一些相关的实际问题，体会到权的差异对平均数的影响，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验，初步形成了动手实践、自主探索、合作交流的学习方式.2o教材分析《中位数与众数》是北师大版八年级上册第六章第二节内容.平均数，中位数，众数是描述一组数据的集中趋势的3个数据代表，是帮助学生学会用数据说话的基本概念，在此之前，学生已经学习了第1节《平均数》，本节内容是继《平均数》学习之后的后续内容，既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系现实生活，培养学生应用数学意识和创新能力的良好素材.

二、教学目标

1.掌握中位数、众数的概念，会求出一组数据的中位数与众数;能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判.2o通过解决实际问题的过程，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获得一定的评判能力，进一步发展其数学应用能力.

3.将知识的学习放在解决问题的情境中，通过数据分析与处理,体会数学与现实生活的联系，培养学生求真的科学态度.

三、教学重难点教学重点:掌握中位数与众数的概念,及两概念的简单运用.教学难点平均数、中位数和众数三者的差别，并能在具体情境中选择恰当的数据代表,对数据做出自己的评判.

四、教法建议根据教材内容和初二学生的认知特点，采用“以问题为中心”的讨论发现法:木人教~024262830~分数答案26解析把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是26+26+2=26,则中位数是

26.点拨根据中位数的定义，即可解答.

4.两组数据3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,若将这两组数据合并为一组数据,则这组新数据的中位数为.答案6解析•.•两组数据3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,a+2b=24-3-

5.\U+b=18-6,解得若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为3,4,5,6,8,8,8,一共7个数,第四个数是6,所以这组数据的中位数是

6.点拨首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求得a、b的值,然后求中位数即可.

三、解答题

5.有七个数由小到大依次排列，其平均数是38,如果这组数的前四位数的平均数是33,后四个数的平均数是

42.求它们的中位数.答案见解析解析设中间的一个数即中位数为x,由题意得,x=33X4+42X4-38X7=34,则中位数为

34.点拨:根据7个数的平均数是38,就可以求出这7个数的和.前4个数的和与后四个数的和，减去7个数的和就是第四个数，即7个数的中位数.能力型

一、选择题

1.有11个互不相同的数，下面哪种方法可以不改变它们的中位数A.将每个数加倍B,将最小的数增加任意值C.将最大的数减小任意值D.将最大的数增加任意值答案:D解析:A、将每个数加倍，则中位数加倍；B、将最小的数增加任意值，可能成为最大值,中位数将改变；C、将最大的数减小任意值，可能成为最小值,中位数将改变；D、将最大的数增加任意值，还是最大值，中位数不变.点拨11个不同的数按大小排列,第6个数为中位数,看哪个选项没改变第6个数.

2.一组互不相等的数据,它的中位数为80,小于中位数的数的平均数为70,大于中位数的数的平均数为96,设这组数据的平均数为7,贝底=A.82B.83C.80WxW82，D.82W xW83答案:D解析大于中位数与小于中位数的数个数相同,可以设都是m个.当这组数有偶数个时，则中位数不是这组数中的数，则这组数有2m个，70/96m则平均数是—石L=83;当这组数据的个数是奇数个时，则这组数有2m+l个，70nH■96/803则平均数是:一而一=83-2是3而因而02/lWl

33.•.83-21rH4三83-1=82且83-2/

183.故

82783.W点拨当这组数据的个数应分为奇数个与偶数个两种情况进行讨论,并且大于中位数与小于中位数的数个数相同，可以设都是m个,根据平均数的计算公式即可求解.

二、填空题

3.由小到大排列的一组数据X1,X2,X3,X4,X5,其中每个数据都小于-1,则对于1,Xi，-X2,X3,-x,X5的中位数可表示为4x5+1答案2解析:将l,x”-x,x,-x,x5这组数据从小到大重新排列后最中间的两个数234X5+I为X5与1,则中位数是

2.点拨首先将数据1,X”-X,X,-X4,X5按大小排列的，然后根据中位数的定义求23解.

三、解答题

4.请根据下列图表信息解答问题年份201120122013201420152016年增长率31%27%32%35%52%

（1）表中空缺的数据为；（精确到1%）⑵求统计表中增长率的平均数及中位数；⑶预测2017年的观影人次,并说明理由.2010-2016年电影行业观影人次统计图人次亿A°^201020112012201320142015206年份答案见解析解析

（1）由题意可得，2016年的年增长率是（1372-1260）o+

12.60X100%^9%；2统计表中增长率的平均数为31%+27%+32%+35%+52%+9%^6=31%将它们按从小到大的顺序排列为9%,27%,31%,32%,35%,52%,所以中位数是31%+32%4-2=

31.5%;32017年的观影人次为

13.72X1+31%^1797人次，o预估的理由是由折线统计图和表格可知,最近6年增长率的平均数为31%,故预估2016年的增长率为31%.点拨

（1）根据折线统计图可以得到2016年的年增长率；

（2）根据平均数与中位数的定义求解；

（3）根据条象形统计图和扇形统计图可以解答本题.探究型

一、解答题

1.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人,为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩（百分制）如下:867475768770759075797480867793738881819483778380817081737882807040整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据:成绩X40Wx50WxW60WxW70WxW80WxW90WxW人数W4959697989100部门甲0011171乙——————（说明成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示部门I平均数中位数众数78o377o575乙

7880.581得出结论a.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为;b.可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）答案:见解析解析:填表如下40Wx50x60xW70x80WxW90Wx成绩X人数部49〈5969〈7989100门甲0011171乙100710212a.20x400=240（人）.故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为240；b.答案不唯一，理由合理即可.可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高,理由为

①甲部门生产技能测试中,平均分较高,表示甲部门员工的生产技能水平较高；

②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工,表示甲部门员工的生产技能水平较高.或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为

①乙部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；

②乙部门生产技能测试中，众数较高,表示乙部门员工的生产技能水平较高.点拨:根据收集数据填写表格即可求解；用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案，根据情况进行讨论分析，理由合理即可.

2.顺义区某中学举行春季运动会，初二年级决定从本年级300名女生中挑选64人组成花束方队，要求身高基本一致，这个工作交给年级学生会体育部小红、小冬和小芳来完成.为了达到年级的选拔要求，小红、小冬和小芳各自对本学校初二年级的女生身高进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表

1、表2和表

3.表1小红抽样调查初二年级4名女同学身高统计表（单位cm）序号1234身高155160165172表2小冬抽样调查初二年级15名女同学身高统计表（单位cm）序123456789101112111号345身1411511161616161611617117高84905500567690752281表3小芳抽样调查初二年级15名女同学身高统计表（单位cm）12345678911111415序0123号身1411511111611116171717高56056546066686934502070根据自己的调查数据，小红说应选取身高为163cm（数据的平均数）的同学参加方队,小冬说应选取身高为165cm（数据的中位数）的同学参加方队，小芳说应选取身高为160c ll1（数据的众数）的同学参加方队.根据以上材料回答问题小红、小冬和小芳三人中,哪一位同学的抽样调查及得出的结论更符合年级的要求,并简要说明符合要求的理由，同时其他两位同学的抽样调查或得出结论的不足之处.答案见解析解析:小芳的结论更符合年级的要求.小芳的15个数据中的众数为160c ni,说明全年级身高为160cm的女生最多，估计约有80人,因此将挑选标准定在160cm,便于组成身高整齐的花束方队.小红的结论是由数据平均数得出的，但调查的样本容量较少；小冬的结论是由数据中位数得出的，但不能表明165c m身高的学生够64人.点拨:根据众数、中位数和平均数的意义解答可得.（或点击“随堂训练”，选择“《中位数与众数》基础型”、”《中位数与众数》能力型”、“《中位数与众数》探究型”）即课堂上,教师或学生提出适当的数学问题，通过学生与学生（或教师）之间相互讨论，相互学习，在问题解决过程中发现概念，逐步建立认知结构.

五、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务任务1阅读课本P142-143,什么是中位数？什么是众数？（观看《中位数与众数》新知讲解0000-0200）任务2:结合实例，怎么找出一组数据中的中位数，众数呢？（观看《中位数与众数》新知讲解02:01—06:29）任务3课下调查20名男同学所穿运动鞋的尺码，其中这些尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？

2.预习自测

一、选择题

1.已知数据2,1,4,6,9,8,6,1,则这组数据的中位数是（）A.4B.6C.5D.4和6答案:C解析:从小到大排列此数据为

1、

1、

2、

4、

6、

6、

8、9,第4位和第5位分别是4和6,平均数是5,则这组数据的中位数是

5.点拨:要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可,本题是最中间的两个数的平均数.

2.某校在“校园十佳歌手”比赛上，六位评委给1号选手的评分如下90,96,91,96,95,

94.那么，这组数据的众数和中位数分别是（）A.96,94o5B.96,95C.95,945D.95,95答案:A解析在这一组数据中96是出现次数最多的，故众数是96;而将这组数据从小到大的顺序排列（90,91,94,95,96,96）,处于中间位置的那个数是

94、95,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（94+95）+2=

945.故这组数据的众数和中位数分别是96,

94.

5.点拨找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.

二、填空题

3.某中学排球队12名队员的年龄情况如下表:年龄（岁）12131415人数（人）1254则这个队员年龄的众数是.答案14解析这组数据中，14岁的人数最多，故众数为

14.点拨:根据众数的概念求解.

4.某地连续九天的最高气温统计如下表最高气温（℃）22232425天数1224则这组数据的中位数与众数分别.答案:24℃;25℃解析在这一组数据中25是出现次数最多的，故众数是25；处于这组数据中间位置的那个数是24,那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是24;故这组数据的中位数与众数分别是24,

25.故答案为24C;25℃.点拨:根据众数和中位数的定义就可以求解.（或点击“随堂训练”，选择“《中位数与众数》预习自测”）

（二）课堂设计本节课设计了五个教学环节:第一环节情境引入;第二环节:探究发现；第三环节知识运用；第四环节:随堂检测；第五环节:课堂小结.第一环节:情境引入内容在当今信息时代，信息的重要性不言而喻，人们经常要求一些信息“用数据说话”，所以对数据作出恰当的评判是很重要的.下面请看一例某次数学考试，小英得了78分.全班共32人，其他同学的成绩为1个100分,4个90分，22个80分,2个62分，1个30分，1个25分.小英计算出全班的平均分为

77.4分，所以小英告诉妈妈说，自己这次数学成绩在班上处于“中上水平”.小英对妈妈说的情况属实吗？你对此有何看法引导学生展开讨论，作出评判平均数是我们常用的一个数据代表，但是在这里，利用平均数把倒数第五的成绩说成处于班级的“中上水平”显然是不属实的.原因是全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响，利用平均数反应问题就出现了偏差.怎样说明这个问题呢？我们需要学习新的数据代表--中位数与众数.目的一是复习平均数的概念与计算，同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为引入新的数据代表奠定基础.二是根据学生的心理特征和认识规律，力求创设一种引人入胜的教学情景，引起学生对“平均水平”的认知冲突，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生积极投入新知识的学习.注意事项本环节占用的时间不宜长,只要达到引入新课、调动学生学习积极性的目的既可.第二环节探究发现内容:问题:某公司员工的月工资如下:员工经理副经理员A职员B员C职员D职员E职员员GF月工筠元700044002402000190180180018001200000经理说我公司员工收入很高，月平均工资为2700元.职员C说我的工资是1900元,在公司算中等收入.职员D说我们好几个人工资都是1800元.一位应聘者心里在琢磨这个公司员工收入到底怎样呢？你怎样看待该公司员工的收入？学生四人小组讨论，交流自己的看法,教师对表现积极的学生予以鼓励.在学生讨论交流的基础上，教师进行点拨上述问题中,经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司的收入情况:1月平均工资2700元，指所有员工工资的平均数是2700元，但只有正、副经理的工资比平均工资高，是他两人的工资把平均工资“拉”高了.

（2）职员C的工资是1900元，恰好居于所有员工工资的“正中间”（恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低）,我们称1900元是这组数据的中位数.

（3）9个员工中有3个人的工资为1800元，出现的次数最多,我们称1800元是这组数据的众数.议一议:你认为用哪个数据表示该公司员工收入的平均水平更合适？让学生讨论，充分发表不同的观点，然后归纳起来:用中位数1900元或众数1800元表示该公司员工收入的平均水平更合适些，因为平均数2700元受到了极端值的影响.结合上述问题的探究，引入中位数、众数的概念一般地，n个数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.教师指出:平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平,,.让学生用中位数、众数的概念回头望，解释引例中小英的数学成绩的问题.目的通过有争议的问题情境，再次引起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和学习热情；通过讨论交流，培养了学生的自主探索、合作交流的意识与能力，改变学生的学习方式:通过解决问题，让学生多角度地认识平均，使他们的认知冲突得到升华.注意事项在问题的讨论中，学生从不同的角度理解问题会有不同的观点，只要学生说得有道理，教师就应给予肯定和鼓励，不可强求结论的一致性.第三环节知识运用内容1对于一组数据:3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,下列说法正确的是（）A.这组数据的众数是3；Bo这组数据的众数与中位数的数值不等；C.这组数据的中位数与平均数的数值相等；D.这组数据的平均数与众数的数值相等.答案A2o2011-2012赛季北京金隅队队员身高的中位数、众数分别是多少（课本48页）3o你课前所调查的20名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋？目的第

1、2题是基础题，考查平均数、中位数和众数的概念及求法，特别是通过第2题要使学生认识到一组数据中众数不一定只有一个.第3题既是上节课的作业题，又是本节课的“做一做”，不仅渗透了抽样调查的思想，而且让学生在具体情景中，选择恰当的数据代表对问题作出评判，培养学生的实践能力.注意事项:教师根据学生解答问题的情况，及时反馈矫正、积极评价.特别是第3题由于所选的样本不是很大，个别学生有不同看法是允许的.第四环节:随堂检测

一、选择题

1.数据

21、

12、

18、

16、

20、21的众数和中位数分别是（）A.21和19B.21和17C.20和19D.20和18答案A解析:在这一组数据中21是出现次数最多的,故众数是21；数据按从小到大排列

12、

16、

18、

20、

21、21,中位数是（18+20）+2=19,故中位数为

19.点拨根据众数和中位数的定义求解即可.

2.在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位个）如下表成绩454647484950人数124251这此测试成绩的中位数和众数分别为（）A.47,49B.47o5,49C.48,49D.48,50答案C解析49出现的次数最多，出现了5次，所以众数为49,第8个数是48,所以中位数为48,故选C.点拨:根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第8个数解答即可.

二、填空题

3.已知一组数据:2,1,-1,0,3,则这组数据的中位数是.答案1解析:从小到大排列此数据为-1,0,1,2,3,第3位是1,则这组数据的中位数是

1.点拨要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数）即可.

4.某校九年级

（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人,17岁的有2人,则这个班同学年龄的中位数是岁.答案15解析•・•该班有40名同学，・••这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，V15岁的有21人，・••这个班同学年龄的中位数是15岁.点拨根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数,即可得出答案.

三、解答题

5.物理兴趣小组20位同学在实验操作中的得分情况如下表得分（分）10987人数（人）5843

（1）写出这20位同学实验操作得分的中位数.

（2）求这20位同学实验操作得分的平均分.答案见解析解析

（1）20个数据的中位数是第10个和第11个同学的得分的平均数,即（9+9）+2=

9.所以中位数为

9.

（2）平均分=1°乂5+9乂8+£乂4+7乂3=875分.20所以这20位同学实验操作得分的平均分为

8.75分.点拨:

①20个数据的中位数是第10个和第11个同学的得分的平均数.

②平均分=总分数总人数.♦（或点击”随堂训练〃，选择“《中位数与众数》随堂检测）第五环节课堂小结议一议平均数、中位数和众数有哪些特征？学生讨论交流，师生共同总结特征

1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定,它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响.

2.用中位数作为一组数据的代表,可靠性比较差，它不能充分利用所有数据的信息，但它不受极端值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用它来描述这组数据的“集中趋势”.

3.用众数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它不受极端值的影响.当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们尤为关心的一种统计量.要根据不同的实际需要，确定是用平均数、中位数还是众数来反映数据的平均水平.目的通过合作交流、归纳总结，使学生体会到平均数、中位数、众数三者的差别，并能在情景中，选择恰当的数据代表对数据作出评判，培养学生的判断能力和学习能力.注意事项:在学生总结平均数、中位数和众数的特征时，最好是让他们结合具体实例来说明，这样对学生理解数据的代表的特征、恰当地运用它们作出评判颇有好处.布置作业

1.课本习题

6.2的第1,2,3题.

2.收集一组与本班同学相关的生活数据（例如每分钟心跳的次数，眼镜近视的度数、身高、体重等）,并选择恰当的数据代表来说明本组数据的特征.

（三）课后作业基础型

一、选择题

1.一组数据3,x,4,5,8的平均数为5,则这组数据的众数、中位数分别是（）A.4,5B.5,5C.5,6D.5,8答案B解析:飞，x,4,5,8的平均数为5,3+x+4+5+84-5=5,解得x=5,把这组数据从小到大排列为3,4,5,5,8,・•・这组数据的中位数为5,V5出现的次数最多，.•・这组数据的众数是5;故选B.点拨先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可.

2.某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表金额/元5102050100人数4161596则他们捐款金额的中位数和平均数分别是A.10,20o6B.20,

20.6C.10,306D.20,306o答案:D解析共有50个数，・•・中位数是第

25、26个数的平均数，・••中位数是20+204-2=20；1平均数=505X4+10X16+20X15+50X9+100X6=306；故选D.o点拨:根据中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后,找出最中间两个数的平均数;根据平均数公式求出平均数即可.

二、填空题

3.在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是。