函数的极限高等数学课件

函数的极限函数的极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在自变量趋于某个特定值时，函数值的趋向行为极限的概念定义符号表示当自变量趋近于某个特定值时，函数的值无限接近于某个特定值，极限用符号lim表示，例如limx→a fx=L，表示当x趋这个特定值就称为函数的极限近于a时，fx的极限为L极限的性质唯一性保号性有界性收敛性一个函数在某一点的极限值如如果函数在某一点的极限值大如果函数在某一点的极限值存如果函数在某一点的极限值存果存在，则该极限值是唯一的于零，则在该点附近存在一个在，则该函数在该点附近是有在，则该函数在该点附近收敛区间，使得在这个区间内函数界的于该极限值的值都大于零无穷小定义特征12当自变量趋于极限点时，函数无穷小是指函数的值趋于零，的值无限接近于零，称为无穷并非指函数本身为零小重要性举例34无穷小是微积分中的基本概念，例如，函数1/x当x趋于无穷在求极限、导数、积分等方面大时，其值为无穷小都有广泛应用无穷小的阶无穷小是指当自变量趋于某一极限值时，函数值也趋于零的函数，阶就是指无穷小的量级，即当自变量趋于极限值时，函数值趋于零的速度无穷小的阶是指无穷小量与另一个无穷小量的比值的极限极限存在的条件单调有界定理单调有界序列一定有极限，例如，无穷递增的数列如果存在上界，那么它一定有极限，反之亦然夹逼定理若有三个函数，满足一个函数在两边，并且极限相同，则中间函数的极限也存在且与两边的极限相等柯西收敛准则一个数列收敛的充分必要条件是该数列满足柯西收敛准则，即数列中任意两个数之间的距离可以无限小极限的运算法则加减法法则乘法法则两个函数的极限之和等于它们极限的和；两个函数的极限之差等于两个函数的极限之积等于它们极限的积它们极限的差除法法则常数法则两个函数的极限之商等于它们极限的商，前提是分母的极限不为零常数的极限等于该常数本身注意事项求极限时，要注意函数的定义域，避免出现定义域之外的点计算极限时，要注意使用极限的性质，避免出现错误的计算结果对于一些特殊的函数，如分段函数，需要分别讨论不同情况下的极限在使用极限的运算法则时，要注意满足相应的条件，例如求和、乘积、商等的极限，需要满足各个函数的极限都存在一侧极限定义1一侧极限指的是函数在自变量趋于某个点的左侧或右侧时，函数值的趋近值符号2对于自变量趋于点a的左侧，我们使用符号x→a-表示，而自变量趋于点a的右侧则使用符号x→a+表示应用3一侧极限在判断函数在某个点是否连续、计算函数的导数、以及处理一些特殊的函数极限问题时有重要的应用双侧极限双侧极限是指当自变量从左右两侧无限趋近于某一点时，函数值无限趋近于同一个常数，则称该函数在这个点处有极限左极限1从左侧无限趋近右极限2从右侧无限趋近双侧极限3左右极限相等若左右极限均存在且相等，则函数在该点处有极限极限的计算代入法1直接将极限值代入函数表达式等价无穷小替换2用等价无穷小替换函数中的某些部分洛必达法则3应用洛必达法则求解极限泰勒公式4利用泰勒公式展开函数极限的计算是高等数学中的基础内容，也是解决实际问题的重要工具常用的计算方法包括代入法、等价无穷小替换、洛必达法则以及泰勒公式不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体问题选择合适的方法重要极限公式sinx/x1+x^n当x趋近于0时，sinx/x的极限为1当x趋近于0时，1+x^n的极限为ee^x lnx当x趋近于无穷大时，e^x的极限为无穷大当x趋近于0时，lnx的极限为负无穷大连续函数定义性质应用函数在定义域内每个点处都连续，即函数值连续函数的性质包括可微性、介值定理、最在物理、化学、工程等领域，连续函数广泛的变化是平滑的，没有跳跃或断裂大值最小值定理等应用于模拟各种连续变化的现象连续函数的性质介值定理零点定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa≠fb，则对于介如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa·fb0，则在开于fa和fb之间的任意实数y，存在一点c∈a,b，使得区间a,b内至少存在一点c，使得fc=0fc=y连续函数的应用微积分基本定理物理建模

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22.连续函数是微积分基本定理的在物理学中，许多物理量可以关键，它将微分与积分联系在用连续函数表示，例如位移、一起，为解决许多数学问题提速度和加速度使用连续函数供工具可以精确地描述物体的运动工程应用经济学模型

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44.在工程领域，连续函数广泛应经济学中的许多模型，例如供用于结构分析、电路设计、信求关系、价格波动、利润分析号处理等，帮助工程师进行复等，都可以用连续函数来描述，杂问题的建模和分析帮助经济学家进行预测和决策不连续点定义分类重要性函数在某个点没有定义或极限不存在，根据不连续点处的极限性质，可分为跳不连续点是理解函数性质的关键，它反则该点称为函数的不连续点跃间断点、无穷间断点和可去间断点映了函数在该点处的性质突变，导致函数图像发生跳跃或间断间断点定义分类若函数在某一点处不连续，则称该点为函•跳跃间断点数的间断点•无穷间断点•可去间断点间断点的分类跳跃间断点无穷间断点

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22.函数在该点左右极限存在，但函数在该点左右极限至少有一左右极限不相等个为无穷大可去间断点

33.函数在该点左右极限存在且相等，但函数值不存在或不等于极限值跳跃间断点函数值突然跳跃图形表现函数在间断点处左右极限存在，但左右极限不相等，且函数值存在图形在间断点处出现一个“跳跃”，左右两侧的函数图像不连续无穷间断点定义特征例子函数在某点附近的左右极限都存在，但当x接近间断点时，函数的值无限制地函数fx=1/x在x=0处有无穷间断点，至少有一个极限为无穷大，则称该点为增大或减小，图形呈现为垂直渐近线因为当x趋近于0时，函数的值无限制地无穷间断点增大或减小可去间断点缺失点极限存在连续性函数在该点不存在，但可以通过修改函数定在该点左右极限相等，但函数值不存在通过改变函数值，可以使函数在该点连续义将其补全图形判断连续性通过函数图像，我们可以直观地判断函数在某点是否连续如果函数图像在该点没有断裂或跳跃，则该点是连续点如果函数图像在该点有断裂或跳跃，则该点是不连续点观察图像是否可以不间断地画出，若可以则连续，反之则不连续无穷大概念性质符号当自变量趋向于某个值时，函数的值无无穷大不是一个确定的数，而是表示函用符号“+∞”表示正无穷大，用符号“-限增大或无限减小，此时称函数趋向于数在自变量趋向某个值时，其值无限增∞”表示负无穷大无穷大大的趋势无穷大的概念和性质定义性质当自变量x趋近于某个值或无穷大时，函数fx的绝对值无限增•无穷大是一个概念，而不是一个具体的数值大，我们称函数fx趋于无穷大，记作lim fx=∞•无穷大的符号表示函数的增长趋势，而不是具体的值•无穷大的运算需要遵循相应的规则，比如无穷大加无穷大等于无穷大，无穷大乘以一个非零常数等于无穷大函数的极限存在必要条件左右极限相等极限值唯一有限值函数在一点的极限存在，意味着该点的左右如果函数在一点的极限存在，那么它的极限函数的极限值必须是一个有限值，不能是无极限必须相等值必须是唯一的穷大或无穷小函数的极限存在充分条件单调有界定理夹逼定理

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22.单调有界数列必有极限，此定理可推广若两个函数的极限相等，且第三个函数到函数极限，函数在某区间单调且有界，在这两个函数之间，则第三个函数的极则该函数在该区间的极限存在限也存在，且等于两个函数的极限柯西收敛原理

33.如果函数在某点附近满足柯西收敛条件，则该函数在该点的极限存在洛必达法则应用场景当函数的极限为0/0或∞/∞不定式时，可以考虑使用洛必达法则求导洛必达法则的关键是计算分子和分母的导数极限计算通过求导，可以简化表达式，从而更容易计算极限定积分的概念曲线与轴围成的面积函数的变化量

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22.定积分可以用来计算曲线与x轴所围成的面积，这是定积分定积分可以用来表示函数在某个区间上的变化量，反映了函的几何意义数在该区间的累积效应物理量积分计算

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44.定积分可以用来描述一些物理量，例如功、体积、质量等，定积分的计算方法有很多，如牛顿-莱布尼兹公式，积分变这体现了定积分在物理学中的应用换等定积分的性质线性性质可加性定积分运算对被积函数具有线性性质，即积分定积分的积分区域可以进行分割，每个分割区符号下可以提取常数因子，也可以将多个被积域上的积分之和等于整个区域的积分函数的和进行积分积分区间性质零积分交换积分上下限会导致积分结果的符号改变，当积分上下限相同时，积分结果为零积分区间缩小时，积分结果也相应减小定积分的计算微积分基本定理通过微积分基本定理，可将定积分转化为求导的逆运算，即求原函数换元积分法通过引入新的变量，将复杂的积分转化为更容易求解的积分分部积分法通过将被积函数拆分成两个函数的乘积，利用分部积分公式进行求解其他方法根据被积函数的具体形式，可使用其他方法，例如三角函数代换、配方法等。