初等函数高等数学课件

初等函数初等函数是高等数学中重要的基础概念之一它是由基本函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等绪论什么是初等函数？初等函数的重要性初等函数是高等数学中最基本的一类函数这些函数通常被认为初等函数在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用它们是简单函数，因为它们可以用简单的代数运算或三角函数定义在解决实际问题、建立数学模型方面发挥着重要作用函数的概念定义域对应关系值域函数定义域是指可以输入的所有数值函数将定义域中的每个值对应到值域中的唯函数对应关系得到的输出值组成的集合一值函数的分类初等函数超越函数初等函数是基本函数通过有限次超越函数是指不能用初等函数表四则运算和复合运算得到的函数示的函数这些函数包括三角函这些函数包括多项式函数、有理数、指数函数和对数函数等函数、指数函数、对数函数和三角函数分段函数分段函数是指在不同的定义域内有不同的函数表达式例如，绝对值函数和阶梯函数一次函数定义1一次函数是定义域为全体实数，且表达式为为常数，y=kx+bk,b且的函数，其图像是一条直线，是斜率，是截距k≠0k b性质2一次函数的图像是一条直线，直线的斜率为，表示直线的倾k斜程度，截距为，表示直线与轴的交点b y应用3一次函数在日常生活、科学研究和工程应用中都有广泛的应用，例如线性规划、速度和时间的关系、比例模型等一次函数的性质单调性奇偶性12一次函数具有单调性，即在定一次函数是奇函数，即函数图义域内，函数值随自变量的变像关于原点对称化而单调递增或单调递减线性关系无界性34一次函数表示两个变量之间呈一次函数在定义域内是无界的，线性关系，即函数值与自变量即函数值可以取任意实数之间存在一个常数比例关系一次函数的图像一次函数的图像是一条直线直线的斜率等于函数的斜率，截距等于函数的常数项图像的形状取决于函数的系数，正系数的函数图像向上倾斜，负系数的函数图像向下倾斜常数项决定了图像与轴的交点y二次函数定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0图像二次函数的图像是一个抛物线，其形状取决于系数a的符号当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下性质二次函数具有对称轴、顶点、开口方向等性质，这些性质可以帮助我们理解二次函数的图像和性质应用二次函数在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，例如描述物体的抛射运动、计算物体运动的轨迹等二次函数的性质对称性顶点开口方向零点二次函数图像关于对称轴对称.二次函数图像的最高点或最低二次函数图像开口向上或向下二次函数图像与x轴的交点称为点称为顶点取决于二次项系数零点...二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线抛物线的开口方向由二次项系数决定，开口向上则系数大于零，开口向下则系数小于零顶点坐标可以通过配方求得，是对称轴的交点抛物线的形状和位置受二次项系数、一次项系数和常数项的影响通过调整这些系数，可以改变抛物线的开口方向、顶点位置和形状三角函数正弦函数1y=sinx余弦函数2y=cosx正切函数3y=tanx余切函数4y=cotx正割函数5y=secx三角函数是描述角度和边长的关系它们在物理、工程、导航等领域有着广泛的应用三角函数的性质周期性奇偶性对称性单调性三角函数在特定范围内重复，正弦函数为奇函数，余弦函数三角函数图像关于特定点或直三角函数在特定区间内具有单具有周期性，周期为2π为偶函数，它们分别满足奇偶线对称，体现对称性性质调递增或递减的性质性性质三角函数的图像三角函数的图像，如正弦函数、余弦函数和正切函数等，具有周期性和对称性它们在坐标系中呈波浪状，可以用来描述周期性变化的现象通过分析函数图像，可以观察到函数的周期、振幅、相位等特征，进而更好地理解三角函数的性质和应用指数函数定义1形如且的函数y=a^x a0a≠1性质2单调性、奇偶性、定义域、值域等图像3过点，单调递增或递减0,1指数函数是高等数学中重要的函数之一它在自然科学、工程技术、经济学等领域都有广泛的应用指数函数的定义、性质和图像都是学习高等数学的基础指数函数的性质单调性定义域和值域奇偶性无界性指数函数在定义域内单调递增指数函数的定义域是全体实数，指数函数关于y轴对称，因此指数函数随着x的增大而无限或单调递减，取决于底数的大值域是正实数是偶函数增大或无限减小，没有最大值小或最小值指数函数的图像指数函数图像是一个曲线，该曲线经过点（，），并且随着自变量的增大而01x逐渐上升或下降指数函数的图像形状取决于底数的大小如果大于，则图a a1像向上凸，如果小于，则图像向下凸a1图像的具体形状还取决于指数函数的系数例如，如果系数为正数，则图像在第一象限内，如果系数为负数，则图像在第三象限内对数函数定义对数函数是指数函数的反函数，可以用于解决指数型问题性质对数函数具有单调性、奇偶性、周期性等性质，这些性质决定了它的图像特征图像对数函数的图像与指数函数的图像关于直线对称，它是一个y=x单调递增的函数图像对数函数的性质单调性定义域对数函数在定义域内是单调递增对数函数的定义域是所有正实数，的，当底数大于1时，函数值随自即自变量必须大于零变量的增大而增大；当底数小于1时，函数值随自变量的增大而减小值域奇偶性对数函数的值域是所有实数，即对数函数不是奇函数也不是偶函函数值可以取任意实数数，但具有对称性当底数大于1时，函数图像关于轴对称；当底y数小于时，函数图像关于原点对1称对数函数的图像对数函数的图像呈单调递增或递减的趋势，其图像形状取决于对数函数的底数当底数大于时，对数函数的图像在轴的正半轴上单调递增，且图像越接近轴1x x越平缓当底数小于时，对数函数的图像在轴的正半轴上单调递减，且图像越接近轴1x x越平缓幂函数定义1幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数，x为自变量当a取不同值时，幂函数的图像形状会有所不同性质2幂函数的性质与a的值有关，包括定义域、值域、奇偶性、单调性等不同类型的幂函数具有不同的性质图像3幂函数的图像可以通过描点法绘制不同类型的幂函数的图像形状各有特色，可以帮助我们直观地理解其性质幂函数的性质单调性奇偶性

11.

22.幂函数的单调性取决于指数的当指数为奇数时，幂函数为奇大小，当指数大于0时，函数函数；当指数为偶数时，幂函单调递增；当指数小于0时，数为偶函数函数单调递减定义域值域

33.

44.幂函数的定义域取决于指数，幂函数的值域取决于指数，当当指数为正数时，定义域为全指数为正数时，值域为全体非体实数；当指数为负数时，定负实数；当指数为负数时，值义域为非零实数域为全体非零实数幂函数的图像n=1n=2n=3n=-1当时，幂函数图像为一条直当时，幂函数图像为抛物线，当时，幂函数图像为三次曲当时，幂函数图像为双曲n=1n=2n=3n=-1线，斜率为1，经过原点这是开口向上，对称轴为y轴这是线，经过原点，且曲线在原点线，渐近线为x轴和y轴这是一条线性函数图像一条二次函数图像附近有拐点这是一条三次函一条反比例函数图像数图像有理函数定义1由两个多项式函数的商构成的函数形式2，其中和是多项式Rx=Px/Qx PxQx特点3可能存在垂直渐近线，水平渐近线或斜渐近线应用4广泛应用于物理、工程和经济学等领域有理函数在数学中扮演着重要角色，它们可以描述许多现实世界的现象有理函数的性质渐近线连续性可导性对称性有理函数可能存在水平、垂直除了分母为零的点外，有理函有理函数在其定义域内是可导某些有理函数可能具有对称性，或斜渐近线，这些渐近线反映数在其定义域内是连续的这的，这使得我们可以分析其单例如奇函数或偶函数，这有助了函数在无穷远处或特定点附些点通常是垂直渐近线的位置调性、极值点以及凹凸性于简化其图像和分析近的行为有理函数的图像有理函数的图像通常表现为曲线，这些曲线可能包含渐近线、拐点、极值点等特征渐近线是曲线在无限远处趋近的直线，可以是水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线拐点是曲线曲率变化的点，极值点是曲线取得最大值或最小值的点有理函数图像的具体形状取决于其分子和分母的多项式函数通过分析函数的表达式，可以确定其图像的基本特征，并绘制出函数的图像函数的复合函数的复合是指将两个或多个函数组合在一起，形成一个新的函数函数复合1将多个函数组合成一个新的函数函数组合2将两个或多个函数的输出作为另一个函数的输入函数关系3函数之间存在依赖关系例如，如果函数和是两个函数，则它们的复合函数可以表示为，这表示将的输出作为的输入fx gxfgx gxfx双曲函数定义双曲函数是类似于三角函数的一组函数，但它们是基于双曲线而不是圆周定义的基本函数双曲函数包括双曲正弦sinh、双曲余弦cosh、双曲正切tanh、双曲余切coth、双曲正割sech和双曲余割csch等性质双曲函数具有许多与三角函数类似的性质，例如它们之间的关系、导数和积分公式等应用双曲函数在物理学、工程学、数学等领域都有广泛的应用，例如在力学、电磁学和流体力学等问题中双曲函数的性质奇偶性周期性

11.

22.双曲正弦函数是奇函数，双曲双曲函数没有周期性，它们是余弦函数是偶函数无周期函数单调性图像

33.

44.双曲正弦函数在整个定义域内双曲函数的图像与三角函数的单调递增，双曲余弦函数在整图像有很大不同，但它们也有个定义域内单调递减一些共同的特征，例如对称性双曲函数的图像双曲函数的图像与三角函数的图像类似，但也有一些独特的特征例如，双曲正弦函数的图像是一条对称轴为轴的曲线，而双曲余弦函数sinhx y的图像是一条对称轴为轴的曲线coshx x双曲正切函数的图像是一条水平渐近线为，而双曲余切函数的tanhx y=1cothx图像是一条水平渐近线为的曲线y=-1双曲正割函数的图像是一条对称轴为轴的曲线，而双曲余割函数sechx ycschx的图像是一条对称轴为轴的曲线x函数的应用实例桥梁设计卫星通信人口增长模型金融市场分析桥梁设计涉及到多种函数，包卫星通信系统中，信号的传播人口增长模型可以使用指数函金融市场分析中，股票价格走括三角函数、多项式函数等可以用指数函数和对数函数来数或逻辑斯蒂函数来模拟，用势可以用函数来模拟，并利用例如，桥梁的形状可以用三角描述于预测未来的人口数量函数的性质进行预测和分析函数表示，桥梁的强度可以用多项式函数表示总结初等函数应用初等函数是数学中最基础的函数，初等函数在许多领域都有广泛的是很多其他函数的基础掌握初应用，例如物理学、化学、工程等函数的性质和图像对于后续学学、经济学等习高等数学至关重要学习建议建议大家勤加练习，掌握初等函数的性质和图像，并尝试应用于实际问题。