二面角习题及答案

二面角

1.如图三棱锥P-ABC中，PC，平面ABC,PC=,D是BC的中点，且4ADC是边长为2的正三角形，求二面角的大小P-AB—C解由已知条件,是的中点D BC・•・CD=BD=2又4ADC是正三角形/.AD=CD=BD=2，是之外心又在上D4ABC BC・•・AABC是以NBAC为直角的三角形，，又，面AB1AC,PC ABC（三垂线定理）J PA1AB・•・ZPAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求ZPAC=30°.如图在三棱锥中，底面垂直平分且分别交于2S-ABC SA_L ABC,ABJLBC,DE SC,AC.SC又求以为棱,与为面的二面角的度数解:又D.E,SA=AB,BS=BC,BD BDEBDC BS=BC,DE垂直平分SC，BE±SC,SC±Il BDE，又，面BD±SC,SA ABC，SA_LBD,BDJ^SAC.二且BD±DE,BDJ_DC则就是所要求的平面角ZEDC设SA=AB=a,贝」且I BC=SB=V2a AC=V3易证△SACs/XDEC・•・NCDE=NSAC=60如图:是矩形,相交于点，是平外一点，，面,.

3.ABCD A.=8,B.=4,A..B.O P.ABCD POABCD,P.=4,..P的中点，求二面大小解取OC之中点N,则MN〃PO面且I.MNJ_ABCD MN=PO/2=2,则NMRN即为二面角M-BD-C的平面角过作于连N NR1BD R,MR,过作于C CE_LBD S则二在中，RN CERtABCD CD•BC=BD•CEBD4RN二〒tan ZMRN=—=—V5RN2叵ZMRN=arctan

2.如图与所在平面垂直，且4AABC ABCDAB=BC=BD,ZABC=ZDBC=的余弦值A-BD-C解过作的延长线于连结A AELCBE,DE,面ABClffi BCDAE±®BCD点即为点在面内的射影E ABCD△EBD为aABD在面BCD内的射影设则二AB=a AEDE=ABsin60°二AD,V15sinZABD=---------4V15V15,x-----------=--------------又BE=-a2°AABDS-°ABDE-cose=3»=@s5°AABD J考虑到我们求的是二面角而二面角与互补A-BD-E,A-BD-C A-BD-C、V5/.二面角的余弦值为-A-BD-C.已知正方体、分别是的中点，求截面与面5AC,M NBB:DD AMCN ABCD,CCDD所成的角解设边长为易证是菱形a,ANCN且MN二，AC二MN--AC=—a222由于在面上的射影即AMCNABCD为正方形ABCDS=a DABCDa2V6ncosO,=—/=—二—1V632—a2取CC的中点M；连结DM，则平行四边形是四边形在上的射影,DNTCN AMCNCCDD12s DDMCM=a2122a显二cos02V662—a

2.0=arccos—

69.如图若求二面角的大小6AClffiBCD,BDlffi ACD,AC=CD=1,ZABC=30°,解作于于DFLAB F,CEJ_AB E,AC=CD=1ZABC=30°AD=,BC=AB=2,BD=在中，RtAABC闩工田z ADBDV2xV21FJ理DF=------------=------------=1AB2・•・BF=7BD2-DF2=1AE=7AC2-CE2=-2EF=2-l--=-22・•・CD2=CE2+DF2+EF2-2EF-DFcosOV3即所求角的大小为arccos——

3.三棱中，求二面.的度数

7.A-BCD ZBA=ZBC=90°,ZDB=30°,A=A=,A=4,.A-BC-解由已知条件，NBAC=90AB=AC,设的中点设为则BC O,OA=OC=BC=2A/3DC=BC tan30°=26x J=23・•・AD2=AO2+OC2+CD2-2AO-CDcosO解之得c1cosO=——2・•・e=i5r.如图，四面体的棱长为其余各棱的长均是,求二面角8ABCD BD2,A—BD—CA—BC的大小.—D.B—AC—D解析:⑴取BD的中点O,连AO、OC.在AABD中，・.・AB=AD=,BD=2,・•・△人8»是等腰直角三角形,人0,8口同理OCLBD.・•・ZAOC是二面角A—BD—C的平面角又AO=OC=1,AC=，，/AOC=

90.即二面角A—BD—C为直二面角.2;二面角A—BD—C是直二面角,AOJLBD,・・.AOJ_平面BCD.・•・△ABC在平面BCD内的射影是△BOC.旦1V3V3VS AOCB=2,SAABC=2,・・・cos=

3.即二面角A—BC—D的大小是arccos3取的中点连、就是二面角的平3AC E,BE DE.VAB=BC,AD=DC,ABD1AC,DE±AC,ZBED面角.在中,，由余弦定理，得ABDE BE=DE=cos Q=-二・二面角B—AC—D的大小是n-arccos

3.评析本例提供了求二面角大小的方法先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S=S・cosO求得,又EG〃AB,故易得tanZAEG=tan/BAE=..如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面9P—ABCD aNA=60PC_L ABCD,PC=a,E是的中点.PA⑴求证平面平面求点到平面的距离求二面角的平面BDEL ABCD.2E PBC.3A—EB—D角大小.解析:⑴设是的交点，连结0AC,BD E

0.・「ABCD是菱形，，0是AC.BD的中点,YE是PA的中点，，EO〃PC,又PC,平面ABCD,・・・E0,平面ABCD,E0平面BDE,二・平面BDE_L平面ABCD.2EO〃PC,PC平面PBC,，E0〃平面PBC,于是点0到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作于OFJ_BC F,平面ABCD,EO〃PC,PC平面PBC,，平面PBC,平面ABCD,于是0尸_1_平面的长等于到平面的距离.PBC,OF0PBC由条件可知则点到平面的距离为,0B=QF=X=a,E PBC a.3过O作OG_LEB于G,连接AG VOE±AC,BD±AC;.AC，平面BDE・•・AGJ_EB三垂线定理・•・ZAGO是二面角A—EB—D的平面角j_j_且OEOB V3j_・・・0E=2PC=2a,OB=2a.\EB=a.AOG=EB=4a又A0=2a.AO2A/32V3・・.tanNAGO=°G=3NAGO=arc tan3评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法,三垂线定理及逆定理的应用.如图，已知正方体的棱长为、分别在棱上，在对角线

10.ABCD—A1B1C1D11,E FAB.BC G，，BD1上，且AE=BF=DIGGB=12,求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.解析设在底面上的射影为G ABCDH,H£BD,GH GB

2..D[D=D B=3■12AGH=3作于连由三垂线定理知则就是平面与底面所成HM±EF M,GM,GM1EF,NGMH=0BFG ABCD的二面角的平面角，tan=.下面求的值.HM建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.・•・直线EF的方程为1y—x——04--024,即4x-6y-l=

0.由点到直线的距离公式可得I HMI==,/.tg9=*=,9=arctg.说明运用解析法来求的值是本例的巧妙所在.HM.如图，设是直三棱柱，、分别为的中点，且11ABC—A1B1C1E FAB.A1B1AB=2AA1=2a,AC=BC=a.求证:1AF_LA1C求二面角的大小2C—AF—B分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解为中点,1VAC=BC,E ABACE±AB为直棱柱，面XVABC—A1B1C1AA1BB连结由于EF,AB=2AA1二•为正方形AA1FE从而AAF1A1E,AFJLA1C设与交于连结由于知面2AF A1E0,C0,AF_LA1E,AFJ_CEA1・•・ZCOE即为二面角C—AF—B的平面角百AB=2AA1=2a,AC=BC=a42a41V21-ci・・・CE=2aQE=2,.\tanZCOE=2=

2.a・•・二面角C—AF—B的大小是arctan

2.如图是长方体,,求二平面与所成二面角的大小.

12.AB=2,解析•・•平面ABCD〃平面，二平面与平面的交线1为过点且平行于AC的直线.直线1就是二平面与所成二面角的棱.又平面，过作于连结则为二面角的平面角._L AHJJH,AH.可求得.因此所求角的大小为或，

13.在正方体中，，且，.・求平面AKM与ABCD所成角的大小.解析由于是梯形，则与相交于确定的直线为过作于连结BCMK MKCB1,C CF_L1F,MF,因为平面故是二面角的平面角.设正方体棱长为MCJ_ABCD,CFJ_1,MFJ_L NMFCM-1-Ca,则,.在△ECM中，由BK〃CM可得，，故.因此所求角的大小为或.如图，将边长为的正三角形按它的高为折痕折成一个二面角.14a ABCAD若二面角是直二面角，求的长；1求与平面所成的角；2AC cco若二面角的平面角为，求二面角的平面角的正切值.3120解析若，:，•二.1AC=a,2,AD，DC,••・AD，平面.•••为与平面所成的角，在RC中,，,，于是ZACD=60°3取的中点E,连结AE、DE,・・•，，，，，，NAED为二面角的平面角，:，，・••，在RtZkAED中，，•二。