哈工大运筹学课件整数规划

整数规划简介整数规划是运筹学的一个分支，它研究的是目标函数和约束条件都是线性函数，且决策变量必须是整数的优化问题在现实生活中，整数规划应用广泛，例如生产计划、资源分配、交通运输等整数规划的定义决策变量目标函数

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22.整数规划中的决策变量只能取目标函数是描述决策变量之间整数或有限个离散值，例如，关系的函数，可以是线性函数生产计划中需要生产的零件数或非线性函数，例如，最大化量利润或最小化成本约束条件

33.约束条件是决策变量需要满足的限制条件，例如，资源限制、生产能力限制或市场需求限制整数规划的特点决策变量离散约束条件线性整数规划问题中，决策变量只能取整数规划问题的约束条件通常是线整数值，而不是连续值性的，表示决策变量之间的关系目标函数线性求解难度较高整数规划问题的目标函数通常也是由于决策变量的离散性，整数规划线性的，表示需要优化的目标问题的求解比线性规划问题更复杂整数规划应用领域生产计划与调度物流与运输金融投资与组合资源分配与管理优化生产流程，合理分配资源，规划运输路线，优化配送方案，构建投资组合，最大化收益，控分配有限资源，优化资源利用，提高生产效率降低物流成本制风险提高效率整数规划建模整数规划建模是将实际问题转化为数学模型的关键步骤这需要深入理解问题背景，并用数学语言描述其目标和约束问题分析1确定决策变量、目标函数和约束条件模型构建2将问题转化为数学模型，用线性或非线性方程表示模型验证3测试模型的合理性，确保其能够准确反映实际问题整数规划模型0-1定义应用0-1整数规划模型是指决策变量只能取0或1的整数规划模型决•资源分配问题策变量取值为1表示选择该决策，取值为0表示不选择该决策•项目选择问题•设施选址问题•人员安排问题•网络优化问题混合整数线性规划模型连续变量连续变量可以在给定范围内取任何值，例如生产数量或时间分配整数变量整数变量只能取整数值，例如分配的任务数量或购买的物品数量线性目标函数和约束目标函数和约束条件都必须是线性表达式，这使得问题更容易求解整数规划问题的求解方法精确算法启发式算法精确算法是指能够在有限步内找到最优解的方法，例如分支定界法、启发式算法是指在有限时间内找到满意解的方法，例如遗传算法、割平面法和内点法模拟退火算法和禁忌搜索算法这些算法通常具有较高的计算复杂度，但可以保证找到最优解这些算法无法保证找到最优解，但可以快速找到近似最优解，适用于求解大型或复杂整数规划问题分支定界法树形结构节点划分剪枝策略分支定界法利用树形结构，逐步枚举所有可将问题分解成子问题，并根据目标函数值对利用可行解的界限，剪掉一些无法产生最优能的解子问题进行排序解的子树割平面法寻找割平面添加约束

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22.找到一个线性不等式，该不等将新找到的割平面作为新的约式满足原问题的所有可行解，束条件添加到线性规划模型中但不满足当前线性规划松弛解重新求解迭代求解

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44.重新求解线性规划问题，得到重复步骤1-3直到找到最优整新的松弛解数解内点法基本原理路径规划内点法从可行域的内部点出发，沿该方法通过不断调整搜索方向，避着搜索方向迭代，逐渐逼近最优解免陷入局部最优解，最终找到全局最优解效率优势内点法在解决大规模线性规划问题时，往往比单纯形法更有效率拉格朗日松弛法问题简化对偶变量将复杂约束条件放松，转化为更容易求解的子问引入对偶变量，将约束条件转化为目标函数的一题部分下界估计启发式算法通过求解对偶问题，得到原问题目标函数的下界使用启发式算法寻找原问题的可行解启发式算法求解近似解快速求解启发式算法用于寻找复杂问题的近似解，并非最启发式算法通常比精确算法更快，更适合处理大佳解型问题经验规则适用范围广算法基于经验规则或直觉，用于指导搜索过程启发式算法适用于各种优化问题，例如调度、路径规划和资源分配等遗传算法模拟生物进化编码与解码遗传算法模拟自然界中的生物进化过程，通过个体间的交叉、变异将问题中的解空间映射到遗传算法中的基因空间，以便进行遗传操和选择等操作，不断优化种群，最终得到最优解作适应度函数选择、交叉、变异用于评估个体适应度，即个体解的优劣程度，引导种群向最优解方选择适应度高的个体进行交叉和变异操作，产生新的个体，保持种向进化群多样性，并逐步向最优解靠近模拟退火算法金属冶炼山峰日出登山者模拟退火算法源于金属退火过程算法模拟金属在高温下逐渐冷却搜索最优解就像攀登山峰寻找最高点禁忌搜索算法探索搜索空间避免重复搜索引导搜索方向禁忌搜索算法利用迭代方法，在当前该算法引入了禁忌列表，记录最近访禁忌搜索算法还包含启发式规则，例解的邻域内进行搜索，寻找最优解问过的解，避免重复搜索，提高效率如吸引度、禁忌强度等，引导搜索方向，探索未知的解空间蚁群算法算法原理应用范围模拟蚂蚁觅食行为，使用信息素来引导路径选择蚂蚁在路径上留广泛应用于旅行商问题、车辆路径规划、网络路由等领域能够有下的信息素会随着时间的推移而蒸发信息素浓度越高，路径越吸效地解决复杂的组合优化问题引其他蚂蚁整数规划软件优化求解器专门用于解决线性规划、非线性规划和整数规划等数学优化问题模型构建提供建模语言或工具来描述优化问题，帮助用户建立数学模型结果分析提供优化结果的展示、分析和解释功能，帮助用户理解求解结果LINGO简介特点LINGO是一个专门用于解决线性规划、非LINGO具有高效的求解器和强大的建模功线性规划、整数规划和混合整数规划等优化能，可以处理大规模的优化问题它还支持问题的商业软件它提供了一个易于使用的多种建模语言，包括LINGO语言和AMPL界面，可以方便地建立和求解各种优化模型语言优势应用LINGO的优势在于其易用性、效率和功能LINGO在各个领域都有广泛的应用，包括强大，使其成为解决各种优化问题的理想工生产计划、物流管理、金融投资、资源分配具等CPLEX特点IBM ILOGCPLEXCPLEX是IBM开发的数学规划求解器，支持线性规划、二次规划、•高性能求解引擎混合整数规划等多种优化问题•丰富的建模语言CPLEX可用于解决各种优化问题，例如生产计划、资源分配、投•强大的求解能力资组合管理等•广泛的应用领域Gurobi优化求解器广泛应用

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22.Gurobi是一个高性能数学优化广泛应用于金融、物流、制造、求解器，可以用于解决各种类能源等领域，帮助企业提高效型的线性、非线性、混合整数率、降低成本和二次规划问题用户友好高效性能

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44.提供多种编程语言接口，支持采用先进的算法和技术，能够多种操作系统，易于使用和集快速找到最优解，提高问题求成到其他应用程序中解效率CBC开源软件灵活高效广泛应用CBC是一款开源的混合整数线性规划求解CBC提供灵活的求解策略和高效的性能，CBC已被广泛应用于各个领域，例如物流、器，由COIN-OR项目开发适用于各种规模的优化问题金融、能源和制造业整数规划案例分析生产调度问题1整数规划可应用于生产调度问题，例如优化任务分配和机器使用，以最大化产出并最小化成本设备分配问题2整数规划有助于解决设备分配问题，例如为特定项目分配最合适的设备，以最大化效率并最小化资源浪费投资组合问题3投资者可以使用整数规划来构建投资组合，根据风险和收益目标选择最佳的资产分配方案生产调度问题资源分配将有限的机器和工人分配到不同的生产任务上时间安排确定每个任务的开始和结束时间，以最大限度地提高生产效率物流运输优化产品运输路线和时间，确保及时交付设备分配问题资源优化任务调度成本控制将有限的设备分配给多个任务，以最大化整根据任务优先级、时间限制和资源可用性，通过优化设备分配，减少设备闲置时间和维体效率和生产力分配设备和工人护成本投资组合问题资产配置风险管理

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22.投资组合问题旨在优化资金在投资组合问题通常涉及各种类不同资产之间的分配，以最大型的资产，如股票、债券、房限度地提高投资回报，同时控地产等，每种资产都有不同的制风险风险和收益特征投资目标约束条件

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44.投资目标可以是最大化收益、投资组合问题通常受到各种约最小化风险、或平衡风险和收束条件的限制，例如资金限制、益，取决于投资者的偏好和风资产类别限制、投资期限等险承受能力学生排课问题目标函数约束条件优化学生课表，最大限度地满足学生选课偏好教室容量限制每个教室只能容纳一定数量的学生例如，将学生安排到他们喜欢的课程时间段教师时间冲突同一时间段，教师不能同时教授多门课程标准规范与参考文献标准规范参考文献整数规划领域有许多标准规范，例许多书籍和期刊介绍了整数规划及如，美国运筹学与管理科学协会其应用，例如，H.P.Williams的INFORMS和国际运筹学与管理Model Buildingin科学学会IFORS的标准Mathematical Programming和G.L.Nemhauser和L.A.Wolsey的Integer andCombinatorialOptimization学术期刊许多学术期刊发表了整数规划领域的研究成果，例如，MathematicalProgramming、Operations Research和DiscreteOptimization。