大学高数课件-重要极限

大学高数重要极限大学高数课程中，重要极限是基础知识，也是后续学习微积分、线性代数等课程的基石掌握重要极限可以帮助我们更好地理解函数的性质、求解极限问题极限的概念函数逼近值极限符号重要概念当自变量无限接近某个值时，函数值无限接使用极限符号表示函数值无限接近极限值的极限是微积分的基础，是研究函数性质、变近某个固定值，这个固定值就是函数的极限过程，用表示极限，表示自变量化趋势和变化规律的重要工具lim x→a值无限接近a极限的性质加法性乘法性常数倍数性除法性极限运算可以和加法运算互换极限运算可以和乘法运算互换极限运算可以和常数倍数运算如果分母的极限不为零，则极顺序顺序互换顺序限运算可以和除法运算互换顺序两个著名极限当趋于时，的极限当趋于无穷大时，的极限

11.x0sinx/x

22.x1+1/x^x该极限等于，是微积分中一个重要结论，在求导和积分等该极限等于自然常数，是微积分中另一个重要结论，在金1e运算中经常用到融和物理等领域有着广泛应用极限存在的必要条件左极限与右极限存在函数值存在当函数在自变量趋近于某一点时，函数在自变量趋近于某一点时，其左极限和右极限都存在，且相函数值本身也存在等左极限等于右极限左极限和右极限都必须存在，且数值相等，才能保证极限存在计算极限的方法直接代入法直接将极限值代入函数表达式，如果结果存在，则该值为极限值因式分解法通过因式分解，将函数表达式简化，消除导致极限值不存在的因子等价无穷小替换法利用等价无穷小替换，将原函数替换为更简单的函数，方便求极限洛必达法则当极限值为0/0或∞/∞时，可以使用洛必达法则，求解极限值夹逼定理利用夹逼定理，将极限值限制在两个已知函数的极限值之间极限存在的充分条件单调有界准则柯西收敛准则如果数列单调递增且有上界，那么数列收敛如果对于任意给定的正数，存在正整数，使得当时，{an}{an}εN n,mN，那么数列收敛|an-am|ε{an}如果数列单调递减且有下界，那么数列收敛{an}{an}无穷小的概念定义性质如果函数在趋近于时，无穷小可以理解为无限接近零的fx x x0其极限为零，则称为趋近量，但并不一定等于零无穷小fx x于时的无穷小的概念是微积分学的基础x0举例例如，当趋近于时，函数的极限为，因此为趋近于时的无x0x0xx0穷小无穷小的性质加减性乘积性

11.

22.两个无穷小之和或差仍是无穷无穷小与有界函数的乘积仍是小无穷小..商的性质保号性

33.

44.当分母不为零且不趋于零时，无穷小在自变量趋于极限点时，无穷小与非零常数的商仍是无其符号与对应函数的符号一致.穷小.无穷小的分类高阶无穷小等价无穷小无穷大同阶无穷小当自变量趋于某一点时，一个当自变量趋于某一点时，两个当自变量趋于某一点时，函数当自变量趋于某一点时，两个无穷小的绝对值比另一个无穷无穷小的比值的极限为，则称的绝对值无限制地增大，则称无穷小的比值的极限为一个不1小的绝对值要高阶，即前者的这两个无穷小是等价无穷小该函数为无穷大等于的常数，则称这两个无穷0极限为，后者的极限不为小是同阶无穷小00等价无穷小概念公式应用当自变量趋于某个特定值时，两个无穷小量如果，则称与等价无穷小是计算极限的重要方法，可以将limx-a fx/gx=1fx之比的极限为，则称这两个无穷小量为等为时的等价无穷小，记为复杂的函数替换为等价的简单函数，简化计1gx x-a fx~价无穷小算gx x-a洛必达法则洛必达法则是一种用于计算极限的方法，尤其适用于当函数为或型不定式时它帮助我们在遇到这些不定式时找到极限的值“0/0”“∞/∞”条件1函数和在点附近可导，且fx gxx=a gx≠0前提2或limx-a fx=limx-a gx=0∞法则3limx-a[fx/gx]=limx-a[fx/gx]当条件满足时，洛必达法则允许我们通过计算导数的极限来简化计算，从而求得原函数的极限值它在微积分和数学分析中具有重要应用，帮助我们解决许多复杂问题极限存在的判断单调有界准则夹逼定理柯西收敛准则其他方法当一个数列是单调且有界的，如果一个数列在两个收敛到相一个数列收敛的充要条件是根据具体情况，可以利用其他那么它一定收敛这是一种常同极限的数列之间，那么它也对于任意小的正数，存在正方法来判断极限是否存在，比ε用的判断方法，可以用来判断收敛到该极限该定理可以用整数，使得当时，如利用函数的连续性、导数的N n,mN一些特殊的数列是否收敛来判断一些比较复杂的数列的该定理是判断数性质等|an-am|ε极限列收敛性的一种强有力的工具极限计算中常见问题求极限过程中，学生常遇到一些常见问题，如无穷大与无穷小的区别、求极限的方法选择、极限存在的判断等等例如，求函数极限时，需根据函数的定义域、函数的性质以及极限的定义来选择合适的求极限方法此外，还需要注意无穷大与无穷小的区别，以及它们在求极限中的应用在学习求极限的过程中，要多加练习，并注意总结方法，才能更好地解决问题单侧极限左极限右极限

11.

22.当自变量从左侧趋近于点当自变量从右侧趋近于点x ax a时，函数的极限值，记作时，函数的极限值，记作fx fxlimx→a-fx.limx→a+fx.关系

33.当且仅当左极限和右极限都存在且相等时，函数在点处才存在fx x=a极限闭区间上极限问题求解利用极限定义1闭区间上极限问题，首先要根据极限定义判断极限是否存在，再求解极限的值利用连续性2如果函数在闭区间上连续，那么极限值等于函数在该点的函数值利用极限的性质3可以利用极限的性质，例如极限的加减乘除运算，来简化计算过程，求解极限值函数连续性的概念定义直观理解函数在某一点连续是指，当自变量趋近于该点时，函数值也趋近函数的图像在该点没有间断，可以连续地画出来比如，一条直于该点的函数值具体地说，如果一个函数在某一点的左右极限线，它在任何一点都是连续的，因为我们可以从任何一点开始，都存在且相等，并且等于该点的函数值，则该函数在该点连续一直沿着直线画下去，而不会遇到任何间断间断点的分类第一类间断点第二类间断点第一类间断点是指函数在该点左第二类间断点是指函数在该点左右极限都存在，但左右极限不相右极限至少有一个不存在或为无等或函数值不存在这种间断点穷大这意味着函数在该点附近可以分为跳跃间断点和振荡间断出现了不稳定或无法预测的行为点可去间断点可去间断点是指函数在该点左右极限都存在且相等，但函数值不存在或与左右极限不相等通过改变函数在该点的定义，可以消除这种间断点连续函数的性质介值定理零点定理最大值最小值定理若函数在闭区间上连续，则函数在该区间上若函数在闭区间上连续且函数值异号，则函若函数在闭区间上连续，则函数在该区间上取遍介于函数值之间的所有值数在该区间内至少存在一个零点必存在最大值和最小值连续函数的应用桥梁建设曲线拟合地形测量机器学习连续函数应用于桥梁设计，确连续函数用于模拟和预测各种连续函数用于描述复杂的地形，连续函数在机器学习算法中发保结构的稳定性曲线，例如股票价格或天气模进行精确的测量和分析挥重要作用，例如神经网络和式深度学习导数的概念及性质导数的定义导数的几何意义12导数代表函数在某一点的变化率，可以理解为函数在该点切导数表示函数曲线在某一点的切线斜率，反映了函数在该点线的斜率的变化趋势导数的物理意义导数的性质34导数可以表示物理量随时间的变化率，例如速度是位移的导导数具有线性性质，即求和、差、乘积和商的导数都可以通数，加速度是速度的导数过求导法则计算导数的应用切线方程极值问题凹凸性拐点导数可以用来求曲线在某一点导数可以用来求函数的极值点导数可以用来判断函数的凹凸导数可以用来求函数的拐点处的切线方程切线是曲线在极值点是函数在该点附近取得性凹凸性是指函数图形的形拐点是函数凹凸性发生改变的该点附近的最佳线性逼近最大值或最小值的点状是向上弯曲还是向下弯曲点平均导数与瞬时导数平均导数1一段时间内函数的平均变化率瞬时导数2某一时刻函数的变化率关系3瞬时导数是平均导数的极限情况平均导数反映的是一段时间的变化趋势，而瞬时导数则刻画了某一时刻的即时变化情况高阶导数定义符号高阶导数指的是对一个函数进行高阶导数通常用、等f”x f’’’x多次求导的结果，例如，二阶导符号表示，其中表示求导的次n数是函数的一阶导数的导数，三数阶导数是函数的二阶导数的导数，以此类推意义高阶导数在数学分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用，例如，在物理学中，加速度是速度的二阶导数导数的计算规则常数函数的导数幂函数的导数和函数的导数积函数的导数常数函数的导数始终为，因为幂函数的导数可以通过将幂次和函数的导数等于每个函数导积函数的导数可以通过应用莱0它表示该函数在任何点的变化减并乘以原始幂次来计算数的和，遵循求导的线性性质布尼茨法则来计算，它涉及到1率都为两个函数及其导数的乘积和0复合函数的导数复合函数是指由多个函数组合而成的函数，其导数可以通过链式法则进行计算链式法则1y=fu,u=gx求导2dy/dx=dy/du*du/dx应用3计算各种复合函数的导数链式法则是求导复合函数的核心方法，它将复合函数的导数分解为多个部分的乘积，简化了求导过程链式法则在实际应用中非常广泛，例如求解三角函数、指数函数和对数函数等复合函数的导数隐函数的导数隐函数定义1隐函数是指不能用显式函数形式表示的函数例如，方程x²+，无法直接用的形式表示，但它仍然表示一个隐y²=1y=fx函数关系求导方法2求隐函数的导数，需要对等式两边同时进行求导，并利用链式法则，将视为的函数来进行计算y x应用场景3隐函数的导数在许多实际应用中都有重要的作用，例如求曲线切线方程、计算曲线的曲率等极限与导数的关系极限定义导数计算切线方程导数定义是函数在某一点的变化率，它本质导数的求解依赖于极限运算，通过求函数在利用导数可以计算出函数在某一点的切线方上是极限的一种应用，通过极限计算得出函某一点的极限，可以得出函数在该点的导数程，而切线的斜率就是导数的值，这体现了数的变化趋势导数与切线之间的密切关系连续与导数的关系连续函数可导可导函数连续若函数在某点连续，则该点可导，若函数在某点可导，则该点连续但反之不成立例如，绝对值函也就是说，可导性是连续性的充数在原点连续，但不可导分条件，但不是必要条件导数为0若函数在某点可导，且导数为，则该点可能为极值点，也可能为驻点或拐0点结论与思考学习高等数学需要勤奋练习和深入理解通过掌握极限、连续、导数等概念和方法，我们可以解决许多实际问题。