高数二试题及答案

高等数学（下）期末试卷参考答案

一、单项选择题（每题分，总计分）

2101.和存在是函数在点连续的（）oA必要非充分的条件；Bo充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D即非充分又非必要的条件

3.设，则=（）.1212Ao--------------------B------------------------C-------------------------Dx2+/+z2*--\2+/+z2------------\x2；2z22,\x2y2+z22+++

3.设是面上以为顶点的三角形区域，是中在第一象限的部分，则积分=Ao2jjcos3A sinyda；B.2jjx3yd

0、DC.^j^j+cos3xsm yda；Do0D\Ao0;B.^Re^sin72;Co4冰;D.2^-Re^sin R

25.设二阶线性非齐次方程有三个特解，则其通解为（）.

4.设为曲面上的部分，则=（）oC.x+C|e，—e^x+2x—e；Do C]e—e2x+C^2a—x2

二、填空题（每题分，总计分）

3151.函数在点处取得极值,则常数=O2•若曲面的切平面平行于平面，则切点坐标为o

3.二重积分的值为o

4、设空间立体所占闭区域为，上任一点的体密度是，则此空间立体的质量为

5.微分方程的通解为.

三、计算题（每题分，总计分）

7351、已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值

2、设具有连续的二阶偏导数，求

3.将函数展开成的赛级数，并指出收敛域

4.设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数.

5、计算，其中是螺旋线对应的弧段

四、计算题（每题分，总计分）.

7351.设，计算极限的值

2、计算，其中由不等式及所确定3,计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数

4.将函数展开成以2为周期的傅立叶级数

5、设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线

五、本题分5可选题

1.对，讨论级数的敛散性.可选题2,设，与在上具有一阶连续偏导数，，且在的边界曲线（正向）上有，证明

一、单项选择题（每题分，总计分）210l.D;

2.B;

3.A;

4.D;

5.C

二、填空题（每题分，总计分）

3151.-5;

2、；

3、；

4、；

5、

三、计算题（每题分，总计分）

7351.已知及点、，求函数在点处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值.解:由条件得■.1AB={1,2,-2}=AB0=,——}={cosa,cos⑸cos/}从而df dfCOS笠COS月+笠cos/10dy dzdldx Tncosa=g,cos〃=点A的梯度方向是7=grad f\-{2y,2x-2z}\={-2,4,-2}A A所以方向导数的最大值是—=V22+42+22=V24=276dl2,设具有连续的二阶偏导数，求.5bz££3Z££解次+冽，*力+*

3.；序d函2z数展开成的凝级数，并指出收敛域.dxdy11111--------------------------------------1-1=-/ll+动2+X-/21+豆22+fl1—x2+x1—x2l+x/2解=_V:力2+22+fl Y、〃1000000=2〃+；Z-1陪/1+界%〃=0乙〃=0\771=0Z

4.设满足方程，且其图形在点与曲线相切，求函数解由条件知满足由特征方程，对应齐次方程的通解设特解为y*=Are其中A为待定常数，代入方程，得A=—2=y*=-2xex从而得通解，代入初始条件得最后得yx=l—2x/

5.计算，其中是螺旋线对应的弧段V65tV65ds dt-------arctan-27/+z2182+产r~8~

四、计算题每题7分，总计35分

1.设，计算极限的值解:设，则原问题转化为求和函数在处的值co而sx=x^nxn~xn=\L1故所求值a为s—\CI一

2.计算,其中由不等式及所确定.71712^424\\\zdv=\de\dp\解Q00rcos^9r2sinpclr=2%Jsin^cos^dp^r3dr1TC15J\s02pd2p.-r4—7128解ds=《X，+y2+*dt=465dt

3.计算，其中为下半球面的下侧，为大于零的常数解:取为面上的圆盘，方向取上侧，则X ifooco=xZx=xfx〃n=\n=\axdydz+z+aYdxdy1,,/、2,,rr——/---------=—JJ axdydz+z+adxdyG+r»21o o=—jjaxdydz+z+adxdy-JJ axdydz+z+adxdy0^xoy1「0=—\\\2z+3adv-a1\\dxdya Q%I717i a2222\d3\dp\rcosprsmpdp+3a—7icv-a7ia0£o344--41jcos/sinpdp\r3dr+7ia^-—a兀7i aoa F+7ia

4.将函数展开成以2为周期的傅立叶级数.解:所给函数在上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在内收敛于函数本身〃、12—1〃—1,一八/X=—H——~2^----2——COS〃乃X-1X1271=\nn

5.设函数具有连续导数并且满足，计算曲线积分的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线是由到的任一条逐段光滑曲线解由条件有如/⑴而犷⑴+42打打72n八力2--y nfT=z=—+Cx2x2设2=/一,则得Z一一Z二X3x代入条件得C=0=/%=3x,从而原积分变为y/2%+xdx+%2/%+ydy=L9%2y+dx+3/+yfyX=£9x2ydx+3x3dy=j93-xx2一=127x2-12x3px=18“11

五、本题分5可选题

1.对，讨论级数的敛散性.解p〉1时级数绝对收敛；pWl时分散可选题

2.设，与在上具有一阶连续偏导数，，且在的边界曲线正向上有，证明证明=Jf[M+〃匕-V%+叫,]o D-ff[—wv-—uv]d5dx dy二[uvdx+uvdy=^ydx+ydy=/do=-兀D。